第九章直线和圆的方程.pdf

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1、第九章第九章 直线和圆直线和圆 考点考点 1 直线直线方程与两直线的位置关系方程与两直线的位置关系 1. (2016 北京， 7)已知 A(2， 5)， B(4， 1)， 若点 P(x， y)在线段 AB 上， 则 2xy 的最大值为( ) A.1 B.3 C.7 D.8 1.解析 线段 AB 的方程为 y15124(x4)，2x4. 即 2xy90，2x4，因为 P(x，y)在线段 AB 上， 所以 2xy2x(2x9)4x9. 又 2x4，则14x97，故 2xy 最大值为 7. 答案 C 2.(2015 安徽，8)直线 3x4yb 与圆 x2y22x2y10 相切，则 b 的值是( )

2、A.2 或 12 B.2 或12 C.2 或12 D.2 或 12 2.解析 圆方程可化为(x1)2(y1)21，该圆是以(1，1)为圆心，以 1 为半径的圆， 直线 3x4yb 与该圆相切，|3141b|32421.解得 b2 或 b12，故选 D. 答案 D 3.(2015 江苏，12)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y21 右支上的一个动点.若点P 到直线 xy10 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为_. 3.解析 双曲线 x2y21 的渐近线为 x y0，直线 xy10 与渐近线 xy0 平行，故两平行线的距离d|10|121222.由点P到直线xy10的距

3、离大于c恒成立， 得c22，故 c 的最大值为22. 答案 22 考点考点 2 圆的方程及直线圆的方程及直线、圆的位置关系圆的位置关系 1（2018 全国卷， 8） 直线 + + 2 = 0分别与轴， 轴交于， 两点， 点在圆( 2)2+2= 2上，则 面积的取值范围是 A2，6 B4，8 C2，32 D22，32 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021解析：直线x + y + 2 = 0分别与x轴，y轴交于A，B两点 A(2,0),B(0,2),则|AB| = 22 点 P在圆（x 2）2+ 2= 2上 圆心为（2，0） ，则圆心到直线距离1=|2

4、+0+2|2= 22 故点 P 到直线x + y + 2 = 0的距离2的范围为2,32 则=12|2= 22 2,6 故答案选 A. 答案 A 2.(2016 新课标全国， 6)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a( ) A.43 B.34 C. 3 D.2 2.解析 由圆的方程 x2y22x8y130 得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d|1 a41|1a21，解之得 a43. 答案 A 3.(2016北京，5)圆(x1)2y22 的圆心到直线 yx3 的距离为( ) A.1 B.2 C. 2 D.2 2 3.解析 圆(x1)2y22 的圆

5、心坐标为(1，0)，由 yx3 得 xy30，则圆心到直线的距离 d|103|12（1）2 2. 答案 C 4.(2016 山东，7)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 4.解析 圆 M：x2(ya)2a2，圆心坐标为 M(0，a)，半径 r1为 a， 圆心 M 到直线 xy0 的距离 d|a|2，由几何知识得|a|22( 2)2a2，解得 a2. M(0，2)，r12. 又圆 N 的圆心坐标 N(1，1)，半径 r21， |MN| （10）2（12

6、）2 2，r1r23，r1r21. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选 B. 答案 B 5.(2015 新课标全国，7)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.2 53 D.43 5.解析 由点 B(0， 3)，C(2， 3)，得线段 BC 的垂直平分线方程为 x1， 由点 A(1，0)，B(0， 3)，得线段 AB 的垂直平分线方程为 y3233x12， 联立，解得ABC 外接圆的圆心坐标为1，23 3 ， 其到原点的距

7、离为1223 32213.故选 B. 答案 B 6.(2015 北京，2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x1)2(y1)21 B.(x1)2(y1)21 C.(x1)2(y1)22 D.(x1)2(y1)22 6.解析 圆的半径 r 1212 2，圆的方程为(x1)2(y1)22. 答案 D 7 （2018 全国卷 I，15)直线 = + 1与圆2+ 2+ 2 3 = 0交于，两点，则| =_ 解析：根据题意，圆的方程可化为2+ ( + 1)2= 4， 所以圆的圆心为(0,1)，且半径是 2， 根据点到直线的距离公式可以求得 =|0+1+1|12+(1)2= 2， 结合圆中

8、的特殊三角形，可知| = 24 2 = 22，故答案为22. 答案 22 8 （2018 天津，12)在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_ 解析：设圆的方程为2+ 2+ + + = 0，圆经过三点（0，0） ， （1，1） ， （2，0） ，则： 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 = 01 + 1 + + + = 04 + 0 + 2 + = 0 ，解得： = 2 = 0 = 0 ，则圆的方程为2+ 2 2 = 0. 答案 2+ 2 2 = 0 9.(2017 江苏，13)在平面直角坐标系xOy中,( 1

9、2,0), (0,6),AB点P在圆2250O xy+=：上,若20,PA PB则点P的横坐标的取值范围是 . 9.解析 设( , )P x y，由20PA PB，易得250 xy+ ，由2225050 xyxy+=+=，可得5:5xAy= = 或1:7xBy=，由250 xy+ 得 P 点在圆左边弧AB上,结合限制条件5 25 2x ，可得点 P 横坐标的取值范围为 5 2,1. 答案 5 2,1 10.(2016 新课标全国， 15)设直线 yx2a 与圆 C： x2y22ay20 相交于 A， B 两点，若|AB|2 3，则圆 C 的面积为_. 10.解析 圆 C：x2y22ay20，即

10、 C：x2(ya)2a22，圆心为 C(0，a)，C 到直线 yx2a 的距离为 d|0a2a|2|a|2. 又由|AB|2 3，得2 322|a|22a22，解得 a22，所以圆的面积为 (a22)4. 答案 4 11. (2016新课标全国，15)已知直线 l：x 3y60 与圆 x2y212 交于 A、B 两点，过 A、B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C、D 两点，则|CD|_. 11.解析 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，由x 3y60，x2y212，得 y23 3y60， 则 y1y23 3，又 y22 3，y1 3，A(3， 3)，B(0，2 3).过 A，B 作

11、l 的垂线方程分别为 y- 3- 3(x3)，y2 3- 3x，令 y0，则 xC-2，xD2，|CD|2-(-2)4. 答案 4 12. (2016 浙江，10)已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021_.半径是_. 12.解析 由已知方程表示圆，则 a2a2，解得 a2 或 a1. 当 a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当 a1 时，原方程为 x2y24x8y50， 化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为 5 的圆. 答案 (-2，-

12、4) 5 13. (2015 湖南，13)若直线 3x4y50 与圆 x2y2r2(r0)相交于 A，B 两点，且AOB120 (O 为坐标原点)，则 r_. 13.解析 如图，过 O 点作 ODAB 于 D 点，在 RtDOB 中，DOB60， DBO30， 又|OD|30405|51， r2|OD|2. 答案 2 14.(2015 江苏，10)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_. 14.解析 直线 mxy2m10 恒过定点(2，1)，由题意，得半径最大的圆的半径 r（12）2（01）2 2.故所求圆的

13、标准方程为(x1)2y22. 答案 (x1)2y22 15.(2015 湖北，16)如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点 A，B(B在 A 的上方)，且|AB|2. (1)圆 C 的标准方程为_. (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_. 15.解析 (1)由题意，设圆心 C(1，r)(r 为圆 C 的半径)，则 r2|AB|22122，解得 r 2.所以圆 C 的方程为(x1)2(y 2)22. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021(2) 方法一 令 x0，得 y 21，所以点 B(0, 2

14、1).又点 C(1， 2)，所以直线 BC 的斜率为 kBC1，所以过点 B 的切线方程为 y( 21)x0，即 yx( 21). 令 y0，得切线在 x 轴上的截距为 21. 方法二 令 x0，得 y 21，所以点 B(0， 21).又点 C(1， 2)，设过点 B 的切线方程为 y( 21)kx，即 kxy( 21)0.由题意，圆心 C(1， 2)到直线 kxy( 21)0的距离d|k 2 21|k21r 2， 解得k1.故切线方程为xy( 21)0.令y0，得切线在 x 轴上的截距为 21. 答案 (1)(x1)2(y 2)22 (2) 21 16.(2017 课标 3，20)在直角坐标

15、系 xOy 中，曲线22yxmx=+与 x 轴交于 A，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当 m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现 ACBC 的情况？说明理由； （2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 16. 解析 试题分析： （1）设()()12,0 ,0A xB x，由 ACBC 得1 210 x x + =；由韦达定理得122x x = ，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为2220 xymxEy+=,因为过(0,1)，所以1E = ，令0 x = 得22012yyyy+=或，即弦长为 3. (1)不能出现 ACBC 的情况,理由如下: 设 A(x1,0)

16、,B(x2,0),则 x1,x2 满足 x2+mx-2=0,所以 x1x2=-2. 又 C 的坐标为(0,1),故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为1X11X2=-12,所以不能出现 ACBC 的情况. (2)设过 A，B，C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D， 由122x x = 可知原点 O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OCOA OBx x=， 又1OC =，所以2OD =， 所以过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为3OCOD+=，为定值. 17.(2015 新课标全国， 20)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： (x2)2(y3)21交于

17、 M，N 两点. (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202117.解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1，因为 l 与 C 交于两点，所以|2k31|1k21. 解得4 73k4 73.所以 k 的取值范围为4 73，4 73. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2).将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (1k2)x24(1k)x70.所以 x1x24（1k）1k2，x1x271k2. OMONx1x2y1y2(1k2)x1x2k(

18、x1x2)14k（1k）1k28. 由题设可得4k（1k）1k2812，解得 k1， 所以 l 的方程为 yx1.故圆心 C 在 l 上，所以|MN|2. 18.(2015 广东，20)已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B. (1)求圆 C1的圆心坐标； (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； (3)是否存在实数 k，使得直线 L：yk(x4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由. 18.解 (1)圆 C1：x2y26x50 化为(x3)2y24，所以圆 C1的圆心坐标为(3，0). (2)设线段 A

19、B 的中点 M(x0，y0)，由圆的性质可得 C1M 垂直于直线 l， 设直线 l 的方程为 ymx，易知直线 l 的斜率存在，所以 kC1Mm1，y0mx0， 所以y0 x03y0 x01，所以 x203x0y200，即x0322y2094， 因为动直线 l 与圆 C1相交，所以|3m|m212，所以 m245， 所以 y20m2x2045x20，所以 3x0 x2053或 x00，又因为 0 x03，所以53x03. 所以 M(x0，y0)满足x0322y209453x03 ，即 M 的轨迹 C 的方程为x322y29453x3 . (3)由题意知直线 L 表示过定点 T(4， 0)， 斜

20、率为 k 的直线.结合图形，x322y29453x3表示的是一段关于 x 轴对称，起点为53，2 53按逆时针方向运动到53，2 53的圆弧. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021根据对称性，只需讨论在 x 轴对称下方的圆弧，设 P53，2 53，则 kPT2 534532 57，而当直线 L 与轨迹 C 相切时，3k24kk2132，解得 k34在这里暂取 k34，因为2 5734，所以kPTk. 结合图形，可得对于 x 轴对称下方的圆弧，当2 57k0 或 k34时，直线 L 与 x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知2 57k2 57或 k34， 综上所述：当2 57k2 57或 k34时，直线 L：yk(x4)与曲线 C 只有一交点. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021