《2022年极限存在准则两个重要极限教案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年极限存在准则两个重要极限教案 .pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.7 极限存在准则两个重要极限求函数的极限问题， 有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知x时，0sinxxxf, 但0 x时，?sinxxxf00是否有？如果有，怎样求？再如nnnfn)11(无限多个积，n换成x？一极限存在准则I 1准则 I 如果数列, 2, 1,nzyxnnn满足：(1),2, 1nzxynnn(2)aynnlim , aznnlim那么数列nx的极限存在，且axnnlim. 证：aynnlim , aznnlim，10N，当1Nn时，有ayn. 同理20N，当2Nn时，有azn. 取21,maxNNN，则当Nn时，有ayn,azn同时成立即ayan,a
2、zan, 而,2, 1nzxynnnn，azxyannn, 即axn. 故axnnlim。*数列极限存在准则I 可推广到函数的极限。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 准则 I如果(1),?(0rxUx ( 或Mx) 时 ， 有xhxfxg成 立 ；(2)Axglim, Axhlim (0 xx或x), 那么Axhlim (0 xx或x). 准则 I,I 称为夹逼准则。2利用准则 I 证明第一个重要极限：1sinlim0 xxx证：函
3、数xxsin在0 x时有定义单位圆中，AOB 的面积扇形 AOB 的面积AOD 的面积即xsin21x21xtan21, 1sincosxxx (1)(用x代x时，xcos与xxsin都不变号，对0,2x也成立 ) 。证1coslim0 xx20 x时，22222sin2cos11cos0 xxxx22x即xcos1022x,02,02xx由准则 I 有1coslim0 xx由式(1) 及准则 I 即得1sinlim0 xxx。3应用：求极限(1)1sinlim0 xxx0limx1sin xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -
4、- - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 0limx1tanxx11sinlimxxx, (2)3535sinlim0 xxx, (3)212sin2limcos1lim22020 xxxxxx (4)2sin2cos2limsin3sinlim00 xxxxxxxx (5)nnn2sin2lim( 0 x, 常数)xex:nlimnxxx2cos2cos2cos2令nxxxy2cos2cos2cos2,nnxxy2sin2sin, nnnnxxyx2sin2sin,02sinnlimxxysin01limxyn. 二极限存在准则如果数列
5、nx满足121nnxxxx, 称为单调增加的（减少） 。已知收敛的数列一定有界，但有界数列不一定收敛。若数列单调且有界，则有：1准则：单调有界数列必有极限。 （正确性通过数列的几何意义容易从直观上看出，严格的证明用实数理论，不作证明。）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 几何解释：单调数列的点只向一个方向移动nx,nx定点 A因为有界，所以nx都落在MM ,内，且极限的绝对值不超过M2讨论第二个重要极限xlimxx11考虑x取n并设n
6、nnx11, 证数列单调有界。nxnnnnnnnnnnnnnnnn1!) 1() 1(1! 3)2)(1(1! 2) 1(1! 11321+1+n11! 21+nnnnnnn112111!12111! 311nx=1+1+121111! 31111! 21nnn111111!1nnnn+11111!11nnnn，比较nx与1nx，nx1nx数列单调增加又 xn1+1+!1! 31! 21n112213211211121212111nnn3，即数列有界。根据准则，数列极限存在，通常用e 表示，即ennn11lim。可证x取实数 +或 - 时,xx11的极限都存在且等于e，因此，xlimexx11
7、.(e=2.718281828 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 利用代换xz1，则当x时0z可有ezzz101lim。3应用求极限 (1)xlim331exxxlim21211exxxlim111exxxlim10521exx（2）xlim12221xxx=xlimexxx2211112三利用极限存在准则求极限例1. 证明：nlim0!2nn证: 由于 0!2nn=nnn322932232122222,nlim032n, 所以
8、nlim!2nn=0. 例2. 已知对n1,2, , 均有10nx, 且212nnnxxx, 求nnxlim解：由于212nnnxxx, 故nnnnnnxxxxxx121而10nx，故01nnxx即nnxx1，数列单调增加。又11121nnxx, 可知数列有界 . 所以nnxlim存在，设axnnlim精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 则由1limnnxnlim)2(2nnxx, 有22aaa所以0a, 或1a, 而由10nx及数列
9、递增 , 知1a即1limnnx*未证极限存在之前不能两边取极限. 小结：极限存在准则与两个重要极限是函数极限的重要内容，必须熟练掌握并能准确应用。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -