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1、Boltzmann方程的完善周建刚大连大学物理科学与技术学院，辽宁 大连 116622E-mail: zhoujiangang；zhoujiangang联系电话：13322216286；133322850331.摘要1872年，奥地利物理学家玻耳兹曼建立了Boltzmann方程，严格地说其应用范围仅是气体分子。若对该方程不做任何改动，就直接将它应用于等离子体，得到的结果在一些情况下不需要修正，在另一些情况下则需要修正。本文分析解释了造成这种现象的原因并对Boltzmann方程进行了完善，完善后的Boltzmann方程应用范围从气体分子扩展到等离子体。关键词 Boltzmann方程， 完善， 等
2、离子体， 气体分子， 带电粒子2.引言至今为止，Boltzmann方程一直被学术界公认是研究气体分子及等离子体的理论基础 110。1872年，奥地利物理学家玻耳兹曼（L.Boltzmann，18441906）建立Boltzmann方程。在这之后，他及其他物理学家用此方程对气体分子运动进行的很多研究成果已经成为经典物理的一部分。然而，当后人将Boltzmann方程应用于等离子体时遇到了一个问题，就是等离子体的构成要比气体分子复杂，气体分子没有产生率和损失率，而等离子体中的带电粒子有产生率和损失率，这是玻耳兹曼当初建立Boltzmann方程没有遇到也没有考虑的问题。因此，严格起来，说Boltzma
3、nn方程是研究中性气体分子的理论基础完全正确，而说Boltzmann方程是研究等离子体的理论基础就不完全正确，因为研究等离子体的理论基础一定是建立在考虑了等离子体中带电粒子有产生率和损失率基础之上的。这个问题是涉及等离子体物理基础的一个重大问题，以往的相关文献和专著解决这一问题的方法有两种：一种是只讨论那些带电粒子产生率和损失率完全抵消的等离子体，从而回避了带电粒子的产生率和损失率问题。由于带电粒子产生率和损失率完全抵消的等离子体严格地遵从Boltzmann方程，故在这些文献和专著中无须讨论产生率和损失率的13。电粒子产生率和损失率完全抵消的等离子体在以往的研究中并不在少数，这样的处理方法是合
4、理的，缺点是不具备普遍性。另外，这种方法必须说明所研究的对象一定是带电粒子产生率和损失率完全抵消的等离子体，否则容易造成Boltzmann方程应用范围原本就包含了所有等离子体的误解。另一种是讨论所有等离子体，但根据实际情况，对应用Boltzmann方程得到的结果人为地进行修正。例如对大气压非平衡等离子体源产生的等离子体应用Boltzmann方程，当取Boltzmann方程的零阶矩方程时，在等式的右边人为地加上了带电粒子的产生率和损失率48。这种方法的缺点是最后结果不是完全由基本方程自然推导出，而是有人为修正的成分。本文给出了解决上述问题的一种新方法完善Boltzmann方程，即将Boltzma
5、nn方程变成一个既适用于气体分子也适用于全部等离子体的普适Boltzmann方程。经本文完善后得到的这个普适Boltzmann方程，无论将它应用到气体分子还是等离子体，其形式都保持不变，从这个普适Boltzmann方程中可以自然地推导出带电粒子的产生率和损失率而不必对结果做任何修正，总之，它的应用再也不会出现此前Boltzmann方程应用于等离子体时出现的问题。至今尚未发现有人做过这项工作。3. Boltzmann方程的创建过程简述 我们知道粒子分布函数f（x，y，z，Vx，Vy，Vz，t）与6维相空间体积元dx dy dz dVx dVy dVz的乘积f（x，y，z，Vx，Vy，Vz，t）d
6、x dy dz dVx dVy dVz是指t时刻在6维相空间的位置矢量为R R （x , y , z , Vx , Vy , Vz）点处位于体积元dx dy dz及速度间隔dVx dVy dVz（即6维相空间体积元dr dV）内的粒子数，利用泰勒级数展开并只取前两项作为近似可得在dt时间之后在体积元dx dy dz及速度间隔dVx dVy dVz内的粒子数量增加量为9, 10dt dr dV dt dx dy dz dVx dVy dVz （1）Boltzmann认为引起6维相空间体积元dr dV内粒子数量增加的因素有两个，或者说这6维相空间体积元dr dV内粒子数量增加来源于两个方面，第一个
7、方面的因素是由于粒子的运动，即 dt dr dV （2）第二个方面的因素是由于粒子与其它粒子的碰撞，即 dt dr dV （3）综合上述这两个方面的来源因素，可得 （4）其中为运动项；为碰撞项。Boltzmann本人在1872年，已将运动项的具体表达式给出9V（ E V B） （5）其中m是粒子质量，e是粒子所带的电量，V是粒子的速度，E是电场强度，B是磁场强度。 将（5）式带入（4）式，得Boltzmann方程为V （ E V B） （6）4. 完善后Boltzmann方程的形式从Boltzmann方程的创建过程我们知道，该方程的适用对象是气体分子而不是等离子体，因为只有气体分子才满足Bol
8、tzmann方程的假设，即引起6维相空间体积元dr dV内粒子数增加只有运动和碰撞两个因数，而等离子体中包含带电粒子，带电粒子有产生和损失的问题，所以不满足这个假设。为简单起见，下面不妨以等离子体中的离子作为研究对象来详细讨论这个问题。我们知道引起6维相空间体积元dr dV内离子数增加不仅有运动和碰撞两个因数，还有电离过程引起离子的产生及复合过程引起离子的损失这两个因数。所以，要想使Boltzmann方程适用于等离子体还需对该方程进行完善，也就是在考虑运动和碰撞两个因数的同时，还要考虑产生和损失这两个因数。按照这一思路，完善的具体步骤就是在（6）式的右面加上产生项和损失项，即V （ E V B
9、） （7）其中是粒子质量；是产生项，产生项在速度空间积分得到的是离子的产生率G；是损失项，损失项在速度空间积分得到的是离子的损失率L68。（7）式就是完善后的Boltzmann方程，它既适用于气体分子，也适用于等离子体，因而是普适的Boltzmann方程形式。特别需要说明的是：原Boltzmann方程（6）式可以看作是是完善后的普适Boltzmann方程（7）式在 （它对应着GL）情形下的特例，这也是多数常见等离子体所具有的特性，由此可以解释了为什么原Boltzmann方程有些时候可直接应用于等离子体而不需对结果进行修正的原因。5. 结论 严格地说Boltzmann方程应用范围仅是气体分子，要
10、将Boltzmann方程应用于等离子体最好的方法是先对它进行完善。完善后得到的普适Boltzmann方程是在原Boltzmann方程碰撞项的后面加上了产生项和损失项。普适Boltzmann方程是一个既适用于气体分子也适用于全部等离子体的基本方程，它的应用再也不会出现此前Boltzmann方程应用于等离子体时出现的问题。 参考文献1 Francis F.Chen .INTRODUCTION TO PLASMA PHYSICSM. New York ： Plenum Press, 1974 F.F.陈 著，林光海 译. 等离子体物理学导论M . 北京：人们教育出版社，1980. 1362 李定，陈
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13、of Boltzmann equationZHOU JinGangCollege of Physics Science and Technology , Dalian Univ. , Dalian 116622 , ChinaAustrian physicist Boltzmann established the Boltzmann equation which was only applied to gas molecules in 1872. If the equation was applied to plasma without any amendment，the result nee
14、ds to be amended in some circumstances while in others the result needs not to be amended. This paper not only analyzes and explains this phenomenon but also improves and completes the Boltzmann equation. The application of the improved Boltzmann equation will extend to the plasma from the gas molecules.Key words : Boltzmann equation，improvement，plasma ，gas molecules，charged particles6辽宁省教育厅科学研究项目