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1、增函数增函数 减函数减函数 定义定义 一般地一般地,设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I.如果对于定义如果对于定义域域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1,x2. 当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数 当当x1f(x2),那么就那么就说函数说函数f(x)在区间在区间D上是减函数上是减函数 图象图象 描述描述 自左向右看图象是自左向右看图象是上升的上升的 自左向右看图象自左向右看图象是是下降的下降的 (2)单调性与单调区间单调性与单调区间 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上是
2、增函数或减函数上是增函数或减函数,那么就说那么就说y=f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有单调性单调性,区间区间D叫做叫做y=f(x)的的单调单调区间区间. (3)若函数若函数y=f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导,当当f(x)0时时,f(x)为增函数为增函数;当当f(x)0时时,f(x)为减函数为减函数. 2.函数的最值函数的最值 前提前提 一般地一般地,设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,如果存如果存在实数在实数M满足满足 条件条件 对于任意对于任意xI,都有都有f(x)M; 对于任意对于任意xI,都有都有f(x)M; 存在存在x0I,使得使得f(x0)=M. 存在存
3、在x0I,使使得得f(x0)=M. 结论结论 M为最大值为最大值 M为最小值为最小值 结论结论 M为最大值为最大值 M为最小值为最小值 定义在闭区间上的单调函数必有定义在闭区间上的单调函数必有最大最大(小小)值值.设设f(x)是定义在是定义在m,n上的单调增函数上的单调增函数,则它的最大值是则它的最大值是f(n),最小值是最小值是f(m). 考点陪练考点陪练 1.(2010福建福建)下列函数下列函数f(x)中中,满足满足“对任意对任意x1,x2(0,+),当当x1f(x2)”的是的是( ) A. B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1) 答案答案:A 1(
4、)xf x 2.f x(121.522.12)xxABCD函数的最大值为答案答案:B 3.(2011)f xR, 1xA.,1B. 1,C.,00,1D.,01,1ffx长春质检已知为 上的减函数 则满足的实数 的取值范围是()答案答案:D 4.(2011)yM,1311.4223.m,.22()xxmMABCD福建模拟已知函数的最大值为最小值为则的值为答案答案:C 5.设设x1,x2为为y=f(x)的定义域内的任意两个变量的定义域内的任意两个变量,有以下几个命有以下几个命题题: (x1-x2)f(x1)-f(x2)0; (x1-x2)f(x1)-f(x2)0; 其中能推出函数其中能推出函数y
5、=f(x)为增函数的命题为为增函数的命题为_. 12121212( )()0;( )()0.f xf xxxf xf xxx答案答案: 类型一类型一 函数单调性的判定与证明函数单调性的判定与证明 解题准备解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法定义法 直接直接法法 图象法图象法. 1.用定义法证明函数单调性的步骤用定义法证明函数单调性的步骤: (1)取值取值:设设x1,x2为该区间内任意的两个值为该区间内任意的两个值,且且x10; (2)作差变形作差变形:作差作差y=f(x2)-f(x1),并通过因式分解并通过因式分解 配方配方 有理有理化等方法化等方
6、法,向有利于判断差值符号的方向变形向有利于判断差值符号的方向变形; (3)定号定号:确定差值确定差值y的符号的符号,当符号不确定时当符号不确定时,可考虑分类讨可考虑分类讨论论; (4)判断判断:根据定义作出结论根据定义作出结论. 2.直接法直接法:运用已知的结论运用已知的结论,直接得到函数的单调性直接得到函数的单调性.如一次函如一次函数数 二次函数二次函数 反比例函数的单调性均可直接说出反比例函数的单调性均可直接说出. 了解以下结论了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处对直接判断函数的单调性有好处: (1)函数函数y=-f(x)与函数与函数y=f(x)的单调性相反的单调性相反; (2)当当
7、f(x)恒为正或恒为负时恒为正或恒为负时,函数函数 与与y=f(x)的的单调性相反单调性相反; (3)在公共区间内在公共区间内,增函数增函数+增函数增函数=增函数增函数,增函数增函数-减函数减函数=增增函数等函数等; (4)复合函数单调性判断复合函数单调性判断,要注意掌握要注意掌握“同增同增 异减异减”的原则的原则. 1( )yf x3.图象法图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单调性的方法调性的方法. 211f xa01,1.axx【典例 】判断函数在区间上的单调性 122122121221221212121212(1)().(1 :
8、1xx1,f xf xa0,f xf x,f x1,1;a0,f xf x,f x1,1)(1)(1)()0,(1)(.1)a x xxxxxx xxxxx 解 解法一 设则时函数在上递减时函数在上递增 222222:f x,fxx1,1 ,x10,x10,a(1)0,fx0,f x.a0,fx0,f1x.,()a xx 解法二 对求导 有当时为增函数当时为减函数 反思感悟反思感悟 利用函数单调性的定义证明利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时的单调性时,比比较较f(x1)与与f(x2)的大小常用作差法的大小常用作差法,有时可运用作商法有时可运用作商法 放缩放缩法等法等;讨论函数的单调性值
9、域问题不可忽视函数的定义域讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域. 类型二类型二 函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性 解题准备解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可所以结合图象可得奇函数在得奇函数在(a,b)与与(-b,-a)上的单调性相同上的单调性相同.因为偶函数的图因为偶函数的图象关于象关于y轴对称轴对称,所以偶函数在所以偶函数在(a,b)与与(-b,-a)上的单调性相上的单调性相反反. 212f x. 1a,b;2f x,;3f xx0.xaxbx【典例 】已知是奇函数求的值求的单调区间 并加以证明求的最值 分析分析 利用利用f(-
10、x)=-f(x)求求a,b的值的值. 222122112222212122121212 1f xfx0,2 ab x2a0 x.ab0. 2f xxR,0,f x.x ,x0,0111()(,xx ,f xf1).11(1)(x1)xaxaxbxxbxxxxxxxx xxxxx 解恒成立即恒成立 则对任意的实数 恒成立是奇函数只需研究上的单调区间即可任取且则x21+10,x22+10,x2-x10, 而而x1,x20,1时时,x1x2-10, 当当x1,x20,1时时,f(x1)-f(x2)0, 函数函数y=f(x)是减函数是减函数. 又又f(x)是奇函数是奇函数, f(x)在在-1,0上是增
11、函数上是增函数,在在(-,-1上是减函数上是减函数. 又又x0,1,u-1,0时时,恒有恒有f(x)f(u),等号只在等号只在x=u=0时取到时取到,故故f(x)在在-1,1上是增函数上是增函数. (3)由由(2)知函数知函数f(x)在在(0,1)上递增上递增,在在1,+)上递减上递减,则则f(x)在在x=1处可取得最大值处可取得最大值. f(1)= ， 函数的最大值为函数的最大值为 ,无最小值无最小值. 类型三类型三 求函数的最值求函数的最值 解题准备解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法常用配方法. (2)利用函数的单调
12、性求最值利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单先判断函数在给定区间上的单调性调性,然后利用单调性求最值然后利用单调性求最值. (3)基本不等式法基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法用此法. (4)导数法导数法:当函数较复杂当函数较复杂(如指如指 对数函数与多项式结合对数函数与多项式结合)时时,一一般采用此法般采用此法. (5)数形结合法数形结合法:画出函数图象画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的找出坐标的范围或分析条件的几何意义几何意义,在图上找其变化范围在图上找其变化范围. 23f x x1,.1a4,f x;2a,f
13、x;32,a,f x2.1xxax【典例 】已知函数当时 求的最小值当时 求的最小值若 为正数 求的最小值 分析分析 在解决该类型函数的最值时在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不首先考虑到应用均值不等式求解等式求解,但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件.若若条件不具备条件不具备,应从函数单调性的角度考虑应从函数单调性的角度考虑. minminmin42,1 1a4,f xx,f x1,2,2,.f xf 26.2a,f xx2,f x11227.2,.f xf 1 3f xx2(0,).,a1,f x1,),f xf0a11()22;1,xxa
14、aaxaaaa解当时易知在上是减函数 在上是增函数当时易知在上为增函数函数在上是减函数 在上是增函数若即时在区间上先减后增若 即 min,f x1,.f xf 1a3.时在区间上是增函数类型四类型四 抽象函数的单调性与最值抽象函数的单调性与最值 解题准备解题准备:抽象函数是近几年高考的热点抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质研究这类函数性质的根本方法是的根本方法是“赋值赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值解题中要灵活应用题目条件赋值转化或配凑转化或配凑. 【典例典例4】 函数函数f(x)对任意的对任意的a、bR,都有都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当并且当x0时时,f(x
15、)1. (1)求证求证:f(x)是是R上的增函数上的增函数; (2)若若f(4)=5,解不等式解不等式f(3m2-m-2)3. 分析分析 (1)是抽象函数单调性的证明是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义所以要用单调性的定义.(2)将函数不等式中抽象的函数符号将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性运用单调性“去去掉掉”,为此需将右边常数为此需将右边常数3看成某个变量的函数值看成某个变量的函数值. 解解 (1)设设x1,x2R,且且x10,则则f(x2-x1)1. f(a+b)=f(a)+f(b)-1, f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-1 又又f(x
16、2-x1)-10, 因此因此f(x2)f(x1), 故故f(x)在在R上是增函数上是增函数. (2)令令a=b=2,则则f(4)=2f(2)-1. 又又f(4)=5,f(2)=3. 原不等式即为原不等式即为f(3m2-m-2)f(2). 由由(1)知知f(x)在在R上是增函数上是增函数, 3m2-m-22. 4.341,.3 1m解之得原不等式解集为反思感悟反思感悟 (1)若函数若函数f(x)是增函数是增函数,则则f(x1)f(x2)x1x2,函函数不等式数不等式(或方程或方程)的求解的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符总是想方设法去掉抽象函数的符号号,化为一般不等式化为一般不等式(或方程或方
17、程)求解求解,但无论如何都必须在定但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行义域内或给定的范围内进行. (2)在解答过程中易出现不能正确构造在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将的形式或不能将不等式右边不等式右边3转化为转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解从而不能应用函数的单调性求解,导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化式进行转化. 错源一错源一 不注意分段函数的特点不注意分段函数的特点 1f
18、 x.,a(31)4 ,1,11.(0,1). 0,31 11.,.,17 37()axa xlogax xABCD 【典例 】已知是上的减函数 那么 的取值范围是03a,B10,101,3.aa 错解依题意应有解得选 剖析剖析 本题的错误在于没有注意分段函数的特点本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了只保证了函数在每一段上是单调递减的函数在每一段上是单调递减的,没有使函数没有使函数f(x)在在(-,1上上的最小值大于的最小值大于(1,+)上的最大值上的最大值,从而得出错误结果从而得出错误结果. a R,3a10,0a1,x13a1 141alog 1,aC1,7 3. 正解 据题意要
19、使原函数在定义域 上为减函数 要满足且及时解得 的取值范围为故选答案答案 C 错源二错源二 判断复合函数的单调性时判断复合函数的单调性时,未弄清内未弄清内 外函数的单调外函数的单调性而致错性而致错 22f xx1R.x【典例 】利用定义判断函数在区间上的单调性 121222212221222212211221212111)( 11)(11) x ,xR,xx ,f xf x(xxxxx ,xx0,f xf x0,110,f xf x .f xR.,xxxxxxx 错解 设且则因为则且所以即以函数在 上是单调递增函数 2221221 g x.,Rg x,xx,111.xxx剖析 上述解法产生错误
20、的原因在于没有弄清函数的单调性事实上 在 上函数不具有单调性 因此当时 不能推出2221222122212221212122212221212121212212212121221 x ,xR,xx ,f xf x(xxx1)( 11)(11)(1)(1)11()()11()(11x)11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 正解 设且则 2221222122212212221111211212xx ,xx0,xxx0,xxx0,xx0,f xf x0,f xf x.f110111xR1.xxxxxx 因为则而所以所以即所以函数在 上是单调递增函数技法一技法一 复合法复合法 21
21、21.3yxx【典例 】求的单调区间 2222x2x30,x1x3,tx2x3(t0),yy0,0,tx2x3(, 1),1,1,1,3 ,(3,), 1 ,1,11,11 ,1,3 , 32,.3ttyxx 解由得或令则因为在上为减函数而在上为减函数 在上为增函数 所以函数的单调递增区间为单调递减区间为 方法与技巧方法与技巧 复合函数求单调区间是一个难点复合函数求单调区间是一个难点,我们应明确我们应明确单调区间必须是定义域的子集单调区间必须是定义域的子集,当求单调区间时当求单调区间时,必须先求必须先求出原复合函数的定义域出原复合函数的定义域,再根据基本函数的单调性与“同再根据基本函数的单调性
22、与“同为增为增,异为减”的原则判断复合函数的单调区间异为减”的原则判断复合函数的单调区间. 技法二技法二 定义法定义法 2162yx,.x【典例 】试求函数的单调区间 并指出单调性2212121212121212122121211 x0,x0,x0,61616.1xx ,f xf xxxxxx,xx0,x2.6xxxxxxx xx x解函数定义域为设且则令代入得 1212121212112122121212212121,0 , 0,2 , 2,.1xx0,xx0,xxf xf x0,f xf x.f x,0.20 xx2,xx4,0 x x4,xxxx0,f xf x0.f x0,160,16
23、164,02.x xx xx x结合定义域易得函数的单调区间为若则故即所以在上单调递减若则所以又所以所以在上单调递减 121212112212121216,4,1 32xx ,xx4,x x4xxxx0,f xf x60.0.f x2,.x xx x若 则所以又所以所以在上单调递增 方法与技巧方法与技巧利用函数单调性的定义求单调区间的关键有两利用函数单调性的定义求单调区间的关键有两点点:一是对一是对f(x1)-f(x2)要正确变形要正确变形,主要途径有主要途径有:因式分解因式分解 配配方方 通分通分 有理化等有理化等;二是利用二是利用x1=x2=x确定函数增减区间的确定函数增减区间的分界点分界
24、点,划定区间划定区间. 技法三技法三 图象法图象法 【典例典例3】求函数求函数f(x)=|1-x2|+x的单调区间的单调区间,并指出单调性并指出单调性. 2215, 11,24( )15,11.2f4xxxf xxxx 解 把化为 或 ,f x1,),111,1 .22(, 1 作出图象如图所示由图象易知 函数的单调递增区间是和单调递减区间是和 方法与技巧方法与技巧作函数图象时作函数图象时,首先是要确定函数的定义域首先是要确定函数的定义域,特特别是分段函数的每一段的自变量的取值范围别是分段函数的每一段的自变量的取值范围,一定要对号一定要对号入座入座.当函数的表达式较为复杂时当函数的表达式较为复杂时,要注意讨论函数的性质要注意讨论函数的性质,然后根据性质正确作出函数的图象然后根据性质正确作出函数的图象.