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1、5.2 5.2 等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和1等比数列：等比数列：一般地一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于于 常数，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的常数，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的 ；公比通常用字母公比通常用字母q表示表示(q0)，即：，即： q(n2，nN)2等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：ana1qn1；anamqnm(a1q0) 提示：提示：等比数列从定义到通项公式的推导和形式都可以看作是等差数列的运等比数列从定义到通项公式的推导和形式都可以看作是等差数列
2、的运算升级算升级同一个同一个公比公比3等比中项：等比中项：如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，那么称成等比数列，那么称这个数这个数G为为a与与b的等比中项的等比中项 4等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式提示：提示：等比数列的前等比数列的前n项和公式的推导使用的是项和公式的推导使用的是“错位相减法错位相减法”，在使用公在使用公式时要判断公比式时要判断公比q1，或，或q1.思考思考：是否存在既是等差又是等比数列的数列？是否存在既是等差又是等比数列的数列？提示：提示：存在存在，可以证明既是等差又是等比数列的数列一定是非零常数列可以证明既是等差又是等
3、比数列的数列一定是非零常数列1关于数列关于数列：3,9，2 187，以下结论正确的是，以下结论正确的是()A此数列不是等差数列，也不是等比数列此数列不是等差数列，也不是等比数列B此数列可能是等差数列，但不是等比数列此数列可能是等差数列，但不是等比数列C此数列不是等差数列，但可能是等比数列此数列不是等差数列，但可能是等比数列D此数列可能是等差数列，也可能是等比数列此数列可能是等差数列，也可能是等比数列解析：解析：由前由前2项可设通项项可设通项an6n3和和an3n，代入检验即可，代入检验即可答案：答案：D2“b ”是是“a、b、c成等比数列成等比数列”的的 ()A充分不必要条件充分不必要条件 B
4、必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：D3已知等比数列已知等比数列an中，中，a3 ，S3 ，则，则q_. 即即2q2q10.整理得整理得(2q1)(q1)0，q 或或q1.答案：答案： 或或1 4 等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知S1,2S2,3S3成等差数列，成等差数列，则则an的公比为的公比为_解析：解析：根据已知条件根据已知条件4S2S13S3，即，即4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)，整，整理得：理得：3q2q0，又，又q0.q .答案：答案：1. 对于等比数列对于等比数列的有关计算问
5、题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意中要注意“相除相除”消元的方法，同时要注意整体代入消元的方法，同时要注意整体代入(换元换元)思想方法的应用思想方法的应用2在涉及等比数列前在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比项和公式时要注意对公比q是否等于是否等于1的判断和讨论的判断和讨论【例【例1】 设等比数列设等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知已知S41，S817，求求an的通项公式的通项公式解答：解答：解法一：在等比数列解法一：在等比数列an中，由中，由S41，S817，则，则q1，因此因此得得q4117，则，则q4
6、16，q2，或，或q2，由，由q2代入代入得得a1 ，由由q2代入代入得得a1 ，所以数列，所以数列an的通项公式为的通项公式为an 2n1或或an( )(2)n1.解法二：解法二：q4 16，则，则q2，或，或q2.又又S41，当当q2时，由时，由a1(1qq2q3)1得：得：a1 ，因此，因此ana1qn1 ；当当q2时，由时，由a1(1qq2q3)1得：得：a1 .因此因此ana1qn1 变式变式1. 已知已知an是公比为是公比为q的等比数列的等比数列，且且a1，a3，a2成等差数列成等差数列 (1)求求q的值的值； (2)设设bn是以是以2为首项为首项，q为公差的等差数列为公差的等差数
7、列，其前其前n项和为项和为Sn，当当n2时时，比较比较Sn与与bn的大小，并说明理由的大小，并说明理由解答：解答：(1)an是公比为是公比为q的等比数列，的等比数列，2a3a1a2，即，即2a1q2a1a1q，则则2q2q10，即，即(2q1)(q1)0，因此，因此q1或或q . (2)当当q1时，时，bn2(n1)n1.Snb1b2bn 当当n2时，时，Snbn；当当n10时，时，Snbn；当；当2n9时，时，Snbn；当；当n11时，时，Snbn.1. 对于等比数列对于等比数列的相关证明可类比等差数列的有关问题的相关证明可类比等差数列的有关问题2要证一个数列不构成等比，只需证明存在要证一个
8、数列不构成等比，只需证明存在m、nN*(mn)，使得，使得 即可即可【例【例2】(1)已知数列已知数列cn，其中，其中cn2n3n，且数列，且数列cn1Pcn为等比数列，为等比数列，求常数求常数P；(2)设设an，bn是公比不相等的两个等比数列，是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明：数列证明：数列cn不是等比数列不是等比数列证明：证明：(1)因为因为cn1Pcn是等比数列，是等比数列，故有故有(cn1Pcn)2(cn2Pcn1)(cnPcn1)，将将cn2n3n代入上式，得代入上式，得2n13n1P(2n3n)22n23n2P(2n13n1)2n3nP(2n13n1)，即即(2P)2
9、n(3P)3n2(2P)2n1(3P)3n1(2P)2n1(3P)3n1，整理得，整理得， (2P)(3P)2n3n0，解得，解得，P2或或P3.(2)证明：证明：设设an，bn的公比分别为的公比分别为p，q，pq，cnanbn，为证，为证cn不是等比不是等比数列只需证数列只需证 c1c3，事实上，事实上， (a1pb1q)2ap2bq22a1b1pq，c1c3(a1b1)(a1p2b1q2)ap2bq2a1b1(p2q2)由于由于pq，p2q22pq，又，又a1，b1均不为零，均不为零，因此因此 c1c3，故故cn不是等比数列不是等比数列.对于递推关系形如对于递推关系形如 的求数列通项公式问
10、题，可利用待定系数的求数列通项公式问题，可利用待定系数法法an1c(an)，求出，求出 ，转化为等比数列解决，转化为等比数列解决 【例【例3】已知在数列已知在数列an中中a11，求满足下列条件的数列求满足下列条件的数列an的前的前n项和项和Sn. (1)an13an2；(2)an1an2n1. 解答：解答：(1)由由an13(an)与与an13an2，比较可得，比较可得1，an113(an1)，即，即 3，即，即an1构成以构成以a11为首项，为首项，公比为公比为3的等比数列的等比数列an1(a11)3n1，an23n11，Sn2 n3nn1. (2)由已知由已知anan12n即即anan12
11、n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12n2221 12n13，Sn 3n2n23n4.1确定等比数列的关键是确定首项确定等比数列的关键是确定首项a1和公比和公比q.2在等比数列通项公式和前在等比数列通项公式和前n项和公式中共涉及五个量项和公式中共涉及五个量an，a1，n，q，Sn，可，可“知三求二知三求二”3等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积构成等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积构成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前n项和项和【方法规律方法规律】等比
12、数列的定义，通项公式，前等比数列的定义，通项公式，前n项和公式是解决等比数列中的有关计算、项和公式是解决等比数列中的有关计算、讨论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点讨论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点4在利用等比数列前在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比项和公式时，一定要对公比q1或或q1作出判断；计算过作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法程中要注意整体代入的思想方法5等差数列与等比数列的关系是：等差数列与等比数列的关系是： (1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列； (2)若若an是等
13、比数列，且是等比数列，且an0，则，则lg an构成等差数列构成等差数列(本题满分本题满分12分分)设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q，前前n项和项和Sn0(n1，2，)(1)求求q的取值范围的取值范围；(2)设设bnan2 an1，记记bn的前的前n项和为项和为Tn，试比较试比较Sn和和Tn的大小的大小.解答：解答：(1)当当n1时，时，a1S10，若若q1，则，则Snna10.若若q1，则，则Sn 0，即，即 0.等价于等价于解得解得1q1或或q1且且q0.因此满足条件因此满足条件q的范围是的范围是(1,0)(0，).6分分【答题模板答题模板】(2)bnan2 an1(q2 q)a
14、n，Tnb1b2bn(q2 q)(a1a2an)(q2 q)Sn，TnSn(q2 q1)Sn(q )(q2)Sn当当1q ，或，或q2时，时，TnSn；当当q ，或，或q2时，时，TnSn；当当 q0或或0q2时，时，TnSn.12分分 1. 第第(1)问是解决不等式问是解决不等式Sn0(nN*)恒成立，求恒成立，求q的范围，如果使用等比数列的前的范围，如果使用等比数列的前n项和公式要对项和公式要对q1，q1进行讨论，既便是能解决对公比进行讨论，既便是能解决对公比q的讨论问题，解不等式的讨论问题，解不等式组组 也会给考生带来不小的困难也会给考生带来不小的困难事实上可证明在等比数列中，前事实上可证明在等比数列中，前n项和项和Sn0(nN*)的充要条件是的充要条件是借此结论可很好地简化第一问的解题过程借此结论可很好地简化第一问的解题过程2用用Sn直接表示直接表示Tn，而不涉及等比数列前，而不涉及等比数列前n项和项和Sn的具体表示，是解决第的具体表示，是解决第(2)问的最问的最好选择，这样最大限度地避免了对公比好选择，这样最大限度地避免了对公比q的大面积讨论的大面积讨论. 【分析点评分析点评】点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册