《2022年王明慈版概率论与数理统计习题五.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年王明慈版概率论与数理统计习题五.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、观测值xi123456频数ni15212520127证Y2Xii9iinx22xX习题五1.设抽样得到样本观测值为：计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。_1 101解 : xx+ ;10 i1101 10_1(-)2 -2-2-2 ;s9 i1x x91 10_2(-)2;sxixi11 10_92(-)2.10i1x x10 S2.设抽样得到100 个样本观测值如下：计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。解：由书上127 页（ ） （ ） （）式可知：_1 61xxn(115 2 21325 420 512 67) ;100iii11001 6_12(-)2(1-215 (
2、6 -27 ;s99i1xxni991 6_992(-)2.3.略100 xii1xni1004.从总 体中抽取容量为n 的样 本X1, , X，设为任 意常数，为任 意正数，作变换ckYk(X-c), i1, 2, ? , .iinc; （2）Sk2Sy; 其中X及Sk分别是1, ,n的样本均值及样本精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 11n方差；及Y2分别是SyY1,Yn的样本均值及样本方差。证明（ 1）n, 由(-) 得YiX
3、XiniYikXicXick1 (Y) 1 n1 YXicYi?nccni1kk ? ni1nk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - - SX21 n(-)21 n?-2-?SyYiYni1ni12kXickXkc（2）1 n2?1 n( -)22?2ni12kXi2SykXkXini1XkSxSx2k5. 从总体中抽取两组样本，其容量分别为n1及n2，设两组的样本均值分别为X1及X2，样 本 方 差 分 别为2及2， 把 这 两 组 样
4、 本 合 并 为 一 组 容 量为S1S2n1n2的 联 合 样 本 。证 明：（ 1）.联合样本的样本均值n1X1n2X2；Xn1n2- 12-12-2（2）.联合样本的样本方差2n1S1n2S2n1n2X1X2S1n1X1,n1n2- 1S2n2X2n1n2n1n2-1umum证 明： （ 1）Sum1Sum2n1n2nn1X1n2X2n1n2n( X1-)2(XX2i-)2X21i1iiS- 1（2）n1n2nn( -)2(-)2X1X1X1XX2iX2X2X1i1iin1n2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -
5、- - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - - nnXiXiX- 1又(1-11-)i1XXXX?222 ?i11-1iX1-X2X1-X X1i-X1?n( -)2-01111i1XXnXXn1- 12S12n1X1-精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - - n2S(,22X223?3同理(2-22-)ii1XXXXn2- 12S2n2X2-2而n1X1-Xn22X2-X2-2 22-2 2n1X
6、1X1XXn2X2X2XX2-2 22-22n1X1n1X1Xn1Xn2X2n2X2Xn2X又n1X1n2X2Xn1n22 111222 121122-n1Xn XnX?n XnX-n Xn XnX111222n Xn1n2nnn1n2nXn1n2化简得n1n22X1-X2n1n2-12- 12-22n1S1n2S2n1n2X1X2n1n2- 1n1n2n1n2- 16 设 随 机 变 量X,Y,Z 相 互 独 立 ， 都 服 从 标 准 正 态 分 布N. 0, 1), 求 随 机 变量 函 数222的分 布 函数 与概 率密 度； 并验 证 定理1当=3 时成 立 ，即U UXYZk23解
7、： X,Y,Z 相互独立且都服从N(0,1), 则U23显然?1 - 1-u220精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - - P2?22?3 ?U eufUu?o,u 0不然，直接求U 的分布函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - - Pt1u2222PU uPXYZ uf, y,
8、zdydzxdxxyz uxyz ufxfyfzdxdydz当 0,u0U3-y当0,? 1 ?x2zuPU u?edxdydzxyz u?利用三重积分的性质（略）也可得到结论。7.设随机变量 X服从自由度为的kt分布， 证明 ： 随机变 量YX2服从自由度为（1， k）的分布。F证明： X k, 则可将X 记为XU, 其Vk中N(0,1),V2Uk22U则2U1,VVkk其中2U21，V 2k由 F 分布的定义知Y2=(1,k).F18. 设随机变量X 服从自由度为k1,k2的 F 分布，证明：随机变量Y服从自由度为Xk1,k2的 F 分布；从而证明等式（） ：1F1k1,k2-Fk2,k1
9、证明： X Fk1,Uk2,则 X 可写成k, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - - ,122其中21,2,VUkk2VkV1 k2其中2，2，由F分布定义知YXUk1UkVk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - - ?F-PP1kk即Y Fk2,k1PXF1k1,k21-?1
10、1 ?1 -P?X F1-k1,k2?1 1 ?1 -(1 -) P?XF1-k1,k2?1?, 又P?Y?PYFk2,k1?F1-k1,k2?Fk2,k11-1,21F1k1,k2Fk2,k19.设总体X 服从正态分布N , 52(1)从总体中抽取容量为64 的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值小于1X的概率X-1;（2）抽取样本容量n 多大时，才能使概率X-1达到解：(1)X N0, 1nPX-1P-1 X -1?-1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - -
11、 - - - - - - - P?5-1 ?X5 5 ?64 64 64 ?8 ?-?-8 ?2?8 ?-1?5 ?5 ?5 ?(2)PX-? ? ?2 - 1 1P-1 X -1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - - X211i2XX?-?P?nXn?n?2?n?-1 ?n?5 ?n5nn9610.从正态总体N , 中抽取容量为10 的样本X1, X2 ,，X1010（1）已知0 ，求21ii 4 的概率。10（2）未知，求(-2的
12、概率。i1X X?10?1 101 ?解： (1)?2 4?22? 4 ?P?1Xi?P?1Xi?ii10又X210（P133，定理3）ii 原式P210 16?10?1 101 ?（2）?(-)2?2(-)22?P?1Xii1 10X?P?iXi1?又2(-)229（定理4 P133）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - - iXi1 原式 P291-P291 -11. 设总体X N50, 62，总体Y N46, 42，从总体X 中抽
13、取容量为10 的样本，从总体Y 中抽取容量为8 的样本，求下列概率：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - - S2?X -Y-2S22?2?（1）P0 X -Y8（2）xP?Sy?解：（1）P0 X -Y8P0 -50 -46X-Y -50 -468 -50 -46?0 -50 -46P?X -Y-50 -468 -50 -46?624262426242?10 8 10 8 10 8 ?有 136 定理 6 知，X-50 -46 N0,
14、 1624210 8 原式?-4 50 46 4P?6242?2?4?10 8 ?- 1 ?2?2?Sx6242?（2）P?Sx?P?262?Sy?y?42?2Sx又由P139，6Sy42F10 - 1, 8 - 1 原式F9, 71-F9, 71-12. 设总体,2，抽取样本,，样本均值为，样本方差为2。若精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 1?XNX1XnXS再抽取一个样本X，证明：n统计量nXn1-X1tn-1与相互独立。X
15、Xn1nS证明：,2, ?2, ,?,1 2?Xn1NXN?Xn1n?XN?on?n?精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - - nnnnnn2- 1PP?P?X1-X?1n?nnX1-Xn1 1n1SnSXn1-XXn1-X1 1?Xn1-X?nn1 S212n?Sn-S2nn-12 分子Xn1X1 N0, 1 ,nS22n-1 133 Th4n?nnXn1-X1tn-1nS13. 设总体X N8, 22，抽取样本X1, X2, , X
16、10，求下列概率：（1）?max X1, X2, , X1010?（2）P?min X1, X2, , X10 5?解：（1）?max X1, X2, , X1010?1P?max X1, X2, , X1010?1 -PX110, X210, , X10101 -PX110PX210 PX101010精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - - )?1 -?(X1-810 -8 ?P2 2 ?1 -?110?1 -10（2）P?min X
17、1, X2, , X10 5?1 -P?min X1, X2, , X105?精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - - )1P?,?1nn1 -PX15, X25, , X1051 -P?1 -PX15?10101 -?-(X1-85 -8 ?P2 2 ?1 -? 1 -10?1 -1014. 设总体X 服从泊松分布P，抽取样本X1, , X（1）样本均值X的期望与方差；（2）样本均值X的概率分布。，求：1 n, n1 n解 ： （ 1
18、）Xini1XXini1ni1X1 n1DX2DXi2? nni1nn（2 ）由泊松分布的可加性有：YX1X2Xn? ?个nPnY，则?XPXy?PYy(n) y-ney0,1, 2, ?n?n?y!15. 设总体X 服从指数分布e，抽取样本X1, , X（1）样本均值X的期望与方差；，求：（2）样本方差2的数学期望。S解：（1）1XXi1 1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - - DX2nn精品资料 - - - 欢迎下载 - - -
19、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - - ?n?)nX?221nn?2(2)2?1S?n- 1i1( Xi2?-)X?1 ( n?22?n-1Xii1nX?1n-1?n?1i2-2)?Xi?2-2, 1 ?1 ?2DXiXiXiXi2?2?21XDXX22n212 ?1 1 ?-?S-1 ?2n?22?n?n?1 ?1 ?-1 ?22?n?12精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - - -