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1、精选优质文档-倾情为你奉上三角函数专题1学校:_姓名：_班级：_考号：_一、知识点1、弦长和扇形面积公式：l=r，s=12lr=12r22、图像变换：y=sinxy=cos(2x+3)，先平移后伸缩，先伸缩后平移。3、y=sinx,y=cosx图像和性质：单调区间，对称轴和对称中心等。二、练习1. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12(弦矢+矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角23，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(31.73)(
2、)A. 16平方米B. 18平方米C. 20平方米D. 25平方米2. 如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是( )A. 13B. 7C. 433D. 3323. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点( )A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4个单位长度C. 横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动4个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动8个单位长度4.
3、 函数f(x)=sin(x+)(0,|0,|2)，x=-4为f(x)的零点，x=4为y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在(18,536)上单调，则的最大值为( )A. 11B. 9C. 7D. 56. 将函数f(x)=3cos(2x+3)-1的图象向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有性质_.(填入所有正确性质的序号)最大值为3，图象关于直线x=-3对称；图象关于y轴对称；最小正周期为；图象关于点(4,0)对称；在(0,3)上单调递减7. 如图为函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0,|2)的最小正周期为2=，解得=2，其图象向左平移
4、6个单位后得到的函数为y=sin2(x+6)+=sin(2x+3+)，再根据y=sin(2x+3+)为奇函数，3+=k，kZ，即=k-3，又因为|2，可取=-3，故f(x)=sin(2x-3)，当x=712时，f(x)=120，且f(x)=12不是最值，故f(x)的图象不关于点(712,0)对称，也不关于直线x=712对称，故排除A、D，当x=-12时，f(x)=sin-2=-1，是函数的最小值点，故f(x)的图象不关于点(-12,0)对称，但关于直线x=-12对称故选C5.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象和性质的综合运用，本题转化困难，属于中档题根据已知可得为正奇数，且12
5、，结合x=-4为f(x)的零点，x=4为y=f(x)图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f(x)在(18,536)上单调，可得的最大值【解答】解：x=-4为f(x)的零点，x=4为y=f(x)图象的对称轴，2n+14T=2，即2n+142=2，(nN)，即=2n+1，(nN)，即为正奇数，f(x)在(18,536)上单调，则536-18=12T2，即T=26，解得：12，当=11时，-114+=k，kZ，|2，=-4，此时f(x)在(18,536)不单调，不满足题意；当=9时，-94+=k，kZ，|2，=4，此时f(x)在(18,536)单调，满足题意；故的最大值为9，故选B6.【答案】
6、【解析】【分析】本题考查函数y=Acos(x+)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题利用函数y=Acos(x+)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论【解析】解：将函数f(x)=3cos(2x+3)-1的图象向左平移3个单位长度，得到y=3cos2(x+3)+3-1=-3cos2x-1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)=-3cos2x的图象对于函数g(x)=-3cos2x：它的最大值为3，由于当x=-3时，g(x)=32，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x=-3对称，故错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故正确；它
7、的最小正周期为22=，故正确；当x=4时，g(x)=0，故函数的图象关于点(4,0)对称，故正确；当x(0,3)时，2x(0,23)，g(x)单调递增，故错误，故答案为7.【答案】解：(1)由题中的图象知，A=2，T4=3-12=4，即T=，所以=2T=2，根据五点作图法，令212+=2+2k,kZ，得到=3+2k,kZ，|2，=3，解析式为f(x)=2sin(2x+3)；(2)令2k-22x+32k+2，kZ，解得k-512xk+12，kZ，f(x)的单调递增区间为k-512,k+12，kZ；(3)由f(x)=2sin(2x+3)在-2,0上的图象如下图所示：当-2x0，则-232x+33，
8、所以当方程f(x)=m在-2,0上有两个不相等的实数根时，观察函数的图象可知，m(-2,-3上有两个不同的实根【解析】本题考查了由三角函数图象求解析式以及利用正弦函数的性质求单调区间以及数形结合求参数范围，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键；属于中档题(1)由已知图象求出振幅、周期和相位，求得解析式；(2)由(1)的解析式，结合正弦函数的性质求单调增区间；(3)利用数形结合求满足条件的m的范围8.【答案】解：(1)f(x)=1+23sinxcosx-2sin2x，=3sin2x+cos2x=2sin(2x+6)，令2k-22x+62k+2，kZ，得k-3xk+6，kZ，可得函数f(x)的
9、单调增区间为k-3,k+6，kZ；令2k+22x+62k+32，kZ，得k+6xk+23，kZ，可得函数f(x)的单调减区间为k+6,k+23，kZ；(2)若把函数f(x)的图像向右平移6个单位，得到函数的图像，x-2,0，2x-6-76,-6，故g(x)在区间-2,0上的最小值为-2，最大值为1【解析】本题主要考查三角函数的化简及函数y=Asin(x+)的图象性质和最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题(1)利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调区间；(2)利用函数y=Asin(x+)的图象变换
10、规律求得g(x)的解析式，由x的范围求出x+的范围，即可利用正弦函数的性质求出g(x)的范围9、【答案】解：(1)解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=10，又S扇形=12lr=4，解得：r=4，l=2，扇形的圆心角的弧度数是：24=12；(2)设扇形的半径和弧长分别为r和l，由题意可得2r+l=40，扇形的面积S=12lr=14l2r14l+2r22=100当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，此时圆心角为=lr=2，当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100【解析】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，考查了基本不等式的应用以及学生的计算能力
11、，属于基础题(1)根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式=lr求出扇形圆心角的弧度数(2)由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得2r+l=40，扇形的面积S=12lr=14l2r，由基本不等式可得三角函数2（答案）1.【答案】解：(1)由正弦定理可设asinA=bsinB=csinC=2sin60=232=433，所以a=433sinA,b=433sinB，所以a+bsinA+sinB=433(sinA+sinB)sinA+sinB=433(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab，又
12、a+b=ab，所以(ab)2-3ab-4=0，解得ab=4或ab=-1(舍去)所以SABC=12absinC=12432=3【解析】(1)根据正弦定理求出a=433sinA,b=433sinB，然后代入所求的式子即可；(2)由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案本题考查了正弦定理、余弦定理等知识在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握2.【答案】解：(1)sin(A+C)=8sin2B2，sinB=4(1-cosB)，sin2B+cos2B=1，16(1-cosB)2+cos2B=1，16(1-cosB)2+cos2B
13、-1=0，(17cosB-15)(cosB-1)=0，B为三角形内角，则cosB1，cosB=1517(2)由(1)可知，SABC=12acsinB=2，ac=172，由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-21721517=a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4，b=2【解析】本题考查了三角形的内角和定理，半角公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于基础题(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=-B，再利用诱导公式化简sin(A+C)，利用半角公式化简8sin2B2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB(2)由(1)可知sinB=817
14、，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理变形即可求出b3.【答案】()证明：b+c=2acosB，sinB+sinC=2sinAcosB，sinB+sin(A+B)=2sinAcosB，sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)，A，B是三角形中的内角，0B，-A-B，-B=A-B或B=A-B，A=(不合实际)或A=2B，即原题得证()解：ABC的面积S=a24a24，2bcsinA=a2，2sinBsinC=sinA=sin2B，sinC=cosB，又0C，0B，B+C=2或C=B+2，当B+C=2
15、时，A=2;当C-B=2时，A=4综上，A=2或A=4【解析】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题()利用正弦定理，结合两角和的正弦公式，即可证明A=2B；()若ABC的面积S=a24，则12bcsinA=a24，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小4.【答案】解：(1)在ABC中，cosADC=17，sinADC=1-cos2ADC=1-(17)2=4849=437，则sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB=43712-1732=3314(2)在ABD中，由正弦定理得，在ABC中，由余弦定理得AC2
16、=AB2+CB2-2ABBCcosB=82+52-28512=49，即AC=7【解析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大5.【答案】解：()在APC中，因为PAC=60，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2-2APACcosPAC，所以22=AP2+(4-AP)2-2AP(4-AP)cos60，整理得AP2-4AP+4=0，解得AP=2，所以AC=2，所以APC是等边三角形，所以ACP=60()法1：由于APB是APC的外角，所以APB=120，因为APB的面积是3
17、32，所以12APPBsinAPB=332，所以PB=3，在APB中，由余弦定理可得AB2=AP2+PB2-2APPBcosAPB=22+32-223cos120=19，所以AB=19，在APB中，由正弦定理得ABsinAPB=PBsinBAP，所以sinBAP=3sin12019=35738法2：作ADBC，垂足为D，因为APC是边长为2的等边三角形，所以PD=1,AD=3,PAD=30，因为APB的面积是332，所以12ADPB=332，所以PB=3，所以BD=4，在RtADB中，AB=BD2+AD2=19，所以sinBAD=BDAB=419，cosBAD=ADAB=319，所以sinBA
18、P=sin(BAD-30)=sinBADcos30-cosBADsin30=41932-31912=35738【解析】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数的定义，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想，属于中档题()在APC中，由余弦定理得AP2-4AP+4=0，解得AP=2，可得APC是等边三角形，即可得解()法1：由已知可求APB=120，利用三角形面积公式可求PB=3，进而利用余弦定理可求AB，在APB中，由正弦定理可求sinBAP=3sin12019的值法2：作ADBC，垂足为D，可求：PD=1,AD=3,PAD=30
19、，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求sinBAD=BDAB=419，cosBAD=ADAB=319.利用两角差的正弦函数公式可求sinBAP=sin(BAD-30)的值6.【答案】解：(1)sin2B+C2+cos2A=sin2-A2+2cos2A-1=cos2A2+2cos2A-1=1+cosA2+2cos2A-1=1+132+219-1=-19(2)在ABC中，cosA=13，可得：sinA=1-19=223，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-23bc2bc-23bc=43bc，即有bc34a2=94，当且仅当b=c=32时，取
20、得等号，则ABC面积S=12bcsinA1294223=324，即有b=c=32时，ABC的面积取得最大值324【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题(1)利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；(2)运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值7.【答案】解：()S=12acsinB，cosB=a2+c2-b22ac，即a2+c2-b2=2accosB，由S=34(a2+c2-b2)变形得：12acsinB=342accosB，整理得：tanB=3，又0BB=3；()
21、A+B+C=，0A94时，如图1：ED=x-94，在RtAED中，AE=43+92sin60=2534，tanADC=AEED=2543x-94=2534x-92)当0x0,x94当x=94时，tan=CEBC=9348，符合上式，所以tan=93x+4x4x-9+300x0(2)因为tan=93x+4x4x-9+300=934x+4+400x+4-41x0，而4x+4+400x+4-4124x+4400x+4-41=39，当且仅当4x+4=400x+4，即x=6时，等号成立，所以当x=6时，tan取得最大值9339=3313又因为函数y=tanx在0,2上是增函数，所以当x=6时，取得最大值
22、答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大【解析】本题考查了解三角形的应用，两角和与差的三角函数公式，正切、余切函数的图象与性质，利用基本不等式求最值，分类讨论思想和三角函数模型应用(1)利用解直角三角形，结合对x的讨论得tanADC=2534x-9，再利用两角差的正切函数公式计算得函数tan=93x+4x4x-9+300x0；(2)利用基本不等式求最值得当x=6时，tan取得最大值3313，再利用正切函数在0,2上的单调性得结论三角函数专题3真题答案1.【答案】6-24【解析】解：由正弦定理得a+2b=2c，得c=12(a+2b)，由余弦定理得cosC=a2+b
23、2-c22ab=a2+b2-14(a+2b)22ab=34a2+12b2-22ab2ab=34a2+12b22ab-24232a22b2ab-24=6-24，当且仅当32a=22b时，取等号，故6-24cosC1，故cosC的最小值是6-24故答案为：6-24根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键2.【答案】(6-2,6+2)【解析】【分析】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题【解答】如图所示，延长BA，CD交于点E，则在ADE中，DAE=105，ADE=45，E=
24、30，设AD=12x，AE=22x，DE=6+24x，CD=m，BC=2，(6+24x+m)sin15=1，6+24x+m=6+2，0x4，而AB=6+24x+m-22x=6+2-22x，AB的取值范围是(6-2,6+2).故答案为：(6-2,6+2).3.【答案】解：()ABC中，4sin2A-B2+4sinAsinB=2+2，41-cos(A-B)2+4sinAsinB=2+2，-2cosAcosB+2sinAsinB=2，即cos(A+B)=-22，cosC=22，C(0,)，C=4()已知b=4，ABC的面积为6=12absinC=12a422，a=32，c=a2+b2-2abcosC
25、=18+16-232422=10【解析】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中档题()ABC中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得cos(A+B)=-22，从而得到cosC=22，由此可得C的值()根据ABC的面积为6=12absinC求得a的值，再利用余弦定理求得c的值4. 4.【答案】解：()ABC中，ab，c=3，cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB，1+cos2A2-1+cos2B2=32sin2A-32sin2B，即cos2A-cos2B=3sin2A-3sin2B，即-2sin(A+B)sin(A-B)=23c
26、os(A+B)sin(A-B)ab，AB，sin(A-B)0，tan(A+B)=-3，A+B=23，C=3()sinA=4532，C=3，A23(舍去)，cosA=1-sin2A=35由正弦定理可得，asinA=csinC，即a45=332，a=85sinB=sin(A+B)-A=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA=3235-(-12)45=4+3310，ABC的面积为12acsinB=128534+3310=18+8325【解析】()ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得-2sin(A+B)sin(A-B)=23cos(A+B)sin(A-B)求得tan(A+B)的值，可得A
27、+B的值，从而求得C的值()由sinA=45求得cosA的值再由正弦定理求得a，再求得sinB=sin(A+B)-A的值，从而求得ABC的面积为12acsinB的值本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题5.【答案】解：(1)根据条件知t1=38，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=538=158；在OAP中由余弦定理得，f(t1)=AP=OA2+OP2-2OAOPcosAOP=(158)2+9-45435=3418(千米)；(2)可以求得t2=78，设t小时后，且38t78，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示：则BQ=5-5t，CQ=7-8t；在B
28、CQ中由余弦定理得，f(t)=BC=(5-5t)2+(7-8t)2-2(5-5t)(7-8t)45=25t2-42t+18；即f(t)=25t2-42t+18，38t78；设g(t)=25t2-42t+18，38t78，g(t)的对称轴为t=212538,78；且g(38)=36964,g(78)=2564；即g(t)的最大值为36964，则此时f(t)取最大值34183；即f(t)在t1,t2上的最大值不超过3【解析】(1)用OP长度除以乙的速度即可求得t1=38，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f(t1)；(2)求出t2=78，设t3
29、8,78，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cosOQP=45，这样根据余弦定理即可求出BC，即f(t)，然后求该函数的最大值，看是否超过3即可考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法6.【答案】解：(1)如图，过B作BEOC于E，过A作AFBE于F，ABC=90，BEC=90，ABF=BCE，tanABF=tanBCO=43设AF=4x(m)，则BF=3x(m)AOE=AFE=OEF=90，OE=AF=4x(m)，EF=AO=60(m)，BE=(3x+60)mtanBCO=43，CE=34BE=(94x+45)(m)OC=(4x+9
30、4x+45)(m)4x+94x+45=170，解得：x=20BE=120m，CE=90m，则BC=150m；(2)如图，设BC与M切于Q，延长QM、CO交于P，POM=PQC=90，PMO=BCO设OM=xm，则OP=43xm，PM=53xm.PC=(43x+170)m，PQ=(1615x+136)m.设M半径为R，R=MQ=(1615x+136-53x)m=(136-35x)m.A、O到M上任一点距离不少于80m，则R-AM80，R-OM80，136-35x-(60-x)80，136-35x-x80解得：10x35当且仅当x=10时R取到最大值OM=10m时，保护区面积最大【解析】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题(1)在四边形AOCB中，过B作BEOC于E，过A作AFBE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；(2)设BC与M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大专心-专注-专业