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1、第1章 极限与连续5（无穷小）无穷小与无穷大一、无穷小一、无穷小 定义定义（无穷小）：当（无穷小）：当x x0( x )时，函数时，函数f(x) 的极限为零，则称函数的极限为零，则称函数 f(x)为当为当x x0( x )时的时的无穷小无穷小。 无穷小的性质：无穷小的性质： 性质性质1 ：有限个无穷小的代数和为无穷小。：有限个无穷小的代数和为无穷小。 性质性质2 ：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 性质性质 3 ：有限个无穷小的乘积为无穷小。：有限个无穷小的乘积为无穷小。例例 求极限求极限 解：解： ， 1|sin|xxxxsinlim01limxx)sin1
2、(limsinlimxxxxxx0二、无穷大二、无穷大定义定义（无穷大）：当（无穷大）：当x x0( x )时，函数时，函数 f(x) 的的绝对值无限增大，则称函数绝对值无限增大，则称函数f(x)为当为当x x0( x )时的时的无穷大无穷大;记为：记为： （或（或 ） 正无穷大正无穷大记为：记为： lim f(x)=+ 负无穷大负无穷大记为：记为： lim f(x)=- 三、无穷大与无穷小的关系三、无穷大与无穷小的关系定理定理：如果：如果 lim f(x)= ，则，则 ；反之，；反之， 如果如果lim f(x)=0且，且， f(x) 0则则 例例 求极限求极限 解：解： )(lim0 xfx
3、x0)(1limxf)(limxfx)(1limxf12lim21xxx0211121lim221xxx12lim21xxx四、无穷小的比较四、无穷小的比较 定义定义： 设设和和 都是无穷小都是无穷小 如果如果 则称则称是是的的高阶无穷小高阶无穷小， 如果如果 则称则称是是的的低阶无穷小低阶无穷小， 如果如果 （C是不为零的常数），则是不为零的常数），则称称是是的的同阶无穷小同阶无穷小。 特别地：如果特别地：如果 ，称，称与与的为的为等价无穷小等价无穷小，记为：记为： 。 定理定理：若：若 ， 且且 存在存在 ，则：，则： 0limlimClim1limlim limlim常用的等价无穷小有：当常用的等价无穷小有：当 x 0时时 sinxx tanx x ex 1x arcsinxx arctanxx ln(1+x) x例例 求极限求极限 解：解：练习（练习（P23）8. 用等价无穷小代换，求函数的极限：用等价无穷小代换，求函数的极限： )3sin()51ln(lim0 xxx3535lim)3sin()51ln(lim00 xxxxxx)2tan()3sin(lim0 xxx