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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. sin390=（ ）A. B. C. D.2.若 cos0，sin0，则角 的终边所在的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 DC，BC 的中点，那么 = （ ）A.B.C.D.4.若，则 与 的夹角是（ ）A.30B.60C.120D.1505.cos=-，（ ，），sin=-， 是第三象限角，则 cos（-）=（ ）6.A. B. C. D. 函数 y=Asin（x+）在一个周期内的图象如
2、图，此函数的解析式为（ ）A.B.y=2sin（2x+ ）y=2sin（2x+ ）C.y=2sin（ -）D.y=2sin（2x- ）7.若点 P（cos，sin）在直线 y=-2x 上，则 sin2+cos（2+ ）=（ ）A.0B. C. D.第 1 页，共 14 页1 2 1 2128.定义运算： ，如 1*2=2，则函数 f（x）=sinx*cosx 的值域为（ ）A.-1，1B. C. D.9.已知平面上不共线的四点 O，A，B，C若 +2 =3 ，则的值为（ ）A.B.C.D.10. 已知向量满足， ，则的值为（ ）A.1B.2C. D.11.ABC 中，BAC=120，AB=2，
3、AC=1，D 是边 BC 上的一点（包括端点），则 的取值范围是（ ）A.1，2 B. 0，1C.0，2D.-5，212. 函数 f（x）=cos2x-2 sinxcosx 下列命题中正确的是（ ） （1）若存在 x ，x 有 x -x = 时，f（x ）=f（x ）成立（2）f（x）在-， 是单调递增（3） 函数 f（x）关于点（ ，0）成中心对称图象（4） 将函数 f（x）的图象向左平移 个单位后将与 y=2sin2x 重合A.C.（1）（2） （ 1）（2）（3）B.D.（ 1）（3） （1）（3）（4）二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 设 xR，向量 =（x，1
4、）， =（1，-2），且 ，则 x=_ 14. 在ABC 中，若 tanA= ，tanB= ，则C=_15. 已知 sin（ +）= ，则 cos（ ）=_16. 如图，在扇形 OAB 中，AOB60，C 为弧 上的一个动点，若，则 xy的取值范围是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17. 已知函数 f（x）=sinx+sin（x+ ），xR（1） 求 f（x）的最小正周期；（2） 求 f（x）的最大值和最小值；第 2 页，共 14 页（3）若 f（）= ，求 sin 2 的值18. 已知， 与 的夹角为 （）求|（）若|；与的夹角为钝角，求实数 的取值范围19. 如图，在平
5、面直角坐标系 xOy 中，以 x 为始边作两个锐 角 ，它们的终边分别与单位圆交于 A，B 两点已知A，B 的横坐标分别为 ，（1）求 tan（+）的值； （2）求 2+ 的值20. 已知向量 =（ ，1）， =（cos ， ），记 f（x）=（1） 求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2） 将函数 y=f（x）的图象向右平移 个单位得到 y=g（x）的图象，讨论函数 y=g（x）-k 在的零点个数第 3 页，共 14 页21. 如图，平面四边形 ABCD 中，AB=13，AC=10，AD=5， （1）求 cosBAD；， （2）设的值22. 某高校专家楼前现有一块矩形草坪 ABCD
6、，已知草坪长 AB=100 米，宽 BC=50 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF 和 EF，并要求 H 是 CD 的中点，点 E 在边BC 上，点 F 在边 AD 上，且EHF 为直角，如图所示（）设CHE=（x弧度），试将三条路的全长（ HEF的周长）L 表示成 x 的函数，并求出此函数的定义域；（）这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费 用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值： 取 1.732， 取 1.414）第 4 页，共 14 页答案和解析1.【答案】A【解析】解：sin390=sin（3
7、60+30）=sin30= ，故选：A由 sin 390=sin（360+30），利用诱导公式可求得结果本题考查诱导公式的应用，把 sin390化为 sin（360+30）是解题的关键2.【答案】D【解析】解：由题意，根据三角函数的定义 sin= 0，cos= 0r0，y0，x0 在第四象限，故选：D利用三角函数的定义，可确定 y0，x0，进而可知 在第四象限本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本 知识的应用，由题意点 E，F 分别是 DC，BC 的中点，求出 ， ，然
8、后求出向量 即得【解答】解：因为点 E 是 CD 的中点，所以 =，点得 F 是 BC 的中点，所以 = 所以 = + =.故选 D4.【答案】A=-，【解析】解：可得：，cos = 则 与 的夹角为 30故选：A直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力 5.【答案】A第 5 页，共 14 页【解析】解：由题意，故 sin0所以 sin=同理= ， 是第三象限角，可得 cos=由两角差的余弦公式可得：cos（-）=coscos+sinsin= =故选：A由公式 sin2+cos2=1 结合角 所在象限，可得 sin，cos，然后代入两
9、角差的余弦公 式可得答案本题为两角和与差的三角函数公式的应用，熟练运用公式是解决问题的关键，属基础题 6.【答案】A【解析】解：由已知可得函数 y=Asin（x+）的图象经过（- 则 A=2，T= 即 =2，2）代入得则函数的解析式可化为 y=2sin（2x+），将（- += +2k，kZ，即 = +2k，kZ，当 k=0 时，=此时故选：A，2）点和（-，2）根据已知中函数 y=Asin（x+）在一个周期内的图象经过（-，2）和（-，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出 A， 值后，即可得到函 数 y=Asin（x+）的解析式本题考查的知识点是由函数 y=Asin（x+
10、）的部分图象确定其解析式，其中 A= |最大值-最小值|，|= ，=L（L 是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量） 7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题 利用任意角的三角函数的定义求得 tan 的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本 关系，求得要求式子的值【解答】解：点 P（cos，sin）在直线 y=-2x 上，sin=-2cos，即 tan=-2，则 sin2+cos（2+ ）=sin2-sin2= 故选：D= = = ，第 6 页，共 14 页8.【答案】A【解析】解：根据信息：定义运算：，则：函数 f（x）=sin
11、x*cosx=所以：根据函数的图象和性质的应用，当 sinxcosx 时，函数的值域为： ，当 cosxsinx 时，函数的值域为：-1，1，故函数的值域为：-1，1故选：A函数的图象和性质的应用，主要考察分段函数的应用本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力， 属于基础题型9.【答案】A【解析】解：移项整理，得，由此可得故选：A根据，= = 变形，化简整理可得 ，由此代入即可得到的值本题给出平面内不共线四个点满足的向量等式，求两个向量模的比值，着重考查了向量 的加法及其几何意义和向量的模性质等知识，属于基础题10.【答案】B【解析】解：，=2，化为，解得
12、故选：B利用向量的数量积运算即可得出本题考查了向量的数量积运算，属于基础题 11.【答案】D第 7 页，共 14 页1 2 1 21 212【解析】解：D 是边 BC 上的一点（包括端点），可设 = +（01）BAC=120，AB=2，AC=1，=21cos120=-1 =+=-+=-（2-1）-4+1-=-7+201，（-7+2）-5，2 的取值范围是-5，2故选：D由于 D 是边 BC 上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设 =+（01）由BAC=120，AB=2，AC=1，可得=21cos120=-1代入利用数量积运算性质即可得出 =-7+2再利用一次函数的单调性即可得出本题考查了
13、向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计 算能力，属于中档题12.【答案】B【解析】解：f（x）=cos2x-2 sinxcosx=cos2x-=，所以函数 f（x）的周期为：，所以：若存在 x ，x 有 x -x = 时， 所以：x =-x则：f（x ）=f（x ）成立令：解得：（kZ）所以函数的单调递减区间为：所以：f（x）在-， 是单调递增不成立令： （kZ）第 8 页，共 14 页解得：x=当 k=0 时，函数 f（x）关于点（ ，0）成中心对称图象将函数的图象向左平移 得到 y=故与 y=2sin2x 重合相矛盾则：（1）和（3）正确故选：B首先把函数的关系
14、式通过恒等变换变换成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求 出函数的周期，对称中心，及单调区间本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用三角函数的性质求单调区间周 期，及函数图象的平移问题，属于基础题型13.【答案】2【解析】解：xR，向量 =（x，1）， =（1，-2），且 ，可得：x-2=0，解得 x=2故答案为：2利用向量垂直，列出方程求解即可本题考查向量的垂直的充要条件的应用，是基础题14.【答案】135【解析】解：由题意可得 tanC=-tan（A+B）=- =- =-1，又C 为三角形的内角，C=135故答案为：135由题意 tanC=-tan（A+B）=-，代值结合角的
15、范围可得本题考查两角和与差的正切函数公式，属基础题15.【答案】-【解析】【分析】本题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到 cos（ - ）与 sin （ +）中的角之间的余角关系，属于中档题因为 cos（ -）=sin（ +）= ，利用二倍角公式求得 cos（ 【解答】解：因为 cos（ -）=sin（ +）= ，cos（ ）第 9 页，共 14 页）的值=2 -1=2 -1=- ，故答案为-16.【答案】-1，1【解析】【分析】建立平面直角坐标系，进行求解即可本题考查了三角函数的值域，属于中档题【解答】解：设扇形 OAB 的半径为 1，由已知可设 OB 为 x 轴的正半
16、轴，O 为坐标原点，建立直 角坐标系，如图，其中 A（ ， ）；B（1，0）；设BOC=（0 ），则 C（cos，sin），由 ，得（cos，sin）=x（ ， ）+y（1，0）； 整理得： x+y=cos； x=sin，解得 x=，y=cos-，则 x-y=-cos+=sin-cos=2sin（-），由 0 ， 得所以 2sin（-），-1，1，所以 xy的取值范围是-1，1.故答案为：-1，1.17.【答案】解：（1）=sin x+sin（x+ ）的最小正周期是 2（2）xR，-1sinx1（2）=（8 分）f（x）的最大值为 ，最小值为第 10 页，共 14 页=函数 f（x）（3）f（
17、）=sin+sin（+ ）=sin+cos=（sin+cos）2=sin2+cos2+2sincos=1+sin2=sin2= -1=【解析】（1）根据诱导公式可求出函数的解析式，推断 f（x）的最小正周期是 2 （2）依上问 f（x）=2sinx，根据正弦函数的性质推断 f（x）的最大值是 2，最小值是-2 （3）把 代入函数式，两边平方可得答案本题主要考查三角函数中诱导公式的使用做题时注意灵活运用和差化积、倍角公式等 公式18.【答案】解：（），（）依题意得：，即2+3+10，解得：又当与，的夹角为 180时，设且 0， 与 不共线，得 =-1，即与的夹角为钝角，且 -1，或 【解析】（）
18、由|2=代入即可求解；（）由与的夹角为钝角，可知，去掉向量共线的情况即可求解本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解答的关键是性质的熟练掌握，属于中 档试题19.【答案】解：（1）由已知得：， 为锐角，第 11 页，共 14 页（2）， 为锐角，【解析】（1）先求出两个锐角 ， 的余弦，再利用同角三角函数的关系求出其正弦， 进而利用商数关系得到两角的正切值，代入正切的和角公式求值（2）同（1）先用正切的和角公式求出 2+ 的正切，再根据其正切值求 2+ 的值，再 确定其值前要先确定 2+ 的取值范围本题考查两角和与差的正切函数，求解的关键是利用公式求出角的正切值，再求角本 题中涉及到了三角
19、函数中的多个公式，变形灵活，做题时要注意转化正确本题考查了 转化化归的思想20.【答案】解：（1）向量 =（，1）， =（cos ， ），记 f（x）=f（x）=cos += sin + cos + =sin（ + ）+ ，最小正周期 T= =4，2k- + 2k+ ，则 4k- x4k+ ，kZ故函数 f（x）的单调递增区间是4k-，4k+ ，kZ；（2）将函数 y=f（x）=sin（ + ）+ 的图象向右平移 个单位得到函数解析式为：y=g（x）=sin （x- + ）+ =sin（ -）+ ，则 y=g（x）-k=sin（ x-）+ -k，x0， ，可得：- x- ，- sin（ x-）
20、1，0sin（ x- ）+ ，若函数 y=g（x）-k 在0， 上有零点，则函数 y=g（x）的图象与直线 y=k 在0， 上 有交点，实数 k 的取值范围是0， 当 k0 或 k 时，函数 y=g（x）-k 在的零点个数是 0；第 12 页，共 14 页当 0k1 时，函数 y=g（x）-k 在当 k=0 或 k= 时，函数 y=g（x）-k 在的零点个数是 2；的零点个数是 1【解析】（1）通过平面向量数量积的运算，三角函数的恒等变形得到f（x）=sin（ + ） + ，根据正弦函数的性质求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）先求得 y=g（x）-k 的解析式，从而可求 g（x
21、）的值域，由函数 y=g（x）的图象与直线 y=k 在的上有交点，可得实数 k 的取值范围本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的 求法，函数零点的判断方法，考查计算能力21.【答案】解：（1）设CAB=，CAD=，（3 分）cosBAD=cos（+）=coscos-sinsin=（2）由.（10 分）解得： （12 分）.（6 分）（8 分）【解析】（1）设CAB=，CAD=，由 AB=13，AC=10，可得 的余弦值，又由案，分别求出两个角的正弦值，代入两角和的余弦公式，可得答（2）若 ，则，结合 AD=5，及（1）中结论，可得 x、y 值本题考查的知识
22、点是平面向量的数量积运算，熟练掌握平面向量夹角公式及数量积公式 是解答的关键22.【答案】解：（）在 CHE 中，CH=50，C=90，CHE=x，HE=在 HDF 中，HD=50，D=90，DFH=x，HF=又EOF=90，第 13 页，共 14 页minEF=，三条路的全长（ HEF 的周长）L=当点 F 在点 D 时，这时角 x 最小，求得此时 x= ；当点 E 在 C 点时，这时角 x 最大，求得此时 x= 故此函数的定义域为， ；（）由题意知，要求铺路总费用最低，只要 OEF 的周长 L 的最小值即可由（）得 L=设 sinx+cosx=t，则 sinxcosx= L=，x， ，由 t=sinx+cosx=，x， ，得从而+1 ，+1，当 x= ，即 CE=50 时，L =100（ ），所以当 CE=DF=50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为 96560 元【解析】（）要 HEF 的周长 L 表示成 x 的函数关系式，需 HEF 的三边分别用 含有 x 的关系式来表示，从而可求（）要求铺路总费用最低，只要 HEF 的周长 L 的最小值即可利用换元法，从而 转化为求函数在闭区间上的最小值本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解 决实际问题的能力，及推理运算的能力第 14 页，共 14 页