2022年高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1.6 极限存在准就两个重要极限授课次序 06教学基本指标教学课题1.6 极限存在准就两个重要极限教学方法当堂讲授,辅以多媒体教学教学重点两个准就,两个重要极限教学难点四个定理的证明同济高校编 高等数学 (第 6 版) 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考教材自编教材 高等数学习题课教程作业布置高等数学 标准化作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双语教学函数: function .极限: limit .极限值: limit value.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

2、精品资料_课堂教学目标1 明白两个极限存在的准就2 把握两个重要极限,明确其成立的条件,并把握其基本应用1 夹逼准就( 20min),着重介绍两个准就的推导及其联系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 应用夹逼准就证明极限limsin x1 (25min )采纳多媒体教学的方式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学过程3 重要极限limsin x1 的应用( 10min )可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

3、精品资料_4 单调有界准就(10min )5 应用单调有界准就证明极限lim 1x1 xxe 并把握其简洁应用(25min)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_本节教学设计极限的存在准就1. 背景学问与引入方法( 1)我们已经学习了数列极限和函数极限的定义及其基本性质.但是,极限定义是验证性的,并没有给我们供应求出极限的方法.也就是说,要使用极限定义进行证明,第一要知道数列的极限值,然后才能进行验证.所以,假如不能设法观看出数列的极限值,我们就将无能为力.极限的四就运算法就供应了运算极限的有理运算方法,使我们能够运算一些简洁极限,但事先必需能判定出极限是否存在,否就运算法就无法使用

4、.因此,我们迫切期望知道一些能够判定极限是否存在的高效简便的方法.为此,本节介绍极限存在的三个准就.( 2)通过三个准就,我们会获得较为丰富的“副产品”,这就是两个重要极限.极限运算的实践告知 我们, 仅仅依靠四就运算法就,只能解决有理运算问题,我们会感到束手束脚,对复杂一些的题目无从下手.因此需要查找到更有效的方法去运算其它类型的极限,比如建立起幂函数与三角函数、反三角函数、指数、对数之间的极限关系,以及五种初等函数相互之间的极限关系.两个重要极限是导出这些重要基本关系的动身点,因此我们才说它们“重要”.( 3)极限存在准就是一个比较深化的问题.这个问题的核心是“实数连续性、实数完备性”,但

5、这已经超出了本课程的范畴.因此,本节所涉及到的定理并没有给出严格的数学证明.本节讲解方法应当从实际可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -动身,利用生活常识、几何直观等对定理的引出背景及结论进行说明.2. 讲解方法一、单调有界定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于数列 an ,假如数列的项越来越大,我们说数列是单调增加的,假如数列

6、的项越来越小,我们说可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列是单调削减的.比如我们看到的世界跳高纪录,由于人们总是追求更高更快,世界纪录会不断被打破,所以,世界记录总是逐步增高的,它是一个单调上升的数列.同时我们也看到另一个事实:虽然纪录不断增高,但是常识告知我们,它不能超过100 米,甚至可以断言它不会超过10 米、 5 米、 3 米.这个单调增加的数列是有上界的.这样的数列仍有许多,请留意观看下面的数列:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n a1,1 , 1, LL, 1 , LL b 1 , 3 , 7, LL, 11 , LL可编辑资料 - - - 欢迎下载精

7、品_精品资料_23nn24822 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列单调削减且有下界,零或小于零的任何常数都是其下界.下界里有个最大的吗?有;数列单调增加且有上界,1 或大于 1 的任何常数都是其上界上界里有个最小的吗?也有;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_现在请用一下你的想象力:对于单调增加有上界的数列 xn,它的图像是数轴上的一个点列,点列中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的点在数轴上会不停的向前走,但是不行能越过它的最小上界 a由于数列有无穷多项,从某一项之后的全部无穷多项都会密集在 a 点邻近.所以,数列 xn 以 a 为极限对单调削

8、减且有下界的数列可作类比摸索.由此得到一个事实:定理 1(单调有界准就)单调有界的数列必有极限说得更明确一点,单调增加有上界的数列必有极限.单调削减有下界的数列必有极限.由于实数理论学问的欠缺,不对本定理进行证明(将其证明置于扩展学问部分,请参考).定理 1 (单调有界准就的函数版)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f x 为定义在 U如 f x 为定义在 U x0 上的单调有界函数,就右极限 x0 上的单调有界函数,就左极限limxx0limxx0f xf x存在 存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、夹逼准就定理(夹逼准就)设数列 xn, yn , zn

9、 是三个数列,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NN,nN ,有 xnznyn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如lim xnlim yna,就 lim zna.nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从几何直观考虑定理的证明.由于数列 xn , yn 都收敛于a,因此除了有限项以外,两个数列的其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它各项都会进入到a 点的邻域之中又对于一切自然数nN ,有 xnznyn ,在 xn 、 yn 两可编辑资料

10、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个数列的夹持下数列 zn 的相应项也就无可挑选的进入到a 点的邻域之中,所以数列 zn以 a 为极限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将这种想法翻译成 “N”语言

11、,就完成了本定理的证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在应用这个定理进行极限运算时,要留意通过适当放大缩小不等式,查找合适的、便于运算的掌握数列 xn , yn 3. 难点及解决方法在应用夹逼定理作极限运算时,难点在于构造夹逼数列.应当引导同学熟悉到:( 1)夹逼法是处理极 限难题的有效方法,当运算显现障碍时,要能够想得起 这件工具.( 2)构造夹逼数列的思路是进行适当 放大缩小.( 3)夹逼数列第一应当满意上控数列与下控数列的极限相同,(4)夹逼数列要便于运算.例2 和例 3从不同角度供应了构造夹逼数列的思路和技巧.求递推式的极限是另一个难点.由于这类题目的特色非常明显,解

12、题思路并不难,例1 供应了一种典型的 套路 :即( 1)分析单调性. ( 2)分析有界性. ( 3)依据单调有界准就确认极限存在,设为A.( 4)对递推式两端取极限,化作方程解出极限A.另外,由于可以事先“猜”出极限,运用极限定义证明也是一条常用的思路.4. 与其他学问点的关联可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 1)依据单调有界准就,可以得到重要极限nlim11xe,lim111e,lim1x xe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n0nxxx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据夹逼准就,可以得到重要极限limsin x1 ,可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 2)柯西收敛准就可以推广到其它场合.如:平面点列 xn收敛的Cauchy 准就,维欧式空间中的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Cauchy 准就,级数u n 收敛的 Cauchy 准就.n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 3)柯西收敛准就的实质是抽象空间中的“完备性”概念.5. 扩展学问1)单调有界准就的证明: 证明:设 an 是单调增加且有上界的数列.由于 an 有上界,依据上确界存在定理,必有上确界sup an a可编辑

14、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面证明a 就是该数列的极限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据上确界的定义,0,NN, 使得 a Na -.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q an 单调增加,nN , aaNanaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这意味着an - a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,lim aann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学基本内容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - -

15、- - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准就 I1 6 极限存在准就两个重要极限备注栏可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如数列 xn 、 yn 及 zn 满意以下条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 yn xn znn 1 2 32lim ynanlim znan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

16、那么数列 xn 的极限存在且lim xnan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明由于lim ynanlim znan依据数列极限的定义0N 1 0当 n N 1 时有|y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n a|又 N 2 0当 n N 2 时有|z n a|现取 N max N 1N 2就 当 n N 时有 |y n a|zn a|同时成立即ayn aaz n a同时成立又因 yn xn zn所以当n N 时有 ayn x n z n a即 |x n a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这就证明白

17、lim xnan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简要证明由条件 20N0当 nN 时有|y n a|及 |z n a|即有ayn aaz n a由条件 1有ay n x n z n a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即|x n a|这就证明白lim xnan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准就 I假如函数fx、 gx及 h x满意以下条件(1) g x fx hx2 lim gx A lim hx A那么 lim fx 存在且 lim fx A注 假如上述极限过程是xx0要求函数在x0 的某一去心邻域内有定义上述极限过程是x要求函数当 |x| M

18、 时有定义准就 I 及准就 I称为夹逼准就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面依据准就I 证明第一个 重要极限limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明第一留意到函数sin x x对于一切x 0 都有定义参看附图图中的圆为单位圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111由于S AOB S 扇 形 AOB S AOD所以 2 sin x2 x2 tan x即 sin x x tan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等号各边都除以sin x就有 1x sin x1cos

19、 x或 cos xsin x1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意此不等式当x 0 时也成立而lim cos x1依据准就Ilimsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简要证明参看附图设圆心角AOB x 0x2 明显BCABAD因此sin xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - -

20、- - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan x从而cos xsin x x1 此不等式当x 0 时也成立 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 limcos x1依据准就Ilimsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应留意的问题在极限lim sin xx中只要x是无穷小就有limsinx1 x可编辑资料 - -

21、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是由于令 ux就 u0于是limsinxlimsin u1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limsin x1lim sin x1 x0 xu0u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x例 1求 limxtan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解limtan xlimsin x1lim sin xlim11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0xcos xx0xx0 cosx可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2求 lim 1cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x 2xxx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解lim 1cos xlim2 sin221 limsin 221 limsin 21 121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x2x0x22 x0 x 222 x0x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准就 II单调有界数列必有极限假如数列 x n 满意条件x 1x 2 x 3x n x n 1就称数列 x n 是单调增加的假如数列 x n

23、满意条件x 1 x 2 x 3x n x n 1就称数列 x n 是单调削减的单调增加和单调削减数列统称为单调数列假如数列 x n 满意条件x nx n 1 nN在第三节中曾证明收敛的数列肯定有界但那时也曾指出有界的数列不肯定收敛现在准就II说明假如数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列肯定收敛准就II的几何说明单调增加数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某肯定点A而对有界数列只可能后者情形发生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据准就II可以证明极限lim 11 n 存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 xn11

24、nnnn现证明数列 xn 是单调有界的按牛顿二项公式有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xn11) n1 nn 11. nnn112.n2nn1 n3.21n3nn1n n.n11nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 11 11 2.n1 13.112 nn1 1n.1 12nn1n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xn 11 11 11 2.n11 13.112 n1n11 1n.1 12 n1n11n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

25、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n1.1 12 n1n11n n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比较 x nx n 1 的绽开式可以看出除前两项外x n 的每项都小于x n 1 的对应项并且 x n 1 仍多了最终一项其值大于0因 此 x nx n 1这就是说数列 xn 是单调有界的这个数列同时仍是有界的由于xn 的绽开式中各项括号内的数用较大的数1 代替得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢

26、迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xn1 1112.3.11 111n.22212n 11112n112132n 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据准就II数列 xn 必有极限这个极限我们用e 来表示即lim 1n1ne n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们仍可以证明lim 1x1 xxee 是个无理数它的值是e 2 718281828459045可编

27、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指数函数y e x 以及对数函数yln x 中的底 e 就是这个常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在极限lim 1x1x 中只要x是无穷小就有lim 1x1x e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是由于令 u11 x就 u于是1lim 1x1 xlim 1u1ue u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim 1xexxlim 1 xxe x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3求 lim 11 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx解令 tx就 x时 t于是lim 11 xlim 11 tlim11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_txxttt11e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或lim 1x1 xxlim 1x1 x 1x lim 1xt1 x 1e 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学后记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载

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