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1、2015 届普陀区高三二模数学试卷（理科）2015.04 一、填空题（共14 题，每题 4 分，满分56 分）1.不等式01xx的解集为. 2.若1miii（i为虚数单位） ，则实数m. 3.若函数( )sinsin022xxf x的最小正周期为，则. 4. 集合21,4 ,RAx yxBx yx x，则 ABI. 5. 若0 x，则函数sincos32yxx的单调递增区间为. 6.如图，若6OFB，6OFFBu uu r uuu r，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为. 7.函数11fxx x，若函数2g xxax 是偶函数，则fa. 8.一个圆锥与一个球的体积相等
2、且圆锥的底面半径是球半径的2 倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为. 9.已知直线 l 和曲线的极坐标方程分别为sincos1和1，若 l 和相交于两点,A B ，则 AB. 10.如图，机车甲、乙分别停在AB，处，且=10ABkm ，甲的速度为4 千米 /小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60 的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100 分钟，则它们之间的距离为千米 .11.一个袋子中有7 个除颜色外完全相同的小球，其中5 个红色， 2 个黑色 .从袋中随机地取出 3 个小球 .其中取到黑球的个数为，则 E（结果用最简分数作答）. 12.若正方形ABCD的边长为 1，且,ABa BC
3、b ACcu uu rr uu u rr uu u rr则326abcrrr. 13.已知复数12,z z 满足11z，21Re1z，21Im1z，若12zzz ，则 z 在复平面上yxFAOB6第 题图北ACB?D60o10第题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 对应的点组成的图形的面积为. 14.Rx，用记号N x表示不小于实数的最小整数，例如2.53N，21N，11N；则函数13122fxNxx的所有零点之和为. 二、选择题
4、（共4 题，每题 5 分，满分20 分）15. , ,a b c表示直线，表示平面，下列命题正确的是（）A.若/ /ab ，/ /a，则/ /bB. 若a b ，b ，则aC. 若ac， b c，则/ /abD.若a， b ，则/ /ab16.” 直线与抛物线相切” 是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件17. 在*22() ()nxnNx的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A.第 2 项B.第 3 项C.第 4 项D.第 5 项18.已知, , ,m n i j均为正整数，记, i
5、 ja为矩阵1,21,2,22,1,2,12mmn mnnn maaaaAaaaLLLLLLL中第i行、第j列的元素，且,11iji jaa，2,1,2ijiji jaaa （其中2in，2jm） ； 给出结论： 5,6134a；2,12,22,2maaamL；1,12nnmn maa若m为常数，则,23lim3n mnma.其中正确的个数是（）A.0 个B.1 个C.2个D.3个三、解答题（本大题共5 题，写出必要的文字说明与步骤）19.（本题满分12 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分）已知函数2cosfxx，13sincos2g xxx . （1）若直线xa是函数 yfx 的
6、图像的一条对称轴，求2ga 的值；（2）若 02x，求 h xfxg x 的值域 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 20.（本题满分14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）在正方体1111ABCDAB C D 中，E是棱1DD 的中点 . （1）求直线BE与平面11ABB A 所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱1C D 上是否存在一点F，使得1/ /BF平面1A BE ，若存在，指明点F的位置，若不存
7、在，请说明理由. 20.（本题满分14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）已知函数( )2xf x的反函数为1( )fx（1）若11( )(1)1fxfx，求实数x的值；（2）若关于x的方程( )(1)0f xfxm在区间0,2内有解，求实数m的取值范围；22.（本题满分16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 7 分，第 3 小题 5 分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为11,dku u r，21,0dkkuu r，点P在AOB 内， PMOA 于M， PNOB 于 N ；（1）若1k，3 1,2 2P，求OM的值；（2）若2,1P，OMP 的面积为65，
8、求 k 的值；（3）已知 k 为常数，,M N 的中点为T，且1MONSkV，当P变化时，求动点T轨迹方程；yBAMPNxOA1AB1BC1CD1DE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 23.（本题满分18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）已知数列na的前n项和为nS ，且0na，*1N4nnnaSn（1）若21lognnnbSa，求数列nb的前n项和nT ；（2）若 02n， 2tannnna
9、，求证：数列n为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222nncaaaaL，若对任意的*Nn，ncm 恒成立，求实数m的取值范围 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2015 届普陀区高三二模数学试卷（理科）答案2015.04 一、填空题（共14 题，每题 4 分，满分56 分）1.不等式01xx的解集为0,1. 2.若1miii（i为虚数单位） ，则实数m1. 3.若函数( )sinsin022xxf x的最小
10、正周期为，则2 . 4. 集合21,4 ,RAx yxBx yx x，则 ABI0,1. 5. 若0 x，则函数sincos32yxx的单调递增区间为536，. 6.如图，若6OFB，6OFFBu uu r uuu r，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为22182xy. 7.函数11fxx x，若函数2g xxax 是偶函数，则fa1 . 8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2 倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为4. 9.已知直线 l 和曲线的极坐标方程分别为sincos1和1，若 l 和相交于两点,A B ，则 AB2 . 10.如图，机车甲、乙
11、分别停在AB，处，且=10ABkm ，甲的速度为4 千米 /小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60 的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100 分钟，则它们之间的距离为2033千米 .11.一个袋子中有7 个除颜色外完全相同的小球，其中5 个红色， 2 个黑色 .从袋中随机地取yxFAOB6第 题图北ACB?D60o10第题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 出 3 个小球 .其中取到黑球的个数为，则 E67（结果用最简
12、分数作答）. 12.若正方形ABCD的边长为 1，且,ABa BCb ACcu uu rr uu u rr uu u rr则326abcrrr5 . 13.已知复数12,z z 满足11z，21Re1z，21Im1z，若12zzz ，则 z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为12. 14.Rx，用记号N x表示不小于实数的最小整数，例如2.53N，21N，11N；则函数13122fxNxx的所有零点之和为4. 二、选择题（共4 题，每题 5 分，满分20 分）15. , ,a b c表示直线，表示平面，下列命题正确的是（D ）A.若/ /ab ，/ /a，则/ /bB. 若a b ，b ，则
13、aC. 若ac，bc，则/ /abD.若a，b，则/ /ab16.” 直线与抛物线相切” 是“直线与抛物线只有一个公共点”的（A ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件17. 在*22() ()nxnNx的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（B ）A.第 2 项B.第 3 项C.第 4 项D.第 5 项18.已知, , ,m n i j均为正整数，记, i ja为矩阵1,21,2,22,1,2,12mmn mnnn maaaaAaaaLLLLLLL中第i行、第j列的元素，且,11iji jaa，2,1,2ijiji jaa
14、a （其中2in，2jm） ； 给出结论： 5,6134a；2,12,22,2maaamL；1,12nnmn maa若m为常数，则,23lim3n mnma.其中正确的个数是（B ）A.0 个B.1 个C.2个D.3个三、解答题（本大题共5 题，写出必要的文字说明与步骤）19.（本题满分12 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分）已知函数2cosfxx，13sincos2g xxx . （1）若直线xa是函数 yfx 的图像的一条对称轴，求2ga 的值；（2）若 02x，求h xfxg x的值域 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载
15、 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 解： （1）21cos2cos2xfxx，其对称轴为2,2kxkxkZ，因为直线线xa是函数 yfx 的图像的一条对称轴，所以,2kakZ，又因为13sin222g xx ，所以1312sin 2=222gag kk即122ga. (2)由（ 1）得13cos2sin 2122sin 216h xfxg xxxx1710,2,sin2,2266662xxxQ所以 h x 的值域为122， . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名
16、师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 20.（本题满分14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）在正方体1111ABCDAB C D 中，E是棱1DD 的中点 . （1）求直线BE与平面11ABB A 所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱11C D 上是否存在一点F，使得1/ /BF平面1A BE ，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由. 解： （1）2 5arctan5（2）存在，F在棱11C D 的中点 .(提示：用空间向量) 21.（本题满分14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题
17、 8 分）已知函数( )2xf x的反函数为1( )fx（1）若11( )(1)1fxfx，求实数x的值；（2）若关于x的方程( )(1)0f xfxm在区间0,2内有解，求实数m的取值范围；解： （1）23x（2）92 2,2.22.（本题满分16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 7 分，第 3 小题 5 分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为11,dku u r，21,0dkkuu r，点P在AOB 内， PMOA 于M， PNOB 于 N ；（1）若1k，3 1,2 2P，求OM的值；（2）若2,1P，OMP 的面积为65，求 k 的值；（3）已知 k 为常数，,
18、M N 的中点为T，且1MONSkV，当P变化时，求动点T轨迹方程；解： （1）2 ；yBAMPNxOA1AB1BC1CD1DE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （2）1122k或；（3）设1122,MxkxN xkxT x y ，120,00 xxk，设直线OA的倾斜角为，则22tan ,sin21kkk，根据题意得12112221222211xxxyxxk xxkyyxxOMxkkONxk代入11sin22MONSOM ONk
19、化简得动点T轨迹方程为22211k xyxk. 23.（本题满分18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）已知数列na的前n项和为nS ，且0na，*1N4nnnaSn（1）若21lognnnbSa，求数列nb的前n项和nT ；（2）若 02n， 2tannnna，求证：数列n为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222nncaaaaL，若对任意的*Nn，ncm 恒成立，求实数m的取值范围 . 解： （1）*12 ,Nnbn n(2)由tan2tan2nnnnnnaa得代入*1N4nnnaSn得12 tannnnS，当2n时，111112 ta
20、n2tannnnnnnnaSS，因为tan2nnna，代入上式整理得1tantan 2nn， 02n所以1112,02nnnn的常数 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 当1n时，111111111,0,tan1,424naS aaaaQ所以数列n是等比数列，首项为4，公比为12，其通项公式为11*11,N422nnnn（3）由（ 2）得*11tan,N22nnnan，它是个单调递减的数列，所以11111,0,2222nnnnaaaaa123111122222nnncaaaanSL对任意的*Nn，ncm恒成立，所以minnmc. 由111110222nnnnnccnnSSa知，1nncc所以数列nc是单调递增的，nc 最小值为10c，min0nmc因此，实数m的取值范围是,0 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -