2022年导数在经济中的应用.pdf

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1、第七节导数在经济中的应用经济中常用的一些函数一、成本函数某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入 (劳动力，原料，设备等 )的价格或费用的总额。它由固定成本与可变成本组成，平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。设产品数量为 q，成本为 c，若产品生产的越多，成本越高，所以 C是增函数，对多数产品来说，如杯子、彩电等，q 只能是整数，所以 c 的图象如图 7。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 7 成本函数

2、，成本函数，q 取值为正整数q 取值为正数但我们通常将 C有图象看成一条通过这些点的连续，对于研究问题更利，如图所示3-18，成本函数通常所具有的一般形状如图3-18，(也有特殊的情形 )，c轴上的截距表示固定成本，它是即使不生产也要支出的费用(例如厂房、设备等 )成本函数最初增长很快，然后就渐渐慢下来，因为生产产品的数量较大时，要比生产数量较少时的效率更高，这称为规模经济，当产量保持较高水平时，随着资源的逐渐匮乏，成本函数再次开始较快增长，当不得不更新厂房、 设备时，成本函数会急速增长， 因此，c(q)开始时是下凹的，后来变成上凹。设 C为固定成本， C2为可变成本， C为平均成本，则 CC

3、C2(q)，C (q)q)q(C=qaq)q(C2二、收益函数总收益是企业出售一定量产品所得到的全部收入。平均收益是企业出售一定量产品，平均每出售单产品所得到的收入， 即单位产品的价格， 用 p 表示，p 与 q精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 有关，因此， pp(q)，设总收益为 R，则Rqp=qp(q)三、利润函数设利润为 L，则利润收入成本，即L四、需求函数“需求”指的是顾客的购买同种商品在不同价格水平的商品的数量。一般来说

4、，价格的上涨导致购买量的下降。设 p 表示商品价格， q 表示需求量，需求是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论需求与价格的关系，则q=f(p)是单调减少函数，称为需求函数。若 q=f(p)存在反函数，则 p=f(q)也是单调减少函数，也称为需求函数。根据市场调查，可得到一些价格与需求的数据(p,q)，常用下列一些简单初等函数来拟合需求函数，建27经验曲线，有q=b-qp a0，b0q=pkk0,p0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 39 页 - - - - -

5、- - - - - q=pkk0,p0q=paka,k0,p0q=aebpa,b0五、供给函数“供给”指的是生产者将要提供的不同价格水平的商品的数量，一般说来当价格上涨时，供给量增加，设p 表示商品价格，q 表示供给量， 略去价格以外的其它因，只讨论供给与价格的关系，则 q=(p)是单调增加函数，称为供给函数。图 3-19 若 q=(p)存在反函数，则 q= (q)也是单调增函数，曲线如图。我们常用以下函数拟合供给函数，建立经验曲线q=ap-b a，b0q=kpaka0q=aebpa,p0六、均衡价格均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

6、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 在图中是在需求曲线与供给曲线相交的点处的模坐标p=p ，此时需求量与供给量q 称为均衡商品量。当 pp时，如图 pp，此时消费者希望购买的商品量为 q 需，生产者愿意出卖的商品量为q 供，由q 供q 需，市场出现了供不应求商品短缺， 会形成抢购，黑市等情况，从而会导致价格上涨，P增大，因而生产者增加产品的生产，有pp当 pp时，如同 pp处，此时 q 供q 需，市场出现了供大于求， 商品滞销，自然会导致价格下跌，p 减少，有 pp。总之，市场上的

7、商品价格将趋向于均衡价格和均衡数量，即 p和 q，而两条曲线正是在此处相交，这意味者在平衡点处，一种数量为 q的商品将被生产出来并以单位商品的价格p销售。边际分析一、边际分析很多经济决策是基于对“边际”成本和收入的分析得到的。假如你是一个航空公司经理，春节来临，你想决定是否增加新的航班，如果纯碎是从财务角度出发，你该如何决策，换句话说，如果该航班能给公司挣钱，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 则应该增加。因此，你需要考虑有关的成本

8、和收入，关键是增加航班的附加成本是大于还是小于该航班所产生的附加收入，这种附加成本和收入称为边际成本和边际收入。设 C(q)是经营 q 个航班的总成本函数，若该航空公司原经营 100 个航班，则边际成本 =C(101) C(100)=100101)100(C)101(CC(100)，因此，很多经济学家都选择边际成本MC 定义为成本的瞬时变化率，即边际成本 =MCC（q）边际收入 =R(101) R(100)=100101)100(R)101(RR(100)因而经济学家常常定义边际收入 MRR(q)因此，比较 R（100）与 C（100） ，即可决定是否增加航班， 所以，一般地，若函数 y=f(

9、x)可导，则导函数 f（x）也称为边际函数。xyx)x(f)xx(f00称为 f(x)在x，xx上的平均变化率，它表示在x，xx内 f(x)的平均变化速度。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 39 页 - - - - - - - - - - f（x）称为 f(x)在点 x处的变化率，也称为f(x)在点 x处的边际函数值，它表示f(x)在点 x处的变化速度。在点 x处，x 从 x改变一个单位， y 相应改变的真值为y0 xx1xf(x)f(x)，当 x 的一个单位与 x值相对来比很小

10、时，则有y0 xx1xf(x)f(x)dy0 xx1dxf(x）dx0 xx1xf(x)(当x时，标志着x 由 x减小一个单位 )这说明 f(x)在点 x处，当 x 产生一个单位的改变时，y 近似改变 f（x）单位，在实际应用中解释边际函数值的具体意义也略去“近似”二字。因此，我们称 C（q）,R（q）,L（q）分别为边际成本，边际收益，边际利润，而C（q）称为当产量为 q时的边际成本， 它们经济意义是当产量达到 q时，生产 q前最后一个单位产品所增添的成本。同样 R（q）称为当产量为 q时的边际收益，它们经济意义是当产量达到q时， 生产 q前最后一个单位产品所得到收益二、最大利润。精品资料

11、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 由L(q)(q)-C(q)然后利用求函数最大值、最小值的方法来求最大利润由L(q)=R（q）-C（q）令 L（q）=0, R（q）=C（q）即 L(q)取到最大值的必要条件是：边际收益等于边际成本，当然最大利润或最小利润也不一定发生在MR时，有时还要考虑导数不存在的点和端点，可是这一关系要比我们对个别问题得出的答案有力的多，因为它是帮助我们一般情形下确定最大(或最小值 )利润的条件。例已知某厂生产 x 件产

12、品的成本为C x401x(元)问(1)要使平均成本最小， 应生产多少件产品；(2)若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品解(1)设平均成本为 y，则y=x250040 x，由y2x25004010，解得 x， x 0(舍去)，由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 39 页 - - - - - - - - - - y3x50000，yx10000，所以当 x3时，y 取得唯一的极小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品(2)L(x) 500 x（2

13、5000200 x40 x2）300 x40 x225000由L（x）30020 x，令（ x），解得x因L(x)=21，L（） 0，所以当 x时， L 取得唯一的极大值，即最大值，因此，要使利润最大，应生产6000 作产品。例一商家销售某种商品的价格满足关系P.2x(万元吨 )，x 为销售量 (单位：吨 )，商品的成本函数是 C3x(万元)。(1)若每销售一吨商品， 政府要征税 t(万元)，求该商家获得最大利润时的销售量。(2)t 为何值时，政府税收总额量大。解(1)总税额为 Ftx，商品销售总收入为Rpx=(7.2x)x 利润函数为 L x(4t)x精品资料 - - - 欢迎下载 - -

14、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 39 页 - - - - - - - - - - dxdL 4t,令dxdL0，解得 x25（ t） ，又22dxLd0，所以 x=25(4t)为利润最大时的销售量。(2)将 x25(4t)代入 Ttx，有T10t25t由dtdL105t,令dtdL0,解得 t=2又22dtLd50，所以 t=2 时，为唯一极大值，故 t时 T有最大值，此时，政府税收总额最大。弹性分析一、弹性的概念函数的改变量与函数的变化率实际上是绝对改变量与绝对变化率， 仅仅研究这些还是不够， 在市场上，假若一千克

15、大米由2 元上涨 1 元和千克黄金由100000元上涨 100元哪一种商品价格的波动对你震动比较大，显然是大米，虽然大米每千克单位价格的改变量 1，黄金每千克单位的改变量是100，但这二个量是绝对改变量，实际上大米涨幅是21，黄金精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 的涨幅是100000200.，当然大米的涨幅对我们振动比较大。这里就涉及到相对改变量，同样对一个函数 yf(x)，当自变 x 相对改变时，因变量y 的相对改变受到什么影

16、响。例y=x，当 x， x时，x 的绝对改变量是 1，x 的相对改变量是0 xx1010，而 y 的绝对改变量为 yf(10)f(10)， y 的相对改变量是0yy2102121%，而00 xxyy%10%21，它表示在 10，11上，从 x， x 改变 1%时，y 平均改变 %。我们称它为从 x10 到 x=11时，函数 y=x的平均相对变化率。定义函数的相对改变量0yy000y)x(f)xx(f，与自变量的相对改变量0 xx之比0yy0 xx称为函数 f(x)从 x=x到 xxx 两点间的相对变化率或称两点间的弹性。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

17、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 若 f（x）存在，则极限值0 xlim0yy0 xx0 xlim00yxxyf(x) 00yx称为 f(x)在点 x处的相对变化率，也称为相对导数或弹性，记作ExEy0 xx或ExEf(x) 即ExEy0 xxExEf(x)f（x）00yx若 f(x)存在，则ExEyExEf(x)0 xlimyyxx0 xlimyxxyf(x) yx是 x 的函数称为 f(x)的弹性函数。由0 xlim0yy0 xxf（x）00yx有x充分小时0yy0 xxf（x）00yx有yy0f

18、（x）00yx，0 xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 39 页 - - - - - - - - - - ExEf(x)0 xx若取0 xx，则0yyExEf(x)%，弹性的经济意义：若 f(x)存在，则ExEf(x)表在点 x处，改变时，f(x)近似地改变ExEf(x)%(我们常略去近似二字 )。因此，函数 f(x)在点 x 的弹性ExEf(x)反映随 x 变化的幅度引起函数 f(x)幅度变化的大小，也就是f(x)对 x 变化反应强烈程度或灵敏度。例 3 y=ax，求ExE

19、y，ExEy1x，(a0，a1)解ExEyyyxaxlnaxaxxlnaExEy1xlna例 4 y=xa，求ExEy解ExEyyyxaxa1axxa设 Df(x)f(x)在区间 X上可导 ，则 DX是函数空间 F的线性子空间精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 定义ExE：DXFf(x)ExEf(x)，f(x)DX则ExE：DF是线性算子设D0 xf(x)f(x)在 x可导则D0 x是函数空间 F的线性子空间定义ExE0 x：D0

20、 xFf(x)ExEf(x) 0 xxf(x)Dx则ExE0 xx：D0 xR是线性设函。二、需求弹性需求弹性是反映当商品价格变动时需求变动的强弱，由 qf(p)为递减函数，所以f(p)0，从而 f（p）00qp为负数，经济学家一般用正数表示需求弹性，因此，采用需求函数相对变化率的相反数来定义需求弹性。定义设某商品的需求函数为q=f(p)，则称 (p，pp)pq00qp为该商品 f(p)从 p=p到 p=pp 两点间的需求弹性，若f（p）存在。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共

21、39 页 - - - - - - - - - - 则称p=p(p)f（p） )p(fp00该商品在p=p处的需求导性。例已知某商品需求函数为q=p1200(1)从 p=30 到 p=20,50各点间的需求弹性。(2)p=30时的需求弹性，并解释经济意义。解(1)由 p=30 时，q=40，(30，20)3020301200201200301200301040604030(30，50)305030120050120030120030201643则(30，20)说明，商品价格p 从 30 降至 20，在该区间内 p 从 30 每降 1%需求从 40 平均增加 %。(30，50)说明商品价格 p 从

22、 30 涨至 50，在这个区间内 p 从 30 每涨 1%，需求从 40 平均减少 %。(2)由(30)，这说明在 p=30时，价格上涨 1%，需求减少 1%，价格下跌 1%，需求则增加 1%。三、供给弹性供给弹性与一般函数弹性定义一致，即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 定义设某商品供给函数为q=(p)，则称(p，pp)pq00qp为该商品在 p=p与 p=pp 两点间的供给弹性，若（ p）存在，则称0pp(p) (p)p(p

23、00为该商品在 p=p处的弹性例 6 q=ep，求 (2)，并解释经济意义解由(e2p)=2e2p则(p)=（p） )p(p002e2pp2ep2p，有(2)4(2)4,说明在 p=2时，价格上涨 1%，供给增加4%价格下跌 1%，供给减少 4%。例设某产品的需求函数为QQ(p)，收益函数为RpQ， 其中 p 为产品价格，Q 为需求量 (产品的产量 )，Q(p)是单调减函数如果当价格为p，对应产量为 Q时，边际收益dQdk0QQa0，收益对价格的边际效应为dpdR0pp 0，需求对价格的弹性为Epb1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

24、纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 求 p和 Q。解收益 RpQ，有dQdRpQdQdRp(dQdR1QP)(p)p(1Ep1)由dQdR0QQp(1b1)a，得 p1babdpdRQpdpdQQ（dpdQQP）QQ(1Ep)由dpdp0pp=Q（ p）c,得 Qb1C三、用需求弹性分析总收益由R Q Qf(p)有RPf(p)有Rf(p)pf（p）f(p)1f(p)p(fp f(p) ，由 f(p)0，于是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

25、- - - - -第 17 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 图 3-20 (1)若 1，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时 R0，R递增，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少。(2)若 1，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时 R0，R递减，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加。(3)若 1，需求变动的幅度等于价格变动的幅度，此时 R0，则 R取到最大值。因此，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹的变化而变化，其关系如图。第八节曲率曲率一、 曲率的定义在实际问题中，我们经常要遇到诸如此类的问题；如一弹性桥梁在荷载的作用下要产生弯曲变形，设计

26、时需要对该梁的允许弯曲程度有一定的限制，又如火车在转变的地方， 路轨需要用适当的曲线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 来衔接，图 3-21 使火车平稳地转弯道，而在弯道的行驶过程中为什么乘客几乎没有感觉， 这些都与曲线的弯曲程度有关。用怎样的量才能描述曲线的弯曲程度呢我们看到，如图 321 两条曲线的长度一样，那么，切线的转角较大的一条弯曲的厉害， 又若两条曲线的转角一样，则较短的曲线弯曲的厉害，(如图 322)图 3-22 设

27、 M，N 是曲线上邻近两点， 弧段MN 的长度为，切线的转角为，表示平均单位弧长上的切线转角，由上面的分析知道，越大，弧的平均弯曲程度越大，比值称为弧MN 的平均曲率，(如图823)曲率公式。图 3-23 对于一般的曲线来说，它在各点的弯曲程度不一精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 样，如何描述一点的弯曲程度，当取得越小，越接近曲线点 M 附近的弯曲程度，因此，有定义当 0(N 沿曲线起于 M 时)若弧MN 的平均曲率是的极限0t

28、lim存在，则该极限值称为曲线在点M 的曲率，记作 k，即k0tlim曲率是描述曲线弯曲程度的量例求半径为 R的圆上一点 M 处的曲率解在圆上取一点 N，设MN 的长为， NOM，则=R有R1，因此0tlimR1，所以曲率 kR1图 3-25 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 即图上各点的曲率相同，这正是车子的轮子为什么要用圆的缘故，而且图上每一点的曲率k 都等于半径的倒数，半径越大，曲率越小，半径越小曲率越大。2.曲率在直角坐

29、标系下的表达式除了圆以外，直接用极限0tlim去求曲线上一点曲率的是很麻烦的，我们需要寻求更常用的表达式。分析设曲线方程为) t (yy) t (xxM(x(t)，y(t),N(x(t+t),y(tt)由tandxdy) t ( x) t ( y有arctan) t ( x) t ( y， (t+t)(t)设AN 的长为 s(tt)， s(t+t)s(t)于是0tlim0tlimS0tlimtstdtdsdtd精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 39 页 - - - - - -

30、- - - - 由dtd2)x y(112 x yx xy22 yx yxxydtds) t ( y) t ( x2222 y x(将在定积分中给予证明 )因此k2322 yx yxxy从分析的过程中可知，要求x(t),y(t)存在二阶导数，且 x(t)，y（t）不同时为 0，若曲线 yf(x)则相应的曲线公式为k232) y1(| y|例 3 求椭圆 xacost,y=bsint，0t2上使曲率为最大和最小的点。(设 ab)解由 x asint， x acost,ybcost,b bsint，则k23222) tcosbtsina(ab232222btsin)ba(ab由 t=0,时，sin

31、t0 最小，t=2，23时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 39 页 - - - - - - - - - - sint=1 最大所以 t=0,时，曲率 k=ba为最大值， t=2，23时，曲率 k2ab为最小值，特别 abR时，椭圆为圆，则kR1，和我们用前面公式求出的结果一致。曲率圆一、 曲率圆设 y=f(x)在点 M(x,y)的曲率 k0，在点 M 引曲线Mp， 在法线上位于曲线凹的一侧取线段 AMk1，以 A 为中心，k1为半径作一圆，这个圆称为曲线在点M的曲率圆，这个

32、圆具有下列性质：图 3-26 (1)它通过点 M，在点 M 与曲线相切(即两曲线有公切线 )；(2)在点 M 与曲线有相同的凹向；(3)圆的曲率与曲线在点M 的曲精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 率相同；图 3-27 曲率圆的中心称为曲率中心，其半径为曲率半径，记作 R，有Rk1| y|23 y12由于曲率圆有上述三性质， 在研究某些实际问题 (如弹性梁的弯曲 )时，就用曲线在一点处的曲率园来近似地代替在该点邻近的曲线。例火车轨

33、道从直道进入到半径为R的园弧弯道时，为了行车安全必须经过一段缓冲的轨道，以使铁道的曲率由至连续地增加到R1(保证向心加速度不发生跳跃性的突破 )。解设铁道如图 3-27 所示，其中 x 轴(x0)表示直线轨道，AB 是半径为 R的圆弧形轨道 (点 p 为其圆心 )，OA 为缓冲曲线，我同一般采用的缓冲曲线是三次曲线y=R6x3其中为曲线OA 的弧长，曲线 OA每点的曲率精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 39 页 - - - - - - - - - - k=232) y1(| y

34、|23422022)xR4(xR8当 x 从 o 变为 x时，曲率 k 从 o 连续变为 k23422022)xR4(xR8若以直线段 OC的长近似地代替OA 的长，即 x，则有k23422022)xR4(xR8R12322)R41 (1R12322R4o（22R4）若比值R很小，那么可略去22R4项和高阶无穷小得kR1因此缓冲曲线的曲率从0 逐渐增加到R1，从而走到了缓冲作用。二、渐屈线和渐伸线对于曲线 C上每一点 M，只要在该点曲率 k0，都对应着一个曲率中精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

35、第 25 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 心 A(， )当点 M 沿曲线变动时，点A 随着变动，点 A 的轨迹 G称为曲线 C的渐屈线，而曲线 C称为曲线 G的渐伸线 (如图所示 )。图 3-28 下面推导曲率中心A 的坐标 (， )的公式由距离公式可得(AM)（ x）（ y)有(x)（ y）2232y) y1(又因 pM 是曲线 y=f(x)在点 M 的法线，故其斜率为 y1，又 pM 的斜率为xy y1即x（ y）y代入上式，化简(y)222y) y1(，故得y=y y12或 yy y12若 y0， 则曲线上凹， y 要为正，若 y0，曲线下凹， y 要为负，因此

36、， y与 y 同号，有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 39 页 - - - - - - - - - - yy y12从而有xy y12故得曲率中心的坐标为y y1yy) y1( yx22这就是曲线 C的渐屈线 G的参数方程。第九节方程的近似根在解决力学、物理和其他科学技术中的各种问题时，常常需要求方程f(x)=0 的实根，但到目前为止，我们已经会用代数方法比如用二次方程根的公式解决这样的问题，但三次或四次方程的解的公式非常复杂，而五次和五次以上的方程其解的公式不存在，而大多数

37、非多项式方程也不可能用公式加以求解，因此，求方程的精确根往往是困难的，甚至是不可能的。而在实际应用中，只要能够获得具有一定精确度的近似根就足够了，因此，怎样求方程的近似根，就显得尤为的重要。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 图解法f(x)的实根在圆形上表示曲线y=f(x)与 ox 轴交点的横坐标，因此，只要比较精确地画出yf(x)的曲线，该曲线与 x 轴交点的横坐标为x，观察 x落在哪两个数之间，然后在这两个数之间任取一个数x作

38、为方程根的近似值，则误差不超过这两个数的差。例用圆解法求方程2xx 0的近似根图 3-29 解作出函数 yxx的图形， 如图在图形上看到这条曲线与ox 轴只有一个交点，且这个交点的横坐标在与之间 (如果用坐标纸画图形看得更加清楚)，因此，取 x作为方程的近似根。有时作函数 yf(x)的图形比较困难，可把f(x)0化成 f(x)f(x)，使得函数 yf(x)与 yf(x)的图形容易作，而方程的根在图形上就是曲线yf精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 39 页 - - - - - -

39、 - - - - (x)与曲线 yf(x)交点的横坐标 x。图 3-30 我们仍以上面的方程为例， 2xx化成 2xx-1，作出 y2x，yx的图形，如图，这两条曲线的交点的模坐标在与之间故取x作为方程的近似根。这两种方法主要是利用我们所熟悉的函数图形，较准确地画出函数图形，这种求方程近似根的方法叫图解法，在精确度要求不高时，可以使用。数值法一、隔根区间为了求方程 f(x)=0 的根，并按一定的精度，求出根的近似值，首先要确定方程在哪个区间内肯定有一个根，然后逐步逼近方程的根，这个区间也就称为隔根区间。若在区间 (a,b)内方程 f(x)=0 有且仅有一个根，而且f(a)f(b)0，则称区间

40、(a,b)为方程的一个隔根区间。由根的存在定理和单调性定理知若 f(x)在a,b上连续， f(a)f(b)0，且 x（a,b）时 f(x)0(或 f（x）0)则(a,b)是方程的一个隔根区间。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 29 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 例求方程 2xx 0 的隔根区间解设 f(x)=2xx由 f(x)2x10且 f()， f(0)1所以，(， )是方程的一个隔根区间。当隔根区间确定以后， 在区间内可构造一数列 xn ，使xn收敛于方程的根

41、， 于是，我们可以取充分大n时的 xn作为方程根的近似值，并可作出误差估计。二、对分法设区间(a,b)是方程 f(x)=0 的一个隔根区间， f(x)在a,b上连续， f(a)f(b)0，不妨设 f(a)0，f(b)0。与构造证明根的存在定理的方法完全类似。若 f(2ba)，那么 x=2ba就是方程的一个根，若 f(2ba)0，当 f(2ba)时，取 a, 2baa,b ，当 f(2ba)时，取 2ba，b a，b ，因此 (a，b)是方程 f(x)=0的新的隔根区间，它被包含在原有的隔根区间(a,b)之内，且长度是原来隔根区间长度的一半，这样继续下去，如果还没有找出方程的根，我们也得到一列隔

42、根区间套。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 30 页，共 39 页 - - - - - - - - - - a,b a,b a2,b2 an,bn bnan=n2ab，如果取最后区间 an,bn的中点xn2bann作为方程 f(x)0 的近似根，它的误差小于n2ab虽然对分法相当简单， 但它有两个主要缺点， 首先，它无法确定曲线与x 轴相切而不与 x 轴相交这种情况下根的位置，其次由于需要多次迭代才能达到我们所要求的精度， 在这种意义下， 此方法相对来说速度慢，尽管解单个方程时，速度可能并不

43、显得重要，但一个实际问题，当参数改变时， 可能涉及成千上万个方程，所以简化送代步聚使非常重要了，因此，我们有下面的切线法 (牛顿法 )。三、切线法 (牛顿法 )设(a,b)是方程 f(x)的一个隔根区间，且f(x)0，yf(x)在a,b上的图形，如图，从MN 的一端点N 作曲线的切线，此切线交Ox轴于点 A，设 A的横坐标为 x，于是 x可以作为所求根的第一个近似值，过点 A作 oy 轴的平行线交曲线MN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 31 页，共 39 页 - - - - - - - -

44、 - - 于点 N，过 N作曲线的切线，此切线交于ox 轴于点A，A的横坐 标为 x，x可作为所求根的第二个近似值，继续进行这种步聚，得一数到xn则nlim xn=x，xn可作为方程根的近似值， 上述的方法叫做牛顿切线法，简称切线法，现推导切线法的计算公式，例如图。图 3-31 在 N 点处的切线方程为y-f(b)=f(b)(x-b)在上式中，令 y=0,解得xb-)b( f)b(f(1)这就是所求根的第一近似值， 用 x代替(1)中 b 的位置，可得根的第二个近似值xx)x( f)x(f11如果达不到精确度要求，可以继续进行，从而得到一列精度越来越高的近似值xx)x( f)x(f22x4x3

45、)x( f)x(f33精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 32 页，共 39 页 - - - - - - - - - - xnxn)x( f)x(f1n1n(2)这就是切线法的求根公式但若在上图 M 点作一切线， 是不恰当的， 因此，我们要考察：在怎样的条件下，切线法产生的送代序列收敛于方程 f(x)=0 的解 C。为了方便于讨论， 我们假设函数 f(x)在闭区间a,b上二阶导数存在且满足f(a)f(b)0，f(x)0，xa,b ， 在这样的条件下， 关于函数 f(x)在闭区间a,b上凹向与升

46、降有如下四种情况：(1)上凹递增 (f（x）0，f(x)0)(2)上凹递增 (f（x）0，f(x)0)(3)下凹递增 (f（x）0，f(x)0)(4)下凹递增 (f（x）0，f(x)0)如图所示图 3-32 图 3-33精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 33 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 图 3-34 图 3-35 分析上面四种情况的图形，我们知道，只要选择x(a,b)，且 f(x)f(x)0，就能保证 xx)x( f)x(f00与 x在 C的同侧，并且 x比 x

47、离 C更近，同样xx)x( f)x(f11与 x在 C的同侧，并且 x比 x离 C更近，这样的迭代过程可以不断地继续下去，并得到一个数到 xnxnxn)x( f)x(f1n1n(1)xn单调有界，所以nlim xn存在，设nlim xnx在(1)式中令 n，有x*x*)x( f)x(f即 f(x*)，因而 x*是方程 f(x)=0在闭区间上的唯一解C。定理设函数 f(x)在区间 a,b上二阶连续可导，并且满足条件 f(a)f(b)0f(x)f(x)0，xa,b如果 xa,b ，f(x)f(x)0那么迭代程xnxn-1-)x( f)x(f1n1n1，2，3精品资料 - - - 欢迎下载 - -

48、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 34 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 所产生的数到xn 单调收敛于方程 f(x)0 在 a,b中的唯一解 C。证不妨函数 f(x)在闭区间a,b 上，f(x)0， f(x)0，对这些情况关于初始条件f(x)f(x)0 不防设f(x)0，则 xCxx)x( f)x(f00 x设(x)x)x( f)x(f，(C) c 由(x)122)x( f )x(f )x(f)x( f 2)x( f)x(f )x(f0于是x- (x)(C) （）(x)0在 f(x)0，f(x)0，我们证明

49、了只要xC，就有xxC假设 nk 时成立， xkxkCxkxk)x( f)x(fkkxkxk+1 (xk)(C) (k)(xk)0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 35 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 即xkxkC，由数学归纳法知，xn递减有下界，因此 xn收敛，设nlim xnx在 xn+1=xn)x( f)x(fnn中令 n，有x*x*)x( f)x(f*，有 f(x)0，由 f(x)在(a,b)在有唯一的一个根，故 x*对实际计算来说， 仅仅知道数到收叙于根C

50、是不够的，还需要了解这个数列收敛的速度。定理设函数 f(x)在闭区间a,b 上连续，f(x),f(x)在a,b存在且不变号， C(a,b)是 f(x)0 的根，则按牛顿法产生的迭代序列xn+1xn)x( f)x(fnnn=0,1,2满足xn+1 qxn这里 q=m2M，m=b,axminf(x),Mb,axmaxf(x)证利用泰勒公式f(C)=f(xn)f（xn）(C-xn)2)(f(C-xn)n介与C，xn之间精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 36 页，共 39 页 - - - - - -