2022年圆锥曲线与方程复习资料.pdf

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1、word 高中数学选修21 第二章 圆锥曲线与方程知识点：一、曲线的方程求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化建立 适当的 直角坐标系；设动点,M x y及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂）。二、椭圆1、平面内与两个定点1F，2F的距离之 和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。12222MFMFaac2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210 xyabab222210yxabab第一定义到两定点21FF、的距离之和等于常数2a，即2

2、1| 2MFMFa（212|aF F）第二定义到一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(01)MFeed范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10, b、20,b10, a、20,a1,0b、2,0b轴长长轴的长2a短轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word 3、 设是椭圆上任一点， 点到1F对应 准线的距

3、离为1d， 点到2F对应 准线的距离为2d，则1212FFedd。常考类型类型一：椭圆的基本量1指出椭圆364922yx的焦点坐标和离心率. 【变式 1】椭圆1162522yx上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为3，则 P到另一个焦点的距离 =_ 【变式 2】椭圆1251622yx的两个焦点分别为21FF 、，过2F的直线交椭圆于A、B两点，则1ABF的周长1ABFC=_. 【变式 3】已知椭圆的方程为116222myx，焦点在x 轴上，则m的取值范围是（） 。A 4m 4 且 m 0 B 4m 4 且 m 0 Cm 4 或 m 4 D0m 4 焦距222122()F Fccab离心率22222

4、221(01)ccabbeeaaaa准线方程2axc2ayc焦半径0,0()M x y左焦半径：10MFaex右焦半径：20MFaex下焦半径：10MFaey上焦半径：20MFaey焦点三角形面积12212tan()2MF FSbF MF通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa（焦点）弦长公式1,12,2(),()A x yB x y，22212121211()4ABkxxkxxx x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word

5、 类型二：椭圆的标准方程2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（4，0） 、 （4， 0） ，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10；（2） 两焦点的坐标分别为4-04,0，且椭圆经过点）（ 0 , 5。【变式 1】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14922yx有相同的焦点，并且经过点（ 3， 2） ，求此椭圆的方程。3求经过点P（3，0） 、Q （ 0，2）的椭圆的标准方程。【变式 1】求与椭圆4x2+9y2=36 有相同的焦距，且离心率为55的椭圆的标准方程。【变式 2】在椭圆的标准方程中，则椭圆的标准方程是（）A1353622yxB1353622xyC13622

6、yxD以上都不对【变式 3】长轴长等于20，离心率等于53，求椭圆的标准方程。类型三：求椭圆的离心率4已知椭圆一条准线为4xy，相应焦点为），（1-1，长轴的一个顶点为原点O，求其离心率的取值。【变式 1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A. 63B.33C.23D. 不确定【变式 2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word 5. 已知椭圆

7、12222byax（0ba） ，以， 为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。类型四：椭圆定义的应用6若一个动点P（x，y）到两个定点A（1，0） 、A （1，0）的距离的和为定值m （m0 ） ，试求 P点的轨迹方程。【变式 1】下列说法中正确的是（）A平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线 D平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段【变式 2】已知 A （0，1） 、B（0，1）两点， ABC的周长为 6，则 A

8、BC的顶点 C的轨迹方程是（）ABCD 类型五：坐标法的应用7 ABC的两个顶点坐标分别是B （0，6）和 C（0， 6） ，另两边AB 、AC的斜率的乘积是94-，求顶点 A的轨迹方程。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word 【变式 1】 ABC两顶点的坐标分别是B （6，0）和 C（ 6，0） ，另两边 AB 、AC的斜率的积是94-，则顶点的轨迹方程是（）ABCD课后练习1椭圆2211625xy的焦点坐标为（A）(0,

9、3) （B）(3, 0) （C）(0, 5) （ D）(4, 0) 2在方程22110064xy中，下列a, b, c 全部正确的一项是（A）a=100, b=64, c=36 （B） a=10, b=6, c=8 （C）a=10, b=8, c=6 （ D）a=100, c=64, b=36 3已知 a=4, b=1，焦点在 x 轴上的椭圆方程是（A）2214xy（B）2214yx（C）22116xy（D）22116yx4已知焦点坐标为(0, 4), (0, 4)，且 a=6 的椭圆方程是（A）2213620 xy（B）2212036xy（C）2213616xy（D）2211636xy5若椭

10、圆22110036xy上一点 P到焦点 F1的距离等于6，则点 P到另一个焦点F2的距离是（A）4 （B）194 （C）94 （D）14 6已知 F1, F2是定点， | F1F2|=8, 动点 M 满足 | M F1|+| M F2|=8 ，则点 M 的轨迹是（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段7当 a+b=10, c=25时的椭圆的标准方程是. 8已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向 x 轴作垂线段PP ，则线段 PP 的中点 M 的轨迹方程为. 9经过点 M(3, 2), N(23, 1)的椭圆的标准方程是. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

11、- - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word 三、双曲线1、平面内与两个定点1F，2F的距离之 差的绝对值 等于常数（小于12F F）的点的轨迹称为 双 曲 线 。 这 两 个 定 点 称 为 双 曲 线 的 焦 点 ， 两 焦 点 的 距 离 称 为 双 曲 线 的 焦 距 。12222MFMFaac2、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210,0 xyabab222210,0yxabab第一定义到两定点21FF、的距离之差的绝对值等于常数2a，

12、即21|2MFMFa（2102|aF F）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(1)MFeed范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点1,0a、2,0a10, a、20,a轴长实轴的长2a虚轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122()F Fccab离心率22222221(1)ccabbeeaaaa准线方程2axc2ayc渐近线方程byxaayxb精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15

13、页 - - - - - - - - - - word 3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。4、 设是双曲线上任一点， 点到1F 对应准线的距离为1d， 点到2F对应 准线的距离为2d，则1212FFedd。常考类型类型一：双曲线的定义及标准方程例 1. 如图 2 所示，F为双曲线1169:22yxC的左焦点，双曲线C上的点iP与3 ,2, 17iPi关于y轴对称，则FPFPFPFPFPFP654321的值是（）A9 B16 C18 D27 练习 : 设 P为双曲线11222yx上的一点 F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1| ：|PF2|=3 ：2，则 PF1F2的面积为（）A36

14、B12 C312D 24 例 2. 已知双曲线C与双曲线162x42y=1 有公共焦点，且过点（32， 2）. 求双曲线C的方程练习: 1. 曲线)6(161022mmymx与曲线)95(19522nnynx的（）A焦距相等B焦点相同C离心率相等D以上都不对焦半径0,0()M x yM在右支1020MFexaMFexa左焦：右焦：M在左支1020MFexaMFexa左焦：右焦：M在上支1020MFeyaMFeya左焦：右焦：M在下支1020MFeyaMFeya左焦：右焦：焦点三角形面积12212cot()2MF FSbF MF通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa精品资料 - - - 欢

15、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word 2. 已知椭圆1532222nymx和双曲线1322222nymx有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程（ 2）直线l过焦点且垂直于x 轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程类型二：双曲线的几何性质题型 1 求离心率或离心率的范围例 3. 已知双曲线221xymn的一条渐近线方程为43yx，则该双曲线的离心率e为题型 2 与渐近线有关的问题例 4.若双曲线)0,0(12222b

16、abyax的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A.2 B.3C.5D.2练习：焦点为（ 0，6） ，且与双曲线1222yx有相同的渐近线的双曲线方程是（）A1241222yx B1241222xy C1122422xy D1122422yx题型 3 焦点三角形点 P是双曲线13422yx上一点， F1、F2是双曲线焦点，若F1PF2=120o，则 F1PF2的面积练 习 ： 设21,FF是双 曲 线116922yx的 两 个 焦 点 ， 点 P 在 双 曲 线上 ， 且6021PFF，求21PFF的面积。课后练习一、填空题1椭圆19222kyx与双曲线1322ykx的焦点相同

17、，则k= 。2双曲线14922xy的渐近线为3过点（ -6 ，3）且和双曲线x2-2y2=2 有相同的渐近线的双曲线方程为。4过原点与双曲线13422yx交于两点的直线斜率的取值范围是5、若双曲线8822kykx的一个焦点是（0，3） ，则 k 的值是。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word 6点 P是双曲线13422yx上一点， F1、F2是双曲线焦点，若F1PF2=120o，则F1PF2的面积。二、选择题7. 经过双曲线1

18、222yx的右焦点2F作直线l交双曲线与A、B两点，若 |AB|=4, 则这样的直线存在的条数为（）（A）；（B）3；（C）2； （D）8双曲线与其共轭双曲线有（）A相同的焦点 B. 相同的渐近线 C. 相等的实轴长 D. 相等的虚轴长9过点 P(3,4) 与双曲线1169:22yxc只有一个交点的直线的条数为（）A4 B. 3 C.2 D. 1 三、解答题10已知动圆与圆C1:(x+5)2+y2=49 和圆 C2：(x-5)2+y2=1 都外切，（1）求动圆圆心P的轨迹方程。（ 2）若动圆 P与圆 C2内切，与圆 C1外切，则动圆圆心 P的轨迹是。 若动圆 P与圆 C1内切， 与圆 C2外切

19、， 则动圆圆心 P的轨迹是。若把圆 C1的半径改为1，那么动圆 P的轨迹是。 （只需写出图形形状）四、抛物线1、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线2、关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线22(0)ypxp焦点的弦，1122(,)(,)A x yB xy、，直线AB的倾斜角为，则221212,;4px xy yp22;sinpAB 以AB为直径的圆与准线相切；112.|FAFBP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

20、 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word 3 抛物线的几何性质：图形标准方程22ypx22ypx22xpy22xpy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word 例题讲解1. 抛物线 y=42x上的一点 M到焦点的距离为1，则点 M的纵坐标是 ( ) A. 1617 B. 1615 C.87 D. 0 2. 顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有常考类型类型一：抛物线的定义例

21、1. 已知点 P在抛物线 y2 = 4x 上，那么点P到点 Q （2， 1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为练习 1. 已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F， 点111222()()PxyP xy，333()P xy，在抛物线上，且|1FP、|2FP、|3FP成等差数列，则有（）A321xxx B321yyyC2312xxx D. 2312yyy0p0p0p0p定义与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线( 定点F不在定直线l上) 顶点0,0离心率1e对称轴x轴y轴范围0 x0 x0y0y焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py焦

22、半径0,0()M x y02pMFx02pMFx02pMFy02pMFy通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp焦点弦长公式12ABxxp参数p的几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word 练习 2.已知点),4, 3(AF 是抛物线xy82的焦点 ,M 是抛物线上的动点,当MFMA最小时 ,M 点坐标是( ) A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D

23、. )62,3(类型二：抛物线的标准方程例 2. 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2) (2)焦点在直线240 xy上练习 3. 若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合, 则p的值练习 4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 能使这抛物线方程为y2=10 x的条件是 _. （要求填写合适条件的序号）类型三：抛物线的几何性质例 3. 设 A、B为抛物线pxy22上的点 ,且90

24、AOB(O 为原点 ),则直线 AB 必过的定点坐标为 _. 练习 5. 若直线10axy经过抛物线24yx的焦点，则实数a练习 6. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、 B,若 A、 B在抛物线准线上的射影为11,BA,则11FBA( ) A. 45B. 60C. 90D. 120课后练习一、选择题1如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A （1, 0）B （2, 0）C （3, 0）D （ 1, 0）2圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）Ax2+ y 2-x-2 y -41=0 Bx2+ y 2+x-2 y

25、+1=0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word Cx2+ y 2-x-2 y +1=0 Dx2+ y 2-x-2 y +41=0 3抛物线2xy上一点到直线042yx的距离最短的点的坐标是（）A （1，1）B （41,21） C)49,23(D （ 2，4）4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽 4m，若水面下降1m，则水面宽为 （）A6m B 26m C4.5m D9m 5平面内过点A（-2，0） ，且与直线x=2

26、 相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A y 2=2x B y 2=4x Cy 2=8xDy 2=16x6抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A y 2=-2xB y 2=-4xC y 2=2xD y 2=-4x 或 y 2=-36x7过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （）A8 B10 C6 D4 8 把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a)3,2(平移，所得的曲线的方程是 （）A)2(4)3(2xyB)2(4) 3(2xyC)2(4

27、)3(2xyD)2(4)3(2xy9过点 M（2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（）A0 条B1 条C2 条D3 条10过抛物线y =ax2(a0)的焦点 F作一直线交抛物线于P、 Q 两点，若线段PF与 FQ的长分别是 p、q，则qp11等于（）A2aBa21 C4aDa4二、填空题11 抛物线 y 2=4x 的弦 AB垂直于 x 轴， 若 AB的长为 43， 则焦点到 AB的距离为12抛物线 y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是13P是抛物线 y 2=4x 上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点 Q 的坐标是精

28、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word 14 抛 物线 的焦点 为椭圆14922yx的 左 焦点，顶点 在椭圆中心 ，则抛物线 方程为三、解答题15已知动圆M 与直线 y =2 相切，且与定圆C：1)3(22yx外切，求动圆圆心M 的轨迹方程16已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M（ 3，m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和m 的值17动直线 y =a，与抛物线xy212相交于 A 点，动点 B的坐标是

29、)3 ,0(a，求线段 AB中点M 的轨迹的方程18已知抛物线)0(22ppxy过动点M（a，0）且斜率为1 的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，pAB2|（）求 a 的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交x轴于点 N，求NABRt面积的最大值解析 ： （）直线l的方程为axy，将pxyaxy22代入，得0)(222axpax设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为),(11yxA、),(22yxB，则.),(2,04)(42212122axxpaxxapa又axyaxy2211,，221221)()(|yyxxAB4)(221221xxxx)2(8app0)2(8,2|0apppAB，pa

30、pp2)2(80解得42pap（）设 AB的垂直平分线交AB 于点 Q，令坐标为),(33yx，则由中点坐标公式，得paxxx2213，paxaxyyy2)()(22121322222)0()(|ppapaQM又MNQ为等腰直角三角形，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - word pQMQN2|，|21QNABSNAB|22ABppp 22222p即NAB面积最大值为22p精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -