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1、精选优质文档-倾情为你奉上职高数学公式及知识点速记一、集合（1）集合中的元素有三个特征：a.确定性（集合中的元素必须是确定的） b.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A=1，a，则a不能等于1） c.无序性（集合中的元素没有先后之分。）（2）常见的集合符号表示：N：非负整数集合或自然数集合0,1,2,3, N*或N+：正整数集合1,2,3,Z：集合,-1,0,1, Q：有理数集合 Q+：正有理数集合 Q-：负有理数集合 R：集合(包括有理数和无理数） R+：正实数集合 R-：负实数集合 C：集合：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集） 分数自然数 有理数Q 正整数 实数R 整
2、数Z 零 复数C 无理数 负整数 虚数 2. 集合的基本关系a.规定: 空集(不含任何元素的集合叫做空集,记为)是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集b. 任何一个集合是它本身的子集.c. 子集具有传递性. 如果 AB, BC ,那么 AC.*假设A中含有n个元素，则有：1. A的子集个数为2n。 A的真子集的个数为2n-1。 2. A的非空子集的个数为2n-1。 A的非空真子集的个数为2n-2。3.集合的基本运算(1) 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：AB，读作：“A并B”，即： AB=x|xA，或xB性质：*AAB
3、，BAB，AA=A，A=A,AB=BA *若AB=B，则AB，反之也成立.（2）交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：AB，读作：“A交B”，即： AB=x|A，且xB 性质：*ABA，ABB，AA=A，A=,AB=BA*若AB=A，则AB，反之也成立。（3）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。（4）补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary se
4、t）,简称为集合A的补集，记作：即：=x|xU且xA补集的Venn图表示：性质： =U 命题、充要条件（箭头指向范围大的）充要条件（记表示条件，表示结论） （1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.二、函数1、函数的单调性(1)设那么上是增函数；简记“大的越大，小的越小”上是减函数。简记“大的反而小，小的反而大”单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；单调性解法：方法一：设那
5、么上是增函数；上是减函数.方法二：函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数当时，在R上是增函数；当时，在R上是减函数。二次函数当时，时单调减,时单调增；当时，时单调增，时单调减。反比例函数且当时,在时单调减，在时单调减；当时,在时单调增，在时单调增。指数函数当时，在R上是增函数；当，时在R上是减函数。对数函数 当时，在上是增函数；当时，在上是减函数。 方法三： “ 同增异减”情形函数 单调性第种情形第种情形第种情形第种情形内层函数外层函数复合函数2、函数的奇偶性对于定义域内任意的，都有，则是偶函数；对于定义域内任意的，都有，则是奇函数。注：（或y=0）为既是奇函数又是偶函数奇函数的图象关于原
6、点对称，偶函数的图象关于y轴对称。常考隐含问题：若是定义域在R上的奇函数，则，（必过原点）。奇偶函数间的关系：(1)、奇函数偶函数=奇函数； （2）、奇函数奇函数=偶函数；(3)、偶奇函数偶函数=偶函数； (4)、奇函数奇函数=奇函数（也可能偶函数）(5)、偶函数偶函数=偶函数； (6)、奇函数偶函数=非奇非偶函数奇偶性解法：（1） 前提条件下（定义域必须关于原点对称）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数（2） 定义法：，则就是奇函数；，则就是偶函数。函数的周期性：定义：对函数，若存在T0，使得，则就叫是周期函数。 3、指数
7、函数、对数函数、分数指数幂 (1)（，且）. (2)（，且）.根式的性质：（1）当为奇数时，； 当为偶数时，.有理指数幂的运算性质：(1) .(2) .(3).指数式与对数式的互化式: .对数的换底公式 : =(,且,且, ).对数性质： 若且则(1) ; (2) (3) （4） (5) (6) （7） （8）=1 （9） （10）常见的函数图象 幂函数 对数函数 指数函数 xyo+-cosxyo+-tanxyo+-sin三、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 1、同角三角函数的基本关系式 ，=.2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）的正弦、余弦，等于的同名函数，前面加上把看成
8、锐角时该函数的符号；的正弦、余弦，等于的异名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号。， ， ， ， ， ， ， ， 以上口诀：函数名称不变，符号看象限，以上口诀：正弦与余弦互换，符号看象限 互余的两个角 sin值等于cos值3、和角与差角公式 ; ;.4、二倍角公式 .公式变形： 5、函数 的图象变换（上加下减，左加右减，伸长缩小）y0x2341-1y=sin2x y=sin x y=sinx变周期 y=2sinx y= sinx y=sinxy0x212-1-2A变最值注： 根据图像求的解析式的方法最值求A 周期求 点代入求另外：函数及函数的周期，最大值为|A|；函数（）的周期.6、 正弦函
9、数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴7、辅助角公式 其中8、正弦定理：（R为外接圆的半径）.9、余弦定理; ; .10、三角形面积公式（1）（分别表示a、b、c边上的高）.（2）.（3）设，则（4）海伦定理： 其中， 11、内角和定理 ：在ABC中，有； ； 12、与的数量积(或内积)13、平面向量的坐标运算(1)设=,=，则+=.(2)设=,=，则-=. (3)设A
10、，B,则=B-A(4)设=，则=.(5)设=,=，则=.(6)设=，则14、两向量的夹角公式设=,=，且，则15、向量的平行与垂直设=,=，且 . 交叉相乘差为零 . 对应相乘和为零三、数列16、数列的通项公式与前n项的和的关系( 数列的前n项的和为).17、等差数列的通项公式 ；18、等差数列其前n项和公式为.等差数列常用性质：（1）、若，则有 （3）、若、为等差数列，则为等差数列。（4）、为等差数列，分别为前m，前2m，前3m项的和，则也成等差数列。（5）、若的等差中项，则有2n、m、p成等差。 注意：已知Sn求a1和公差d：S1=a1 求出a1再S2=a1+a2 求出a2然后d=a2-a
11、119、等比数列的通项公式；20、等比数列前n项的和公式为 或 .等比数列常用性质：等比中项：=；若m+n=p+q，则=；为等差数列，分别为前m，前2m，前3m项的和，则，-，-成等比数列。四、不等式21、。必须满足一正（都是正数）、二定（是定值或者是定值）、三相等（时等号成立）才可以使用该不等式）若积是定值，则当时和有最小值；若和是定值，则当时积有最大值.（1）(当且仅当ab时取“=”号)（2）(当且仅当ab时取“=”号)（3）（4）（5）(当且仅当ab时取“=”号)（6）一元二次不等式y=的解当时 （图像与X轴相交）的解 记作：开口向上，小于零取中间的解 记作：开口向上，大于零取两边当时
12、（图像与X轴相切）的解（无解） 记作：开口向上相切时，x轴下方图像的没有的解 记作：开口向上相切时，x轴上方图像除了切点全是当时 （图像与X轴相离）的解（无解） 记作：开口向上相离时，x轴下方没有的解全体实数 记作：开口向上相离时，x轴上方全是注：当时，两边乘以-1即可。解一元二次不等式的时候画出函数图像更直观！含有绝对值的不等式 ：当时，有. （小于取中间）或. （大于取两边）五、解析几何22、直线的五种方程 （1）点斜式 (直线过点，且斜率为)（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).（3）两点式 ()(、 ().(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式 (其中A、B不同时为
13、0). 化为斜截式： 23、两条直线的平行和垂直 若，;.小技巧：对于两条直线 与垂直的直线为1、若 则重合 2、若 则平行 与平行的直线为3、若 则相交 24、平面两点间的距离公式 (A，B).25、点到直线的距离 (点,直线：).26、 圆的三种方程（1）圆的标准方程 .（2）圆的一般方程 (0).圆心为（,），半径（3）圆的参数方程 .* 点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种若，则P在圆上若，则P在圆外若，则P在圆内27、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种: ；. 弦长=其中. 28、椭圆的标准方程、图象及几何性质：椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的
14、轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1顶 点对称轴轴，轴；短轴为，长轴为焦 点焦 距 离心率 （离心率越大，椭圆越扁）通 径（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长= （2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是 29、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。其中
15、：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：与（）表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1yxOF1PB2B1F2顶 点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴 坐标轴焦 点焦 距 离心率（离心率越大，开口越大）渐近线通 径（1）双曲线的渐近线：若双曲线方程为渐近线方程：. 若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.任何情况下，焦点到渐近线的距离等于（2）等轴双曲线为，其离心率为（3）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周
16、长= （4）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是 30、抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。过抛物线焦点的弦长.抛物线的标准方程、图象及几何性质：焦点在轴上，焦点在轴上，焦点在轴上，焦点在轴上，开口向右开口向左开口向上开口向下标准方程图 形xOFPyOFPyxOFPyxOFPyx顶 点对称轴轴轴焦 点离心率准 线通 径焦半径弦长公式： 其中：分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程根的判别式和 的系数 另外： 韦达定理 ： 弦的中点坐标的求法法（一）
17、：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。法（二）：用点差法，设，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。六、立体几何 31、空间点、直线、平面之间的位置关系公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理1的作用：判断直线是否在平面内CBA公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理2的作用：确定一个平面的依据。推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。推论2：两条相交
18、直线确定一个平面。 公理2推论3：两条平行直线确定一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理3的作用：判定两个平面是否相交的依据32、空间中直线与直线之间的位置关系空间的两条直线有如下三种关系：PL共面直线 相交直线：同一平面内；有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内；没有公共点；异面直线：不在同一个平面内；没有公共点。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线acabcb强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。等角定理：空间中如果两个角
19、的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。注意点： 1.两条异面直线所成的角(0， ； 2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab；3.两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；33、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线在平面外 直线与平面相交 有且只有一个公共点直线在平面平行 没有公共点注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a34、直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
20、简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b aab35、平面与平面平行的判定两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab判断两平面平行的方法有三种：（1）判定定理；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。36、直线与平面、平面与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：
21、= a ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。37、直线与平面垂直的判定定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作。 如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 p 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意：1.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；2.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。38、平面与平面垂直的判定两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。39、直线与平
22、面、平面与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。40、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式圆柱侧面积=， 表面积=圆椎侧面积=， 表面积= 或（其中r为扇形半径，为扇形的弧长）弧长公式 或 弧度数（是柱体的底面积、是柱体的高）.（是锥体的底面积、是锥体的高）.球的半径是，则其体积,其表面积41、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。专心-专注-专业名称棱柱棱锥棱台图示定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形。且
23、每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形，其余各面都有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分各部分名称底面：互相平行的两个面侧面：底面外其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧棱与底面的交点对角面：不相邻的侧棱确定的截面四边形对角线：不在同一面上的两个顶点的连线段高：两底面间的距离底面：多边形的面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点对角面：不相邻的侧棱确定的截面三角形高：顶点到底面的距离底面：原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的下底面和上底面侧面：原棱锥的侧面被截得的梯形高：棱台两底面间的距离
24、性质1. 两底面是对应平行的全等多边形2. 侧面，对角面都是平行四边形3. 侧棱平行且相等4. 平行于底面的截面是与底面全等的多边形1. 侧面，对角面都是三角形2. 侧棱交于一点3. 平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比的平方1. 两底面所在的平面互相平行，两底面是对应边互相平行的相似多边形2. 侧面是梯形3. 侧棱的延长线交于一点名称圆柱圆锥圆台图示定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的几
25、何体各部分名称轴：旋转轴底面：垂直于轴的边旋转形成的圆面侧面：平行于轴的边旋转形成的曲面母线：不垂直于轴的边轴截面：通过轴的截面轴：旋转轴底面：不在轴上的直角边旋转形成的圆面侧面：斜边旋转形成的面母线：斜边旋转时在侧面上的各个位置轴截面：通过轴的截面轴：旋转轴底面：梯形的两底边旋转形成的两个圆面侧面：梯形不垂直于底的腰旋转而成的面母线：梯形不垂直于底的腰旋转时侧面上的各个位置性质1. 底面是两个等圆，半径等于矩形垂直于轴的边2. 平行于底的截面是和底面全等的圆3. 轴截面是全等的矩形4. 母线平行且相等，都垂直于底面，母线长等于圆柱的高1. 底面是一个圆，半径等于垂直于轴的的直角边2. 轴截面
26、是全等的等腰三角形3. 母线共顶点，且长相等，各母线与轴的夹角相等1. 两底面是两个半径不等的圆2. 任两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形3. 母线长相等七、概率统计42、平均数、方差、标准差的计算平均数: 方差:标准差: 方差（或标准差）越小数据越稳定43.分类计数原理（加法原理）.44.分步计数原理（乘法原理）.45.排列数公式 =.(n，mN*，且mn)46.组合数公式 =(n，mN*，且mn).47.组合数的两个性质：(1) = ; (2) += （3）.48.排列数与组合数的关系是：49. (1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。50.重点公式(1)如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P（A+B）=P（A）+P（B），推广:P（A1+A2+An）=P（A1）+P（A2）+P（An）.(2)对立事件的概率和等于1.P(P)+P()=P（A+）=1.你的一生，我只送一程，不忍离别，但车已到站，你远走高飞，我原路返回，再见。