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1、求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【 知识储备】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度. 常用的方法：（1）直接求出a、c，求解 e：已知标准方程或a、c 易求时，可利用离心率公式ace来求解；（2） 变用公式，整体求出 e： 以椭圆为例，如利用22222221cabbeaaa，2222211cebcbc；（3）构造 a、c 的齐次式，解出e：根
2、据题设条件，借助a、b、 c 之间的关系，构造出a、c 的齐次式，进而得到关于e 的方程，通过解方程得出离心率e的值 .二、求解离心率的范围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用, ,a b c进行表示， 进而得到不等式，从而确定离心率的范围 .【例 1】 已知椭圆的中心在O, 右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_.【答案】：1 ,22xyMFOl精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
3、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系可以利用方程和垂直平分线性质构建. 利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】 已知椭圆22122:1(0)xyCabab与圆2222:Cxyb，若在椭圆1C上存在点P，使得由点 P所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率的取值范围是_.【答案】2,1)2【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角APB最 小，若椭圆1C上存
4、在点P令切线互相垂直，则只需090APB，即045APO，02sinsin 452ba，解得222ac，212e，即22e，而01e，212e，即2,1)2e.2 借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.BoF1FAxy【例 2】 已知椭圆22221(0)xyabab上一点A关于原点O的对称点为,B F为其右焦点， 若,AFBF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 -
5、- - - - - - - - - 设,ABF且,12 4则椭圆离心率的取值范围是.【答案】26,23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2 sin2 cos2cca，然后借助已知条件,12 4利用三角函数的图象求解离心率的范围.【牛刀小试】过椭圆C ：)0( 12222babyax的左顶点 A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点 B在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若31k21, 则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】 (32,21)【解析】如图所示：2AFac| ，222acBFa，2222222tanacBFacakBAFAFaca ac，又31k21， 221132ac
6、a ac，2111312ee，解得1223e精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 3 借助函数的值域求解范围根据题 设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例 3】 已知椭圆221:12xyCmn与双曲线222:1xyCmn有相同的焦点， 则椭圆1C的离心 率e的取值范围为 _.【答案】2(,1)2【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等
7、量关系，得到函数关系式21112em，进而根据m的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.【牛刀小试】 已知两定点( 2,0)A和(2,0)B，动点( , )P x y在直线:3lyx上移动，椭圆C以,A B为焦点且经过点P，则椭 圆C的离心率的最大值为_.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 【答案】426【解析】由题意可知，2c，由2ceaa可知e最大时需a最小，由椭圆的定义|2PAPBa，即使得|PAPB最小，如图，设( 2,0)
8、A关于直线3yx的对称点( , )D x y，由011202322yxyx，可知( 3,1)D.所以22| | |1526PAPBPDPBDB，即226a，所以262a，则2426262cea.4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆2222100 xyabab，中，axa，P是椭圆上任意一点，则1acPFac等。【例4】设12,FF为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，且12|2F Fc，若椭圆上存在点P使得212| |2PFPFc，则椭圆的离心率的最小值为_【答案】33【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件，根据圆锥曲线的共同特
9、征把212| |2PFPFc转 化成基精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 本量a，c，e与0 x的关系式，结合椭圆的范围，即可得到e的不等式，从而求出其最小值【牛刀小试】 已知12,F F分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点， P为双曲线右支上的任意一点，若212PFPF的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是 _.【答案】1,3【解析】本题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等设2|
10、PFt，则1|2PFat，tca又22212|(2)448|PFatataaPFtt，当且仅当2ta时，等号成立所以2caa，所以13e通过以上类型的分析，灵活多变的离心率范围问题是一个棘手问题，需要通过必要的练习进行方法和思路的寻找，并且培养对题目中的不等关系的灵敏的感知和转化.【迁移运用】1 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017 届高三上学期期中】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，1B，2B分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的 右、下、 上顶点 ，F是椭圆C的右焦点若21B FAB，则椭圆C的离心率是【答案】512y（第 10 题）xOFAB2B1精品资料 - -
11、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 2 【江西南昌市2017 届摸底考试， 10】若圆22(3)(1)3xy与双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为。【答案】2 33【解析】试题分析：由题意得|3|2 33323bacabcbeca. 考点：直线与圆相切，双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或等式，再根据a，b，c 的关系消掉b 得到 a，c 的
12、关系式，建立关于a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3 【河北省衡水中学2017 届高三摸底联考，9】焦点在x轴上的椭圆方程为222210 xyabab，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为.【答案】12考点：椭圆的标准方程与几何性质.4.【山东省肥城市2017 届高三上学期升级统测，14】在平面直角坐标系xOy中 , 若双曲线22214xymm的离心率为5, 则m的值为【答案】2【解析】试题分析：由题意得240,5mmmm，解得2.m考点：双曲线离心率精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
13、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或不等式，再根据a，b，c 的关系消掉b 得到 a，c 的关系式，建立关于a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5 【云南省、四川省、贵州省20 17 届高三上学期百校大联考数学，11】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，1A，2A，1B，2B为椭圆的顶点，2F为右焦点，延长12B F与22A B交于点P
14、，若12B PB为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是【答案】51(0,)2【解 析】考点：椭圆的性质. 学科网【思路点睛】根据12B PB为22B Auu uu u r与21F Buu uu r的夹角，并分别表示出22B Au uu u u r与21F Bu uu u r，由 B1PB2为钝角，222210B A F Bacbuuu u u r u uu u rg，利用椭圆的性质，可得到210ee，即可解得离心率的取值范围6 【河北邯郸2017 届 9 月联考， 11】如图，1F，2F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右两个焦点，若直线yx与双曲线C交于P、Q两点，且四边形12
15、PFQF为矩形，则双曲线的离心率为.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 【答案】22考点： 1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念学科网【思路点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，数中档题 .其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线yx代入双曲线C方程中即可得出点P的坐标，再由矩形的几何性质可得cabba22222，最后可得出所求的结果. 其解题的关键是正确地运用矩形的几何
16、性质求解双曲线的简单几何性质.7 【山东省实验中学2017 届高三第一次诊，15】过双曲线22221xyab（0a，0b）的右焦点F作渐进线的垂线，设垂足为P（P为第一象限的点） ，延长FP交抛物线22ypx（0p）于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OPOFOQuu u ruuu ru uu r，则双曲线的离心率的平方为【答案】512精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 考点：双曲线定义【方法点睛】解决椭圆和双曲
17、线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b， c 的方程或不等式，再根据a，b，c 的关系消掉b 得到 a，c 的关系式，建立关于a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8 【河南百校联考2017 届高三 9 月质检， 16】已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为12,0 ,0FcFc，,A B是圆2224xcyc与C位于x轴上方的两个交点，且12/ /F AF B，则双曲线C的离心率为 _【答案】3174考点：双曲线定义及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b， c 的
18、方程或不等式，再根据a，b，c 的关系消 掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9 【 2016 届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知椭圆22221(0)xyabab上有一点A，它关于原点的对称点为B，点 F为椭圆的右焦点，且满足AFBF，设ABF，且,12 6，则该椭圆的离精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 心率 e 的取值范围为 _.【答案】6
19、31,3【 解 析 】 把xc代 入 椭 圆 方 程 解 得2bya， 取2( ,)bA ca， 则2(,)bBca； 由 图 可 知222,tan,tan22bbbaOBFAOFOFBAOFOFBaccac，所以tantanOBF2222441tantan1 tantan21eeAOFOFBacbAOFOFBa cbe；又,126，所以323tan3，即24132313eee，解得6313e10 【2016 届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为21,FF，这两条曲线在第一象限的交点为P，21FPF是以1PF为底边的等腰三角形若10
20、1PF，椭圆与双曲线的离心率分别为21,ee，则21ee的取值范围是_.【答案】（31，+） 11 【2016 届四川省成都市七中高三11 月阶段测试】已知12,FF是双曲线22221xyab(0,0)ab的左、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 右两个焦点，以线段12F F为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N（点 M ，N均在第一象限），当直线1MF与直线 ON平行时，双曲线离心率取值为0e，则0e所在区间
21、为 _.【答案】(1, 2)【解析】因为2220ccabea，双曲线的渐近线方程为byxa，与圆222xyc联立，得M ab，与双曲线方程222210bxyaba联立，得交点222242222,a ca bca ca bNcc，即22222,acacaNcc， 直 线1MF与 直 线ON平 行 时 ， 即 有22222bcaacaca， 即2222222accaaca，即有32232220caca ca，即有320002220eee，令32222fxxxx， 由 于1020302030fffff ， ， ， ， 则012e，学科网12 【2016 届湖南师范大学附中高三上学期月考】如图，椭圆的
22、中心在坐标原点，焦点在x轴上，1212,A AB B为椭圆顶点，2F为右焦点，延长12B F与22A B交于点P，若12B PA为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是_.【答案】51,12 13 【2016 届浙江省绍兴市一中高三上学期期中】若双曲线22221(0,0)xyabab上不存在点P使得右精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心） 的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为_【答案】(1,
23、 2【解析】若点F关于直线OP的对称中心在y轴上，则1OPk，根据题意，不存在这样的点P，双曲线渐近线的斜率2222222122(1, 2bcbaabacaeaa14椭圆M：x2a2y2b21(ab0) 的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1| |PF2| 的最大值的取值范围是 2c2,3c2 ，其中ca2b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是_.【答案】33，22【解析】|PF1| |PF2| 2a， |PF1| |PF2| (|PF1| |PF2|2)2a2. 当且仅当 |PF1| |PF2| a时，等号成立， 2c2a23c2，2e213e2. 13e212，即33e
24、22.15已知点F1、F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_.【答案】(1 2，)【解析】依题意， 0AF2F14，故0tan AF2F11，则b2a2cc2a22ac1，即e1e2，e22e10，(e1)22，所以 1e12.16. 从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是3b2,4b2，则这一椭圆离心率e的取值范围是 _【答案】53，32 17. 【2016 届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知P 是椭圆2222111xyab
25、11(0)ab和双曲线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 2222221xyab22(0,0)ab的一个交点，12,F F是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e分别为椭圆和双曲线的离心率，1223F PF，则1211ee的最大值为【答案】2 33 18 在平面直角坐标系中，已知点(2,2)F及直线:20lxy，曲线1C是满足下列两个条件的动点( , )P x y的轨迹：2 ,PFd其中d是P到直线l的距离；00.225xyxy (
26、1) 求曲线1C的方程 ;(2) 若存在直线m与曲线1C、椭圆22222:1(0)xyCabab均相切于同一点，求椭圆2C离心率e的取值范围 .【解析】（1）2222(2)(2)2 2()4PFxyxyxy，22xyd，由2 ,PFd得：22222 2()422 2()2xyxyxyxyxy，即1.xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 将1xy代入得：1150,0,2xxxx，解得：12.2x所以曲线1C的方程为：1yx1(2)
27、.2x（2）( 解法 一) 由题意，直线m与曲线1C相切，设切点为1( , )M tt，12.2t则直线m的方程为2111( )()()yxtxtxttxt，即212.yxtt将212yxtt代入椭圆2C的方程222222b xa ya b，并整理得：2422222 22()4(4)0.b taxa txab tt（2）( 解法二 ) 设直线m与曲线11 1:(2)2Cyxx、椭圆22222:1(0)xyCabab均相切于同一点1( , ),M tt则222 211.tab t由1yx知21yx;精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 由22221(0)xyyab知221xyba,222222222.211xbbxb xaya yxxaaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -