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1、6 6. .3 3等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和-2-知识梳理考点自诊1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的比等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母q(q0)表示.2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项an=;通项公式的推广an=amqn-m.3.等比中项如果成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列.4.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;第2项 同一个 公比 a1qn-1(a10,q0
2、) a,G,bG2=ab-3-知识梳理考点自诊设数列an是等比数列,Sn是其前n项和.(1)若m+n=p+q,则aman=apaq;若2s=p+r,则 ,其中m,n,p,q,s, rN*.(2)ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm(k,mN*).(3)若数列an,bn是两个项数相同的等比数列,则数列ban,panqbn和 也是等比数列.-4-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)满足an+1=qan(n N*,q为常数)的数列an为等比数列. ()(2)G为a,b的等比中项G2=ab. ()(3)等比数列中不存在数值为0的项. ()(4)如
3、果an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列bn也是等比数列. ()(5)如果数列an为等比数列,那么数列ln an是等差数列. ()(6)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为 () -5-知识梳理考点自诊AA-6-知识梳理考点自诊4.(2019全国3,理5)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16 B.8C.4D.2C5.(2019北京怀柔模拟,10)若数列an是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,则an=.4n-1 解析:因为数列an是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,所以a1+4a1+16a
4、1=21,解得a1=1,所以an=4n-1,故答案为4n-1.-7-考点1考点2考点3考点4等比数列的基本运算 B 2n-1 -8-考点1考点2考点3考点4-9-考点1考点2考点3考点4思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法:(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或
5、 当成整体进行求解.-10-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)(2019辽宁本溪一中模拟)在等比数列an中,若a1+an=34,a2an-1=64,且前n项和Sn=62,则数列an的项数n等于()A.4B.5C.6D.7(2)(2019全国1,理14)记Sn为等比数列an的前n项和.若B -11-考点1考点2考点3考点4-12-考点1考点2考点3考点4等比数列的判定与证明例2(2019全国2,理19改编)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列;(2)求an和bn的通项公式.-13-考点1考点2
6、考点3考点4-14-考点1考点2考点3考点4思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?解题心得1.证明数列an是等比数列常用的方法:(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.-15-考点1考点2考点3考点4(1)求证:数列bn为等比数列,并求an通项公式;(2)略.-16-考点1考点2考点3考点4等比数列性质的应用(多考向)考向1等比数列项的性质的应用例3(1)(2019辽宁朝阳重点高中模拟)在等比数列an中,a1a2=1,a3a6=9,则a2a4=()(
7、2)(多选)设an是等比数列,则下列结论中错误的是 ()A.若a1=1,a5=4,则a3=-2B.若a1+a30,则a2+a40C.若a2a1,则a3a2D.若a2a10,则a1+a32a2思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?AABC-17-考点1考点2考点3考点4B.a1+a30,则a2+a4=q(a1+a3),其正负由q确定,因此不正确;C.若a2a1,则a1(q-1)0,于是a3-a2=a1q(q-1),其正负由q确定,因此不正确;D.若a2a10,则a1qa10,可得a10,q1,1+q22q,则a1(1+q2)2a1q,即a1+a32a2,因此正确.故选ABC.-18-考点1考
8、点2考点3考点4考向2等比数列和的性质及应用例4(1)(2019云南十一校调研)已知数列an是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于()A.40 B.60C.32 D.50(2)已知数列an是各项都为正数的等比数列,Sn为其前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40=()A.150B.-200C.150或-200D.400B A-19-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,因此S12=4+8+16+32=60,故
9、选B.(2)依题意,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又因为数列an的各项都为正数,即S200,因此S20=30,S20-S10=20,所以-20-考点1考点2考点3考点4解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少
10、项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.-21-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)(2019海南海口调研)在各项均为正数的等比数列an中,若amam+2=2am+1(mN*),数列an的前n项积为Tn,且T2m+1=128,则m的值为()A.3B.4C.5D.6(2)(2019浙江效实中学模拟)在等比数列an中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=()A.135 B.100 C.95 D.80(3)已知等比数列an共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.AA2-22-
11、考点1考点2考点3考点4-23-考点1考点2考点3考点4等差、等比数列的综合问题例5(1)(2019安徽江淮十校联考一,4)若公比为2的等比数列an的前n项和为Sn,且a2,9,a5成等差数列,则S10=()A.245-1B.45-1C.246-1D.46-1(2)(2019河南开封一模,4)已知在等比数列an中,有a3a11=4a7,数列bn是等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,则S13=()A.26 B.52C.78 D.104BB-24-考点1考点2考点3考点4-25-考点1考点2考点3考点4思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?解题心得等差数列和等比数列的综合问
12、题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.-26-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)(2019山东省实验中学等四校联考,3)已知等差数列an的公差不为零,Sn为其前n项和,S3=9,且a2-1,a3-1,a5-1构成等比数列,则S5=()A.15 B.-15C.30D.25D-27-考点1考点2考点3考点4-28-考点1考点2考点3考点41.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解,问题便可迎刃而解.-29-考点1考点2考点3考点41.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0.2.在求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.3.求解等比数列问题常用的数学思想(1)方程思想:如求等比数列中的基本量;(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.