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1、2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）2011.3.3参考公式：锥体的体积公式13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。柱体的体积公式VSh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。如果事件 A、B互斥，那么()( )( )P ABP AP B. 如果事件 A、B相互独立，那么()()( )P A BP AP B. 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知,a bR，若3(1)abiii（其中i为虚数单位） ，则 ( ) A、1,1abB、1,1abC、1,1abD、1,1ab2、已知p： “2a
2、” ，q： “直线0 xy与圆22()1xya相切” ，则p是q的( ) A、充分非必要条件 B、必要非充分条件C、充要条件 D、既非充分也非必要条件3、已知nS为等差数列na的前n项和，若11S，424SS，则64SS的值为（）A、94 B、32 C、54 D、4 4、如图，圆O：222xy内的正弦曲线sinyx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分） ，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A、24 B、34C、22 D、325、在一条公路上每隔10 公里有一个仓库，共有5 个仓库。一号仓库存有则 10 吨货物，二号仓库存有20 吨货物，五号仓库存有40 吨货物，其余两个仓库
3、是空的。现在要把所有的货物集中存放一个仓库里，若每吨货物运输1 公里需要 0.5 元运输费，则最少需要的运费是（）A、450 元 B、500 元C、550 元 D、600 元6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A、2 B、1 C、23 D、137、设平面区域D是由双曲线2214yx的两条渐近线和直线680 xy所围成三角形的边界及内部。当( , )x yD时，222xyx的最大值为（）A、24 B、25 C、4 D、7 8、已知函数( )f x的定义域为15 ，部分对应值如下表。( )f x的导函数( )yfx的图象如图所示。下列关于函数( )fx的命题： 函数( )yfx是
4、周期函数； 函数( )f x在0 2，是减函数； 如果当1,xt时，( )f x的最大值是2，那么t的最大值为4； 当12a时，函数( )yf xa有 4 个零点。其中真命题的个数是 ( ) A、4 个 B 、3 个 C、2 个 D、1 个二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分。本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答。9、已知全集UR，集合A为函数( )ln(1)f xx的定义域，则UAC。10、设随机变量2(1,3 )XN:，且(0)(6)P XP Xa，则实数a的值为。11、 在ABC中 ， 已
5、知, ,a b c分 别,ABC所 对 的 边 ，S为ABC的 面 积 ， 若 向 量222(4,)pabcu r，(1, )qSr满足/ /pqu r，则C。12、已知命题“,|1|2xR xax”是假命题，则实数a的取值范围是 _ _；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 13、已知a为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式61a xx的展开式中含2x项的系数是。（二）选做题：第14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，
6、只计前一题的得分14、 （坐标系与参数方程）在极坐标系中，设P是直线:(cossin)4l上任一点，Q是圆24cos3C：上任一点 ,则|PQ的最小值是。15、 （几何证明选讲）如图，割线PBC经过圆心 O，1PBPB，PB绕点O逆时针旋 120到OD，连PD交圆O于点E，则PE. 三、解答题：本大题共6 小题，满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、 （本小题满分12 分）已知函数2 3 sincossin()2424xxfxx。（1）求fx的最小正周期；（2） 若将fx的图象向右平移6个单位，得到函数( )g x的图象，求函数( )g x在区间0，上的最大值和最小
7、值。17、 （本小题满分12 分） 第 26 届世界大学生夏季运动会将于2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12 名男志愿者和18 名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm） ：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm以下（不包括175cm ）定义为“非高个子” ，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取 5 人，再从这5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选 3 名志
8、愿者， 用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。18、 （本小题满分14 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，30BAC，ACBM交AC于点M，EA平面ABC，EAFC /，134FCEAAC，（1）证明：BFEM；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值19( 本小题满分14 分) 已知点F是椭圆)0(11222ayax的右焦点，点(,0)M
9、m、(0,)Nn分别是x轴、y轴上的动点，且满足0NFMN若点P满足POONOM2（ 1）求点P的轨迹C的方程；（ 2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线OA、OB与直线ax分别交于点S、T（O为坐标原点），试判断FS FTuu u r uuu r是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由20( 本小题满分14 分) A B C E F M O ?精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 已知数列na是各项均不为0的
10、等差数列，公差为d，nS为其前n项和，且满足221nnaS， n*N 数列nb满足11nnnbaa，nT为数列nb的前 n 项和（1）求1a、d和nT；（2）若对任意的n*N，不等式8 ( 1)nnTn恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数,m n (1)mn，使得1,mnT TT成等比数列？若存在，求出所有,m n的值；若不存在，请说明理由21 （本小题满分14 分）已知函数( )ln()1af xxaxR（ 1）当29a时，如果函数kxfxg)()(仅有一个零点，求实数k的取值范围；（ 2）当2a时，试比较)(xf与1的大小；（ 3）求证：121715131)1ln(nn（n*N）
11、 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 参考答案及评分标准一、选择题CAAB BCAD 二、填空题9、|1x x10、8 11、412、(, 3)(1,)U13、-192 14、2115、3 77三、解答题16、解：（1）xxxfsin)2sin(3)(xxsincos32 分)cos23sin21(2xx)3sin(2x4 分所以)(xf的最小正周期为26 分（2）将)(xf的图象向右平移6个单位，得到函数)(xg的图象，3)6(si
12、n2)6()(xxfxg)6sin(2x8 分0,xQ时，67,66x，9 分当26x，即3x时，sin()16x，)(xg取得最大值2 10 分当766x，即x时，1sin()62x，)(xg取得最小值1 12 分【说明】本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象，以及图象变换等基础知识，考查了化归思想和数形结合思想，考查了运算能力17、解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子” 18 人，1 分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305，2 分所以选中的“高个子”有26112人， “非高个子”有36118人3 分用事件
13、A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选中”，则( )P A12523CC10710315 分因此，至少有一人是“高个子”的概率是1076 分（）依题意，的取值为0,1, 2,37 分5514CC)0(31238P，5528CCC) 1(3122814P，5512CCC)2(3121824P，551CC)3(31234P9 分因此，的分布列如下：0123p551455285512551 10 分15513551225528155140E12 分【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，
14、考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识18、解： （法一）（1）EA平面ABC，BM平面ABC，BMEA 1 分又AC，BMAACEA，BM平面ACFE，而EM平面ACFE，EMBM3 分ACQ是圆O的直径，90ABCo又，BAC304AC，BCAB2321,3 CMAMEA平面ABC，EAFC /，1FC，FC平面ABCDEAM与FCM都是等腰直角三角形45FMCEMA90EMF，即MFEM（也可由勾股定理证得）5 分MBMMF，EM平面MBF而BF平面MBF，A B C E F M O ?精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
15、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - EMBF6 分（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CHBG，连结FH由（ 1）知FC平面ABC，BG平面ABC，FCBG而FCCHC，BG平面FCHFHQ平面FCH，FHBG，FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角8 分在ABCRt中，30BAC，4AC，330sinABBM由13FCGCEAGA，得2GC3222MGBMBG又GBMGCH ，BMCHBGGC，则13232BGBMGCCH11 分FCH是等腰直角三角形，45FHC平面BEF与平面ABC所成
16、的锐二面角的余弦值为2212 分（法二）（1）同法一，得33BMAM，3 分如图， 以A为坐标原点， 垂直于AC、AC、AE所在的直线为zyx,轴建立空间直角坐标系由已知条件得(0,0,0),(0, 3,0),(0, 0,3),( 3, 3, 0),(0, 4,1)AMEBF，(0,3, 3),(3,1,1)MEBFuuu ru uu r 4 分由(0,3,3) (3,1,1)0ME BFu uu r uuu r，得BFMF，BFEM 6 分（2）由（ 1）知(3,3,3),(3,1,1)BEBFu uu ruu u r设平面BEF的法向量为),(zyxn，由0,0,n BEn BFr uuu
17、 rr u uu r得333030 xyzxyz，令3x得1,2yz，3,1, 2nr，9 分由已知EA平面ABC，所以取面ABC的法向量为(0, 0, 3)AEuu u r，设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为，则301 0232coscos,232 2n AEr， 11 分平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为2212 分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力19、解： （1）椭圆)0(11222ayax右焦点F的坐标为( , 0)a，1 分( ,)NFanuuu r(,)MNm
18、 nuuu u rQ，由0NFMN，得02amn3 分设点P的坐标为),(yx，由POONOM2，有(,0)2(0,)(,)mnxy，.2,ynxm代入02amn，得axy425 分（ 2）(法一 )设直线AB的方程为xtya，211(,)4yAya、222(,)4yBya，则xyaylOA14:，xyaylOB24:6 分由axxyay,41，得214(,)aSay， 同理得224(,)aTay8 分x y z A B C E F M O ?H G A B C E F M O ?精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -
19、 - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 214( 2 ,)aFSayuu u r，224( 2 ,)aFTayu uu r，则4212164aFS FTay yuu u r u uu r 9 分由axyatyx4,2，得04422aatyy，2124y ya11 分则044)4(16422242aaaaaFTFS13 分因此，FS FTuu u ru uu r的值是定值，且定值为014 分(法二)当ABx时，( , 2 )A aa、( ,2 )B aa，则:2OAlyx，:2OBlyx由2 ,yxxa得点S的坐标为(,2 )Saa，则( 2 ,2 )
20、FSaauu u r由2 ,yxxa得点T的坐标为(,2 )Taa，则( 2 , 2 )FTaauuu r( 2 )( 2 )( 2 )20FS FTaaaauu u r uu u r7 分当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为()(0)yk xak，),4(121yayA、),4(222yayB，同解法一，得4212164aFS FTay yuu u r uu u r10 分由2(),4yk xayax，得22440kyayka，2124y ya11 分则044)4(16422242aaaaaFTFS13 分因此，FS FTuu u ru uu r的值是定值，且定值为014 分【说明】本题主
21、要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想20、解：（1） （法一）在221nnaS中，令1n，2n，得,322121SaSa即,33)(,121121dadaaa2 分解得11a，2d，3 分21nan111111()(21)(21)2 2121nnnba annnnQ，111111(1)2335212121nnTnnnL5 分（法二）na是等差数列，nnaaa2121)12(212112naaSnnnan)12(2 分由221nnaS，得nnana)12(2，又0na
22、Q，21nan，则11,2ad3 分(nT求法同法一 ) （2）当n为偶数时，要使不等式8 ( 1)nnTn恒成立，即需不等式(8)(21)8217nnnnn恒成立6 分828nnQ，等号在2n时取得此时需满足257 分当n为奇数时，要使不等式8 ( 1)nnTn恒成立，即需不等式(8)(21)8215nnnnn恒成立8 分82nnQ是随n的增大而增大，1n时82nn取得最小值6此时需满足219分综合、可得的取值范围是2110 分（3）11,32121mnmnTTTmn，若1,mnT TT成等比数列，则21()()213 21mnmn，即2244163mnmmn 11 分（法一）由224416
23、3mnmmn，可得2232410mmnm，即22410mm，12 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 661122m13 分又mN，且1m，所以2m，此时12n因此，当且仅当2m，12n时， 数列nT中的1,mnT TT成等比数列14 分（法二）因为1136366nnn，故2214416mmm，即22410mm，661122m， （以下同上） 13 分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最
24、值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力21、解：（1）当29a时，) 1(29ln)(xxxf，定义域是),0(，22)1(2)2)(12()1(291)(xxxxxxxf， 令0)(xf，得21x或2x2 分当210 x或2x时，0)(xf，当221x时，0)(xf，函数)(xf在)21, 0(、),2(上单调递增，在)2,21(上单调递减 4 分)(xf的极大值是2ln3)21(f，极小值是2ln23)2(f当0 x时，)(xf； 当x时，)(xf，当)(xg仅有一个零点时，k的取值范围是2ln3k或2ln23k 5 分（2）当2a时，12ln)(xxxf，定义域为)
25、,0(令112ln1)()(xxxfxh，0)1(1)1(21)(222xxxxxxh，)(xh在),0(上是增函数7 分当1x时，0)1 ()(hxh，即1)(xf；当10 x时，0) 1()(hxh，即1)(xf；当1x时，0) 1()(hxh，即1)(xf9 分（3） （法一）根据（2）的结论，当1x时，112lnxx，即11lnxxx令kkx1，则有1211lnkkk，nknkkkk111211ln 12 分nkkkn11ln)1ln(，1215131)1ln(nn14 分(法二 )当1n时，ln(1)ln 2n3ln 2ln81Q，1ln 23，即1n时命题成立10 分设当nk时，命
26、题成立，即111ln(1)3521kkL1nk时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln1knkkk1112ln35211kkkL根据（ 2）的结论，当1x时，112lnxx，即11lnxxx令21kxk，则有21ln123kkk，则有1111ln(2)352123kkkL，即1nk时命题也成立13 分因此，由数学归纳法可知不等式成立14 分（法三）如图，根据定积分的定义，得1121171151nndxx1121 11 分)12(1212112111xdxdxxnn 3ln)12ln(21)12ln(211nxn，121715131n)12151(31nndxx1121313ln) 12ln(2
27、131n12 分11ln(21)ln 3ln(1)32nnQ223ln 31ln(21)ln(21)62nnn，又3ln332，) 12ln()12ln(2nnn，xyo1 2 3 4 5 6 n-1 n 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - )1ln( 3ln)12ln(2131nn)1ln(1215131nn14 分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -