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1、。精选资料，欢迎下载矩阵知识点归纳(一)二阶矩阵与变换1线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy中，由xaxby，ycxdy，( 其中a，b，c，d是常数 ) 构成的变换称为线性变换由四个数a，b，c，d排成的正方形数表abcd称为二阶矩阵，其中a，b，c，d称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C， 或(aij) 表示 ( 其中i，j分别为元素aij所在的行和列 ) 2矩阵的乘法行矩阵 a11a12 与列矩阵b11b21的乘法规则为 a11a12b11b21a11b11a12b21 ， 二阶矩阵abcd与列矩阵xy的乘法规则为abcdxyaxbycxdy. 矩阵乘法满足结合律， 不满足交
2、换律和消去律3几种常见的线性变换(1) 恒等变换矩阵M1 00 1；(2) 旋转变换R对应的矩阵是Mcos sin sin cos ；(3) 反射变换要看关于哪条直线对称例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M11 00 1；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M21 00 1；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M31 00 1；(4) 伸压变换对应的二阶矩阵Mk100 k2，表示将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，k1，k2均为非零常数；(5) 投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M1 00 0；(6) 切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移 |ky
3、| 个单位，则对应矩阵M1 k0 1，若沿y轴平移 |kx| 个单位，则对应矩阵M1 0k1.( 其中k为非零常数 ) 4线性变换的基本性质设向量 xy，规定实数 与向量 的乘积 xy；设向量 x1y1， x2y2，规定向量 与 的和 x1x2y1y2. (1) 设M是一个二阶矩阵， 、 是平面上的任意两个向量， 是一个任意实数， 则M( )M ，M( ) M M . (2) 二阶矩阵对应的变换(线性变换 )把平面上的直线变成直线( 或一点 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共
4、6 页 - - - - - - - - - - 。精选资料，欢迎下载(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1矩阵的逆矩阵(1) 一般地，设是一个线性变换，如果存在线性变换 ，使得 I，则称变换可逆并且称是 的逆变换(2) 设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BAABE，则称矩阵A可逆， 或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵(3)( 性质 1) 设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的， 则A的逆矩阵是唯一的A的逆矩阵记为A1(4)( 性质 2) 设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且 (AB) 1B1A1. (5) 已知A，B，C为二阶矩阵，且ABAC，若矩阵A存在逆矩阵
5、，则BC. (6) 对于二阶可逆矩阵Aabcd(adbc0)， 它的逆矩阵为A1dadbcbadbccadbcaadbc. 2二阶行列式与方程组的解对于关于x，y的二元一次方程组axbym，cxdyn，我们把abcd称为二阶行列式， 它的运算结果是一个数值( 或多项式 ) ，记为 det(A) abcdadbc. 若将方程组中行列式abcd记为D，m bnd记为Dx，amcn记为Dy，则当D0 时，方程组的解为xDxD，yDyD.3二阶矩阵的特征值和特征向量(1) 特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数 ，存在一个非零向量 ，使得A ，那么 称为A的一个特征值，称为A的一个属于
6、特征值 的一个特征向量(2) 特征多项式设 是二阶矩阵Aabcd的一个特征值， 它的一个特征向量为 xy， 则Axyxy，即axby x，cxdy y，也即 a xby0，cx d y0.(*) 定义： 设Aabcd是一个二阶矩阵， R，我们把行列式f( ) abc d 2 (ad) adbc称为A的特征多项式(3) 矩阵的特征值与特征向量的求法如果 是二阶矩阵A的特征值， 则 一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f( )0，此时，将代入二元一次方程组(*) ，就可得到一组非零解x0y0，于是非零向量x0y0即为A的属于 的一个特征向量精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -
7、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 。精选资料，欢迎下载所有变换矩阵单位矩阵：1001M，点的变换为( , )( , )x yx y伸压变换矩阵：001kM：1k，将原来图形横坐标扩大为原来k倍，纵坐标不变01k，将原来图形横坐标缩小为原来k倍，纵坐标不变点的变换为( ,)(, )x ykx y100Mk：1k，将原来图形纵坐标扩大为原来k倍，横坐标不变01k，将原来图形纵坐标缩小为原来k倍，横坐标不变点的变换为( ,)( ,)x yx ky反射变换：1001M：点的变换为( , )(
8、,)x yxy变换前后关于x轴对称1001M：点的变换为( , )(,)x yx y变换前后关于y轴对称1001M：点的变换为( , )(,)x yxy变换前后关于原点对称0110M：点的变换为( ,)( , )x yy x变换前后关于直线yx对称旋转变换：cossinsincosM： 逆时针090：0110M； 顺时针090：0110M旋转变化矩阵还可以设为：abMba投影变换：1000M：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上点的变换为( , )( ,0)x yx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -
9、第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 。精选资料，欢迎下载0001M：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上点的变换为( , )(0,)x yy1010M：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到yx上点的变换为( ,)( , )x yx x0101M：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到yx上点的变换为( , )( , )x yy y11221122M：将坐标平面上的点垂直于yx方向投影到yx上点的变换为( , )(,)22xy xyx y切变变换：101kM：把平面上的点沿x轴方向平移|ky个单位点的变换为( , )(, )x yxky y101Mk：把平面上的点沿y轴方向
10、平移|kx个单位点的变换为( , )( ,)x yx kxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 。精选资料，欢迎下载Welcome ! 欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -