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1、2017 年 第 4 期 工程勘 察 Geotechnical Investigation Surveying 55 改进的灰色 GM ( 1， 1) 在北斗卫星钟差 短期预报中的应用 陶健春 ， 王秉钧 ( 广西城市建设学校 ， 广西 桂林 541003) 摘要 : 根据星载原子钟钟差的特点以及传统的灰色 GM ( 1， 1) 自身存在的缺陷 ， 提出一种改进的 灰色 GM ( 1， 1) 钟差短期预报模型 。 首先采用灰色 GM ( 1， 1 ) 对钟差序列进行预报 ， 再采用 马尔科夫对随机性波动较大的灰色残差 序列进行修正 ， 充分结合二者的优势 ， 克服了自身的缺陷 。 采用 5mi
2、n 采样率的北斗钟差数据进行算例分析 ， 并通过不同预报步长与传统的灰色 GM ( 1， 1 ) 对比分析 ， 结果表明 ， 该方法的预报精度较传统的灰色模型有了较大提高 ， 该方法应用于钟差短 期时间预报是可行的 ， 可靠性较强 。 关键词 : 北斗 ; 卫星钟差预报 ; 马尔科夫链 ; GM ( 1， 1) ; 精度分析 中图分类号 : P228 文献标识码 : A Application of improved grey model in the prediction of BeiDou satellite clock error Tao Jianchun， Wang Bingjun (
3、 Guangxi Urban Construction School， Guilin 541003， China) Abstract: By considering the characteristics of the clock error of the spaceborne atomic clock and the defects of the traditional grey model GM ( 1 ， 1 ) ， an improved grey model is presented for short-term prediction of clock errors The cloc
4、k error sequence is predicted by the GM ( 1 ， 1 ) ， then the random residual error of the grey model is corrected by Markov chain With the use of 5 min sampling rate of BDS clock error data， the improved method is examined with different prediction step lengths and compared with the traditional grey
5、 model esults show that the prediction accuracy of the improved method has increased greatly， the method is feasible and reliability in the application of the short-term clock error prediction Key words: BDS; satellite clock difference prediction; Markov chain; GM ( 1， 1) ; precision analysis 0 引言 卫
6、星钟差 ( satellite clock bias) 的预报是一项 非常重要的工作 ， 钟差预报的可靠程度直接决定导 航精度 ， 研究钟差预报有利于提高参数预报的可靠 性和准确性 1， 2 。 目前 ， 常用的钟差预报方法主要 有灰色渊博模型 、 多项式预报模型 、 神经网络预报 模型以及各种组合预报模型等 1 6 。 灰色系统理论 具有所需样本数据少 、 不需计 算统计特征量 、 抗干 单一预报模型具有一定的局限性 。 因此 ， 针对传统 的灰色 GM ( 1， 1) 自身存在的缺陷 ， 众多学者做 出了很多研究 ， 取得较好成果的有 : 梁月吉等 3 采 用一次差分的方法对原始钟差序列进
7、行预处理 ， 进 而建立灰色 GM ( 1， 1) 钟差预报模型 ， 结果表明 预报精度进一步提高 ， 预报精度稳定 ， 适用于中长 期的钟差预报 ; 李晓宇等 4 提出一种改进灰色模型 和 A MA 模型相结合的钟差预报方法 ， 预测精度比 较高 ; 路晓峰等 5 对灰色模型进行优化 ， 进一步提 扰能力强等优点 ， 由于星载原子钟具有高频率高敏 感性特点 ， 容易受外界 、 本身等多种因素共同的影 响 ， 变化较为复杂 ， 呈现出一定的非线性和随机 性 ， 把钟差的变化过程看作是灰色系统 ， 直接建立 收稿日期 : 2016-09-05 作者 简 介 : 陶健 春 ( 1985 ) ， 男
8、 ( 汉 族 ) ， 广西柳州 人 ， 本 科 ， 工程 师 u q 高预报精 度 ; 张清华等 6 通过数据预处理和对一阶 灰色模型改进 ， 进一步提高了预报精度 ， 模型的收 敛性也得到了改善 ; 刘铁柱等 7 提出这一种附加误 差修正的 GM ( 1， 1 ) 模型 ， 大幅度提高了预测 精度。 基于上述研究 ， 考虑到目前采用灰色理论对北 斗卫星钟差预报的研究不多 ， 以及灰色系统自身的 优良特性 ， 提出了一种改进的灰色 GM ( 1， 1 ) 钟 差预报方法 。 由于北斗卫星钟差序列具有一定的非 线性和随机性 ， 灰色 GM ( 1， 1) 对于具有明显变 化趋势的时间序列才能更好
9、发挥模型的性能 ， 而马 1 改 进的灰色 GM ( 1， 1) 1. 1 传统的灰色 GM ( 1， 1) 的原理 设一组北斗卫星原始钟差序列为 : X = x( 0) ( 1) ， x( 0) ( 2) ， ， x( 0) ( n) ( 1) 对原始序列进行一次累加 ， 即 x( 1) ( i) = x( 0) ( i) + x( 0) ( i + 1) ， i = 1， 2， ， n 1， 得到新的序列为 : X = x( 1) ( 1) ， x( 1) ( 2) ， ， x( 1) ( m) ， m = n 1 ( 2) 对新序列建立相应的离散预测模型 ， 得到预测 模型如下 : 尔科
10、夫自身对随机过程具有较大的优势 。 因此 ， 本 文通过对原始数据的序列建立 GM ( 1， 1 ) 预测模 x ( 1) ( k + 1) = x ( 1) u e ( 3) 型 ， 引进马尔科夫链的状态转移概率矩阵对残差绝 ( 1) k + u 对值序列进行进一步修正 。 最终得到钟差预报结 果 。 同时 ， 探讨和研究对不同卫星钟 、 不同预报长 式 ( 3) 中 ， 采用最小二乘原理求解参数 u 和 ， 设 = u ， T ， 则 : 度的可行性和有效性 。 = ( BT B) 1 BT Y ( 4) B = 1 ( x 2 ( 1) ( 2) + x ( 1) ( 1) ) 1 (
11、x 2 ( 1) ( 3) + x ( 1) ( 2) ) 1 ( x 2 ( 1) ( m) + x ( 1) ( m 1) ) ( 5) 1 1 1 YN = x ( 0) ( 2) ， x ( 0) ( 3) ， ， x ( 0) ( n) T ( 6) u 对式 ( 3 ) 进行累减还原 ， 得原始序列的时间 响应函数为 : sgn( t + 1) ( 1 e1 ) x( 0) ( 1) 1 e 1k ( 11) 1 x( 0) ( k + 1) = x( 1) ( k + 1) x( 1) ( k) = x( 0) ( 1) u 式 ( 11) 中 ， 符号函数为 : ( 0) (
12、0) 1 x ( k + 1) x ( k + 1) 0 ( 1 e ) e k ， k = 1， 2， ， n 1 ( 7) 1. 2 灰色 GM ( 1， 1) 残差修改模型 设经传统灰色 GM ( 1， 1) 得到的卫星钟差预 sgn( t + 1) = 0 x( 0) ( k + 1) x ( 0) ( k + 1) = 0 1 x( 0) ( k + 1) x ( 0) ( k + 1) 0 ( 12) 报残差的绝对值序列为 : x( 0) ( k) = x( 0) ( k) x ( 0) ( k) ( 8) 式 ( 8) 中 ， k = 1， 2， ， n。 对该序列进行累 加 ，
13、 得 到 一 组 新 的 残 差 序 列为 : X = x( 1) ( 1) ， x( 1) ( 2) ， ， x( 1) ( n) ( 9) 建立微分方程为 : 由以上可见 ， 当序列处于 1 k n 范围 ， 原始 预报残差决定了 sgn( t) 的值 ; 当预报范围为 k n 时 ， sgn( t) 的概率决定 着模型最后的预报精度 。 根据马尔科夫原理不难得出 ， 对于时间和状态 均为离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链 。 该过程 实际上就是研究系统的状态以及状态的转换问题 ， 称为状态转移概率 ， 将状态转移概率转成马尔科夫 链的转移概率矩阵为 8， 9 : q11 q12 q1n x
14、 ( 1) ( k) = x( 0) ( 1) u1 e 1k + u1 ( 10) 1 1 q 21 q22 q 2n ( 13) 式 ( 10) 中 ， 同样采用最小二乘原理求解参数 u 1 Q = 和 1 ， 具体可参照 1. 1 节 。 得到修正后的最终预报值模型为 : n1 qn2 qnn n x ( 0) ( k + 1) = x( 0) ( 1) ( 1 e ) e k + 式 ( 13) 中 ， 状态 转移概 率满 足 : qij 0， qij = j = 1 1， qij 代表状态 i 转移到状态 j 的概率 。 N 2017 年 第 4 期 工程勘 察 Geotechnic
15、al Investigation Surveying 57 2 算例分析 本文采用武汉大学分析中心提供的 2014 年 7 月 16 日一天的北斗连续精密钟差数据 ， 采样率为 5min， 数 据 下 载 网 址 为 : ftp: / / cddis. gsfc. nasa. gov / pub / gps / products / mgex /。 考虑到北斗有三种不 同轨道的卫星 ， 本文分别选取不同卫星轨道所对应 的一颗卫星进行实验 : 5 号 静 止 轨 道 ( GEO) 卫 星 ， 9 号倾斜 地球同步轨道 ( IGSO) 卫星 ， 12 号 中地球轨道 ( MEO) 卫 星 。 利用
16、传统的灰色 GM ( 1， 1) 和本文改进方法对钟差预报过程进行分析 ， 以前 10h 的钟差数据建模 ， 分别以不同的预报步长 进行实 验 ， 预 报 步 长 为 : 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13 和 14h 的钟差 ， 并以相应的 精密钟差值为基准 ， 使用均方根误差 ( MS) 作为 统计量 。 限于篇幅 ， 本文只给出了预报步长为 14h 的预报结果 ， 三种不同轨道的卫星钟差预报误差如 图 1 图 3 所示 。 图 1 C05 卫星 14h 预报残差 Fig. 1 C05 satellite prediction residua
17、l 图 2 C09 卫星 14h 预报残差 Fig. 2 C09 satellite prediction residual 图 3 C12 卫星 14h 预报残差 Fig. 3 C12 satellite prediction residual 由图 1 至图 3 可见 ， 采用传统的灰色 GM ( 1， 1) 对钟差的预报残差波动较为明显 ， 变化幅度比 较大 ， 预报残差极其不稳定 。 通过加入马尔科夫 链 ，对灰色预报残差起到了较好的修正效果 ， 残差 随机性波动程度有所降低 。 不同预报步长的精度统 计如表 1 表 3 所示 。 表 1 C05 卫星不同预报步长的精度统计分析 ( n
18、s) Table 1 Different forecast step statistical analysis of C05 satellite ( ns) 预报步长 ( h) GM ( 1， 1) 预报模型 改进 GM ( 1， 1) 预报模型 MS MAS 最大值 最小值 MS MAS 最大值 最小值 1 0. 343 0. 248 1. 078 0. 240 0. 204 0. 142 0. 691 0. 064 2 0. 431 0. 333 0. 924 0. 037 0. 221 0. 168 0. 422 0. 032 3 0. 517 0. 408 1. 364 0. 015
19、0. 273 0. 213 0. 664 0. 002 4 0. 667 0. 517 1. 588 0. 006 0. 386 0. 320 0. 785 0. 020 5 0. 746 0. 609 1. 498 0. 015 0. 401 0. 344 0. 741 0. 012 6 0. 804 0. 684 1. 393 0. 010 0. 399 0. 332 0. 779 0. 006 7 0. 862 0. 746 1. 607 0. 025 0. 418 0. 347 0. 775 0. 002 8 0. 889 0. 772 1. 331 0. 027 0. 432 0.
20、365 0. 750 0. 003 9 0. 928 0. 793 1. 441 0. 025 0. 470 0. 401 0. 734 0. 001 10 0. 961 0. 807 1. 455 0. 003 0. 503 0. 435 0. 795 0. 001 11 0. 953 0. 797 1. 413 0. 012 0. 493 0. 428 0. 704 0. 001 12 0. 940 0. 781 1. 434 0. 016 0. 480 0. 410 0. 656 0. 001 13 0. 927 0. 763 1. 450 0. 003 0. 470 0. 395 0.
21、 672 0. 001 14 0. 916 0. 745 1. 464 0. 003 0. 461 0. 386 0. 690 0. 005 表 2 C09 卫星不同预报步长的精度统计分析 ( ns) Table 2 Different forecast step statistical analysis of C09 satellite ( ns) 预报步长 ( h) GM ( 1， 1) 预报模型 改进 GM ( 1， 1) 预报模型 MS MAS 最大 值 最小值 MS MAS 最大值 最小值 1 0. 159 0. 110 0. 138 0. 003 0. 105 0. 082 0.
22、075 0. 000 2 0. 159 0. 112 0. 206 0. 004 0. 104 0. 083 0. 132 0. 002 3 0. 193 0. 140 0. 492 0. 006 0. 124 0. 099 0. 332 0. 001 4 0. 226 0. 183 0. 544 0. 012 0. 121 0. 096 0. 271 0. 001 5 0. 229 0. 195 0. 477 0. 008 0. 113 0. 088 0. 231 0. 002 6 0. 235 0. 203 0. 415 0. 008 0. 114 0. 089 0. 222 0. 001
23、 7 0. 238 0. 204 0. 377 0. 008 0. 119 0. 094 0. 221 0. 002 8 0. 237 0. 205 0. 407 0. 015 0. 114 0. 090 0. 228 0. 001 9 0. 248 0. 212 0. 586 0. 020 0. 119 0. 095 0. 298 0. 000 10 0. 276 0. 227 0. 640 0. 002 0. 137 0. 109 0. 334 0. 001 11 0. 283 0. 234 0. 607 0. 010 0. 137 0. 110 0. 324 0. 001 12 0. 2
24、82 0. 231 0. 631 0. 001 0. 145 0. 119 0. 348 0. 000 13 0. 283 0. 233 0. 664 0. 008 0. 149 0. 124 0. 392 0. 000 14 0. 302 0. 243 0. 746 0. 002 0. 164 0. 138 0. 437 0. 004 表 3 C12 卫星不同预报步长的精度统计分析 ( ns) Table 3 Different forecast step statistical analysis of C12 satellite ( ns) 预报步长 ( h) GM ( 1， 1) 预报模
25、型 改进 GM ( 1， 1) 预报模型 MS MAS 最大值 最小值 MS MAS 最大值 最小值 1 0. 216 0. 176 0. 246 0. 006 0. 124 0. 100 0. 167 0. 011 2 0. 209 0. 167 0. 220 0. 002 0. 122 0. 099 0. 140 0. 004 3 0. 207 0. 168 0. 257 0. 004 0. 117 0. 094 0. 154 0. 003 4 0. 214 0. 174 0. 354 0. 000 0. 120 0. 098 0. 196 0. 009 5 0. 217 0. 179 0
26、. 364 0. 010 0. 122 0. 100 0. 205 0. 001 6 0. 213 0. 174 0. 372 0. 005 0. 120 0. 098 0. 221 0. 004 7 0. 210 0. 172 0. 393 0. 009 0. 118 0. 095 0. 239 0. 002 8 0. 206 0. 168 0. 376 0. 002 0. 116 0. 094 0. 232 0. 000 9 0. 207 0. 168 0. 347 0. 001 0. 117 0. 098 0. 201 0. 000 10 0. 206 0. 168 0. 360 0.
27、000 0. 116 0. 096 0. 209 0. 000 11 0. 209 0. 171 0. 359 0. 000 0. 116 0. 098 0. 221 0. 003 12 0. 206 0. 168 0. 362 0. 000 0. 114 0. 096 0. 211 0. 001 13 0. 202 0. 162 0. 362 0. 000 0. 113 0. 096 0. 221 0. 002 14 0. 202 0. 163 0. 369 0. 000 0. 112 0. 094 0. 232 0. 001 由表 1 至表 3 进一步可知 ， 随着预报步长的增 加 ， 传
28、统的灰色 GM ( 1， 1) 对 BDS 三种轨道的卫 星钟差预报误差逐步增大 ， 均方根最大为 0. 916， 残差最大达到 1. 464ns。 而本文方法在一定程度上 保证了较好的预报精度 ， 不同的预报步长 ， 预报精 度较 为稳定 ， 残差最大值仅为 0. 435ns。 对比三种 不同轨道的卫星钟差预报结果可见 ， 本文方法对倾 斜地 球 同 步 轨 道 ( IGSO ) 卫星和中地球轨道 ( MEO) 卫星的钟差预报效果较好 。 综上 ， 采用加 入马尔科夫链对灰色预报残差进行修正 ， 对于不同 的预报步长均能保证较好的预报精度 ， 应用于北斗 卫星钟差短期预报是可行的 。 3 结
29、论 本文将灰色系统理论和马尔科夫链相结合进行 北斗卫星钟差预报 。 经理论分析和算例表明 : 马尔 科夫链对灰色预报残差起到较好的修正效果 ， 弥补 了 GM ( 1， 1) 自身存在的缺陷 ， 对于不同步长的 预报， 均能保证较好的精度 ; 对于北斗三种不同轨 道的卫星钟差预报 ， 本文方法对倾斜地球同步轨道 卫星和中地球轨道卫星的钟差短期预报效果较好 。 为了进一步研究 GM ( 1， 1) 的预报性能 ， 下一步 将会展开对中长期预报以及模型自身性能的进一步 改进研究 。 2017 年 第 4 期 工程勘 察 Geotechnical Investigation Surveying 59
30、 参 考 文 献 1 Hou J， Dong S W， Qu L L et al eal-time Solution of Atomic Clock Operating Parameters Based on Adaptive Kalman Filter J Chinese Astronomy and Astrophysics， 2013， 37 ( 1) : 90 96. 2 陈兆 林 ， 鲍 国 ， 王浩 等 一种新的长期卫星钟差预报方 法 J 工程勘 察 ， 2014， ( 9) : 73 76. Chen Zhaolin， Bao Guo， Wang Hao et al A new m
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