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1、高中数学动点轨迹方程求解方法 轨迹， 包含两个方面的问题： 凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。 轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。 轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合， 叫做满足该条件的点的轨迹。重点要掌握常用求轨迹方法， 难点是轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论。 一、动点轨迹方程解题步骤 1.建系建立适当的坐标系，设出动点 M 的坐标; 2.设点设轨迹上的任一点 P(x，
2、y)，写出点 P 的集合; 3.列式列出动点 p 所满足的关系式; 4.代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于 X，Y 的方程式，化简方程为最简形式; 5.证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 二、动点轨迹方程求解常见的 6 种方法 动点轨迹方程的求解方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 1.直译求解法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断， 但点 P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再
3、用点 P 的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式， 点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 2.定义求解法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。待定系数法： 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定
4、义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 3.相关点求解法(代入法)：用动点 Q 的坐标 x，y 表示相关点 P 的坐标x0、y0，然后代入点 P 的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点 Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。如果动点 P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的， 而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出 P(x，y)，用(x，y)表示出相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。 4.参数求解法：当动点
5、坐标 x、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 x、y 与某一变数 t 的关系，得再消去参变数 t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐标 x，y 与该参数 t 的函数关系x=f(t)，y=g(t)，进而通过消参化为轨迹的普通方程 F(x，y)=0。 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一， 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨
6、论;参数取值的变化使方程表示不同的曲线;参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同;参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。 5.交轨求解法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程)，该法经常与参数法并用。将两动曲线方程中的参数消去， 得到不含参数的方程， 即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 若动点是两曲线的交点， 可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。
7、 6.几何求解法： 若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线，角平分线的性质等)，可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 【注意事项】 1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P 的运动规律，即 P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 2.轨迹方程既可用普通方程表示，又可用参数方程来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解。 (即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)， 出现增解则要舍去，出现丢解， 则需补充。 检验方法： 研究运动中的特殊情形或极端情形。 【总结归纳】 1.要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围.由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的完备性和纯粹性，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明的取值范围，或同时注明的取值范围。 2.轨迹与轨迹方程既有区别又有联系，求轨迹时首先要求出轨迹方程， 然后再说明方程的轨迹图形， 最后补漏和去掉增多的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。