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1、基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究基于 Matlab的 Lorenz 系统仿真研究摘要: 本文利用 matlab 这一数学工具对 Lorenz 系统进行了研究。首先使用 matlab分析求解 Lorenz 方程, 利用 matlab 的绘图功能 , 直观地观察了 Lorenz 混沌吸引子的三维图形 , 并简单观察了Lorenz 混沌系统对初值的敏感性 ; 然后对 Lorenz 系统进行仿真 , 比较分析在不同参数下的Lorenz 系统仿真结果 ;最后验证了通过添加反馈控制的方式, 可以使 Lorenz 方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。关键词 :Lorenz 系统;matla
2、b; 混沌系统1、引言Lorenz方程就是由美国著名的气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化 , 通过对对流实验的研究 , 建立的三个确定性一阶非线性微分方程。 这三个方程就是混沌领域的经典方程 ,Lorenz 系统也就是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统, 具有着举足轻重的作用。 Lorenz方程的表达式如下 : 其中, 、 b为正实常数。本文利用 matlab 这一数学工具 , 对Lorenz系统进行了研究 , 得到了仿真结果 ,加深了对 Lorenz系统的认识。2、matlab求解Lorenz方程并绘图首先建立 m文件“Lorenz、m ”来定义 Lorenz 方程, 固定 =1
3、0,=30,b=8/3,程序如下所示 : function dx=Lorenz(t,x)dx=-10*(x(1)-x(2);30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2、6667*x(3);end然后利用 ode45 命令来求解 Lorenz 方程并绘制图形 , 初值取 x=y=z=0、1。程序如下所示 : clf x0=0 、1,0、1,0 、1; t,x=ode45(Lorenz,0,100,x0); subplot(2,2,1) plot(x(:,1),x(:,3) title(a) subplot(2,2,2) plot(x(:,2),x(:,3) title(
4、b) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究 subplot(2,2,3) plot(x(:,1),x(:,2) title(c) subplot(2,2,4) plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3) title(d) 运行上述程序 , 可得到如下波形 : -20-1001020300204060(a)-40-20020400204060(b)-20-100102030-
5、40-2002040(c)-20020-40-20020401020304050(d)其中, 图(a) 为 Lorenz 混沌吸引子在 x-z 平面上的投影 , 图(b) 为 Lorenz 混沌吸引子在 y-z 平面上的投影 , 图(c) 为 Lorenz 混沌吸引子在 x-y 平面上的投影 , 图(d) 为 Lorenz 混沌吸引子的三维图。 可以瞧到 , 混沌吸引子在各平面上的投影类似于横写的“ 8”字形。由于参数 =10,=30,b=8/3 时为混沌系统 , 对初值具有敏感性 , 初值很小的差异会引起系统行为的显著改变。因此, 将初值改为 x=z=0、1,y=0、11, 绘制此时混沌吸引
6、子在 x-z 平面上的投影 , 并与初值为 x=y=z=0、1 时混沌吸引子在 x-z 平面上的投影放在同一张图中比较。为了区别两者, 初值为 x=y=z=0、1 时混沌吸引子在 x-z 平面上的投影用蓝色 , 初值改为 x=z=0、1,y=0、11 时混沌吸引子在 x-z平面上的投影用红色。程序如下所示: clf x0=0 、1,0、1,0 、1; t,x=ode45(Lorenz,0,100,x0); plot(x(:,1),x(:,3) hold on x0=0 、1,0、1,0 、1; t,x=ode45(Lorenz,0,100,x0); x0=0 、1,0、11,0、1; t,x=
7、ode45(Lorenz,0,100,x0); 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究 plot(x(:,1),x(:,3),r*) 得到的图形如下所示 : -20-15-10-505101520250102030405060可以瞧到 , 虽然初值只有 0、 01 的改变 , 红色与蓝色图形明显不重合, 这证明了系统的敏感性。3、matlab 对 Lorenz 系统仿真首先利用 mat
8、lab 的 Simulink 功能, 搭建 Lorenz 系统的模型 , 仿真模型如下图所示: 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究在仿真模型中 , 取参数 =10,b=8/3, 观察参数取不同值时系统的运行状态。根据文献 1 的分析 , 当参数 01 时, 系统有三个平衡点 : 原点 O(0,0,0) 与 P+,P-。此时原点的特征值中有正值 , 因此原点为鞍点 , 就是不稳定平衡
9、点。当113、 926 时, 不稳定流形将绕到另一侧, 最终趋于与之异侧的P+或 P-。可见 , 就是一个同宿分岔点。因此, 取初值x=y=z=2, =8,仿真停止时间为 50, 运行仿真 , 得到 x、 y、 z 的相图以及 x-z,y-z,x-y的图形依次如下所示 : 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究05010015020025030035023456715020025030
10、0350400450234567精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究0100200300400500600700024681012精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究可以瞧
11、到 , 系统趋于与之同侧的平衡点P+或 P-。取初值 x=y=z=2,=18,仿真停止时间为50, 运行仿真 , 得到 x、y、z 的相图以及 x-z,y-z,x-y的图形依次如下所示 : 050010001500-20-15-10-5051015精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究050010001500-20-15-10-50510150500100015001015202530
12、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究可以瞧到 , 系统趋于与之同侧的平衡点P+或 P-。为了观察 =13、 926 的同宿分岔点现象 , 在=13、 926 附近不断尝试 , 最终在=15、 39682328时观察到比较明显的过渡迹象。 取初值 x=y=z=2,=15、 39682328,仿真停止时间为 50, 运行仿真 , 得到 x、y、z 的相图以及 x-z,y-z,x-y的图
13、形依次精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究如下所示 : 050010001500-10-505101520050010001500-15-10-5051015精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的
14、Lorenz 系统仿真研究05001000150020002500300005101520253035404550精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究可以瞧到 , 虽然最终轨线趋向于与之同侧的平衡点P+或 P-, 但有着明显的过渡迹象。可以推测 , 当取 15、39682328到 15、39682330间的某一个数值时 , 会出现同宿轨现象。根据文献 1, 当24、 74 时,P+
15、与 P-变为不稳定的 , 也就就是说系统进入“混沌区” 。此时三个平衡点 O 、P+、P-都不稳定。取初值 x=y=z=2, =30,仿真停止时间为 100, 运行仿真 , 得到 x、y、z 的相图以及 x-z,y-z,x-y的图形依次如下所示 : 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究0500100015002000250030003500400045005000-20020406
16、0801000500100015002000250030003500400045005000-40-20020406080100精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究05001000150020002500300035004000450050000102030405060708090100精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳
17、- - - - - - - - - -第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究可以瞧到 , 上述图形中 , 轨线绕着 P+若干圈后 , 又绕着 P-若干圈 , 如此循环 , 符合文献 1 的描述。为了观察由系统趋向于与之异侧的平衡点向系统的混沌状态的过渡现象, 在=24、74 附近反复不断尝试 , 最终发现当 =23、299 时, 可以观察到明显的过渡迹象。因此 , 取初值 x=y=z=2,=23、299, 仿真停止时间为 100, 运行仿真 , 得到 x、y、z 的相图以及 x-z,y-z,x-y的图形依次如下所示
18、 : 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究5001000150020002500-20-1001020304005001000150020002500-20-10010203040精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基
19、于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究500100015002000250005101520253035404550精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究可以瞧到 , 在上图中 , 轨线瞧起来稳定在一条围绕与之异侧的平衡点的轨道上。 仅从仿真运行的这段时间, 无法判断系统就是处于混沌状态还就是会趋向于与之异侧的平衡点 , 可以瞧出明显的过渡迹象。4、对 Lorenz 系统的
20、反馈控制系统的稳定就是系统的基本要求。 为了使 Lorenz 系统的不稳定平衡点变为稳定平衡点 , 根据文献 2, 可以通过加入反馈控制的方法实现。加入反馈后,Lorenz方程变为 : 由上式可以瞧出 , 第二个方程加入了简单的线性反馈ky。建立加入反馈后的系统仿真模型 , 如下图所示 : 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究根据文献 2 的分析 , 当 k-35、1 时, 可以满
21、足使系统稳定的要求。取初值x=y=z=2, =30,仿真停止时间为 100,k=-36, 运行仿真 , 得到 x、y、z 的相图以及x-z,y-z,x-y的图形依次如下所示 : 0100200300400500600024681012精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究020040060080010001200051015202501002003004005006000246810
22、12精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究可以瞧到 , 系统很快趋于原点O(0,0,0) 并稳定下来 , 这验证了通过加入反馈使 Lorenz 系统变得稳定的这一方法的正确性。5、结论精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 24 页 - - - - - - - - - -
23、基于 matlab 的 Lorenz 系统仿真研究本文直观地观察了 Lorenz 混沌吸引子的三维图形 , 并简单观察了 Lorenz 混沌系统对初值的敏感性 , 比较分析了在不同参数下的Lorenz 系统仿真结果 , 最后验证了添加反馈控制这一方法可以使Lorenz 方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。通过使用 matlab 对 Lorenz 系统仿真 , 直观地观察到了 Lorenz 系统的运行轨迹, 加深了对 Lorenz 方程与混沌现象的理解。参考文献 : 1 刘崇新、非线性电路理论及应用 M 、西安 : 西安交通大学出版 ,2007、201-208 2 朱少平、 Lorenz 方程的
24、动力学特性与控制 J 、陕西教育学院学报,2007,23(4):81-84 3 赖宏慧、基于 matlab 的 Lorenz 系统模拟实验仿真 J 、 科技信息、2010,17:18-19 4 柴彩春、关于 Lorenz 方程的动力学性态研究 J 、廊坊师范学院学报,2011,11(1):8-10 5 刘庆花、 基于 Matlab 的 lorenz 混沌系统仿真 J 、 现代商贸工业 ,2014,02:194-195 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 24 页 - - - - - - - - - -