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1、精选优质文档-倾情为你奉上25.2.1 用列举法求概率（彭小永）一、教学目标（一）学习目标1了解列举法的含义2理解“包含两步并且每一步的结果为有限多个情形”的意义3会用列举法计算简单的随机事件的概率 （二）学习重点用列举法计算简单的随机事件的概率（三）学习难点包含两步的随机事件的概率二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）古典概型试验有两个特点：一次试验中，可能出现的结果有 有限 个；一次试验中，各种结果发生的可能性 大小相同 . （2）列表法求概率：当一次试验要涉及 两个 因素，并且可能出现的结果数目较 少 时，为不重不漏列出所有可能结果，通常采用 列举法 . （3）抛掷一枚质地均匀的硬
2、币，正面朝上的概率是 0.5 ，反面朝上的概率是 0.5 . 2.预习自测（1）甲、乙、丙三人站成一排拍照，则甲站在中间的概率为（ ）A B C D 【知识点】随机事件的概率【解题过程】解：甲有左、中、右三个位置可以选择，所以甲站中间的概率为. 【思路点拨】列举甲站位所有的可能性，找出符合条件的，便可算出其概率. 【答案】B（2）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5，随机抽取3张，用抽到的 3个数字作为边长，恰好构成三角形的概率是（ ）A B C D 【知识点】随机事件的概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：所有的可能结果有：（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，
3、5）、（1，3，4）、（1，3，5）、（1，4，5）、（2，3，4）、（2，3，5）、（2，4，5）、（3，4，5）共10种情况，只有（2，3，4）、（2，4，5）、（3，4，5）三种情况可以构成三角形，所以结果为. 【思路点拨】列举出所有可能的情况，再利用“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，找出符合条件的3组值，便得到答案. 【答案】A（3）从-2、-1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于的一元二次方程的值，则所得的方程有两个不相等的实数根的概率是 .【知识点】概率，根的判别式【解题过程】解：因为方程x2-x+k=0有两个不相等的实根，所以根的判别式，所以，有-
4、2、-1和0满足要求，其概率为. 【思路点拨】弄清一元二次方程有两个不相等实根的条件，找出的取值范围，再计算其概率. 【答案】（4）在一个不透明的袋子中，有两个红球和两个白球，它们只有颜色上区别，从袋子里随机摸出一个球记下颜色后放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 . 【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：设4个球分别为红1、红2、白1、白2，则可列出下表：第二次第一次红1红2白1白2红1（红1，红1）（红1，红2）（红1，白1）（红1，白2）红2（红2，红1）（红2，红2）（红2，白1）（红2，白2）白1（白1，红1）（白1，红2）（白1，白1）（白1，白2）白2（白2，红1
5、）（白2，红2）（白2，白1）（白2，白2）从表中可以看出，在总共16种情况中，只有4种符合要求，所以，所求的概率为. 【思路点拨】用列表的方法便可轻松地找到答案. 如果第一次摸了不放回，则在表格中的从左上到右下这条对角线上的四组数据不会出现. 也就是说，做这种题时，要特别注意第一次摸出后是否放回的问题，它对结果有较大的影响. 【答案】 (二)课堂设计1.知识回顾（1）必然事件、不可能事件发生的概率分别是 1和0 ；随机事件的概率 大于0且小于1 . （2）如果在一次试验中，有n种可能的结果，它们发生的可能性都 相同 ，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= ( ) . 2.
6、问题探究探究一 温故知新，引出课题活动 请思考后，回答下列问题（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪些可能的结果？请写出这些结果. （2）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，有哪些可能的结果？请写出这些结果. （3）“同时抛掷两枚质地均匀的硬币两次”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结果是一样的吗？ 由学生思考后，举手回答. 【设计意图】让学生通过回答前两个问题，初步学会使用列举法解决问题. 探究二 利用列举法求概率，解决实际问题活动 初试列举法例1 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面朝上；（2）两枚硬币全部反面朝上；（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬
7、币反面朝上. 【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：同时抛掷两枚硬币，有以下四种结果：（正，正）、（正、反）、（反，正）、（反、反）（1）由于全部正面朝上的结果（正，正）这只有1种，所以，P（两次正面朝上） ；（2）由于全部反面朝上的结果（反，反）这只有1种，所以，P（两次反面朝上） ；（3）由于一枚正面朝上、一枚反面朝上的结果有（正，反）与（反，正）两种，所以，P（一正一反） . 【思路点拨】排列出所有可能的结果，再找出符合条件的，便可轻松得解. 特别注意试验结果要不重不漏. 【答案】（1）；（2）；（3）. 练习：在一个不透明的盒子里有3个分别标有5、6、7的小球
8、，他们除数字外其他均相同. 充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出一个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为 . 【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：摸出的所有可能结果有：（5，6）、（5，7）、（6，5）、（6，7）、（7，5）、（7，6）共6种情况，它们之和分别为11、12、11、13、12、13共4个奇数和2个偶数，P（两数之和为奇数）【思路点拨】用列举法得出所有可能的结果，找出符合条件的，问题便迎刃而解.特别注意事先摸出的球是否放回对概率的影响，还要注意不重不漏. 【答案】【设计意图】让学生在列举法的使用上熟能生巧. 活动 用列表法求概率例2 同时掷两枚
9、质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两枚骰子的点数相同；（2）两枚骰子的点数和是9；（3）至少有一枚骰子的点数为2.【知识点】用列表法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：两枚骰子分别记为1和2，可用下表列举出所有可能的结果：第1枚第2枚1234561（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3
10、，6）（4，6）（5，6）（6，6）由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现36种结果，并且它们出现的可能性相等. （1）两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6种，分别是（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）、（5，5）、（6，6），所以P（A）=；（2）两枚骰子的点数之和为9（记为事件B）的结果有4种，分别是（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）所以P（B）=；（3）至少有一枚点数为2（记为事件C）的结果有11种（见上表），所以P（C）=.【思路点拨】分横行和纵列将两枚骰子的点数排列出来，计算符合条件的结果即可. 要注意不重不漏. 【答案】（1） ； （2）； （3）练习
11、：有A、B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”“致”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是()A. B. C. D.【知识点】用列表法求概率【解题过程】解：摸球的结果如下：A袋B袋细致信细信致信心细心致心 共有4种可能的结果，且每种结果是等可能性的. 所以抽出“细心”的概率为 . 【思路点拨】用列表法可以轻松得解，注意不重不漏，还要注意摸球讲不讲顺序. 【答案】 . 活动 拓展提高，解答概率综合题例3 有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1、2、3、4，小红随机地抛掷一次，把着地一
12、面的数字记为，另有三张背面完全相同，正面分别写着-2、-1、1的卡片，小亮将其混合，正面朝下旋转在桌面上，并从中抽取一张，把卡片正面的数字记为.然后他们计算出S=x+y的值. 和 -2-111-102201331244235（1）用列表法表示出S的所有可能情况；（2）分别求出当S=0和S2时的概率. 【知识点】用列表法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：（1）列表如右，共12种情况. （2）P（S=0）=； P（S2）. 【思路点拨】用表格将所有情况列举出来，然后找出符合条件的即可轻松得解. 【答案】（1）共有如上表的12种情况. （2）P（S=0）=；P（S2）. 练习：某中学要在
13、全校学生中举办“中国梦我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛. 九年级1班经过投票初选，小亮和小丽票数全班并列第一，现在他们都想代表全班参赛. 经过班长与他们协商决定，用掷骰子的办法让获胜者去参赛. 规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面都是偶数，则小丽胜；否则视为平局，若为平局，继续上述游戏，直到分出胜负为止. 如果小亮和小丽都按上述规则各掷一次骰子，解答下列问题：（1） 小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？（2）该游戏是否公平？请用列表法说明理由. 【知识点】用列表法求概率【解题过程】解：（1）朝上一面的点数为奇数
14、有3种情况，P（奇数）（2）由题意知，可列表如下：1234561（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）由上表可知：共有36种等可能的结果，其中小亮和小丽获胜各有9种结果，P（小亮胜）P（小丽胜）. 【思路点拨】列表法求概率是一种很常见的方法. 【答案】（1）P（奇数）
15、；（2）公平.小亮与小丽获胜的概率同样大（表格见上）. 【设计意图】强化列表法求概率，使其熟练掌握. 3. 课堂总结知识梳理（1）列举法的使用条件：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率 （2）列表法的使用条件：当一次试验要涉及的因素只有两个(我们也常称为两步操作试验)，且每一步的结果为有限多个情形，我们常通过列表的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的结果，再利用公式P（A）求它的概率. （3）使用列举法求概率时，要求做到不重不漏. 重难点归纳（1）只有有限多个情形时，我们可以使用列举法； （2）
16、当一次试验要涉及两个因素（或叫两步），且每一步的结果为有限多个情形，我们可以通过列表法求它的概率； （3）使用列举法求概率时，要求做到不重不漏. （三）课后作业基础型 自主突破1. 为支援灾区，小明准备通过爱心热线捐款，他只记得号码的前5位，后三位由5、1、2这三个数字组成，但具体顺序忘记了他第一次就拨通电话的概率是()A. B. C. D. 【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】5、1、2这三个数字的排列方式有：512、521、125、152、215、251共6种，其中只有一种是正确的，所以，他第一次就拨通电话的概率是. 【思路点拨】用列举法不重不漏地将三个数排列出来是
17、关键. 【答案】C2.在的空格中，分别填上“”或“”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是()A1 B. C. D.【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：方框中符号的填法共有：（+，+）（-，-）、（+，-）、（-，+）4 种，只有 （+，+）与（-，+）2种符合要求，所以能构成完全平方式的概率为. 【思路点拨】记住完全平方式的符号特点，再用列举法排列出所有的情况，便可求得其概率. 【答案】C3.如图所示，每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为_【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：翻动木牌有6种情形，只有两种情况可
18、以中奖，中奖的概率为【思路点拨】找出所有的情形和符合条件的个数即可计算出相应的概率. 【答案】. 4.从2、1、2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是_. 【知识点】用列举法求概率【解题过程】2、1、2这三个数学共有6种排法，分别是（-2，-1）、（-1，-2）、（-2，2）、（-1，2）、（2，-2）、（2，-1），其中只有（2，-2）和（2，-1）在第四象限，其它的均不合要求，所以该点在 第四象限的概率为. 【思路点拨】第四象限的点的横、纵坐标分别为正和负，只有两个点符合条件，其概率为. 【答案】5.将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米如果截成的三段
19、木棍长度分别相同算作同一种截法(如：5，2，1和1，5，2)，那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是_【知识点】用列举法求概率【解题过程】长度为8厘米的木棍截成长为整数的三段，共有5组结果，它们分别是：（1，1，6）、（1，2，5）、（1，3，4）、（2，2，4）、（2，3，3），其中只有（2，3，3）这一种情形能构成三角形，其概率为. 【思路点拨】注意不重不漏；还要注意三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 【答案】 . 6. 小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为()A. B. C. D.【
20、知识点】用列举法求概率小明小华ABA（A，A）（B，A）B（A，B）（B，B）【解题过程】分别将“打扫社区卫生”和“参加社会调查”记为事件A和事件B，则两人的选择有如下情况，同时选择“参加社会调查”（事件B）的只有一种情况，其概率为. 【思路点拨】用表格排列出所有的情况和符合条件的情况，即可求出其概率. 【答案】能力型 师生共研7. 如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数(当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域)，则两次指针指向
21、的数都是奇数的概率为_【知识点】用列表法求概率【思想方法】分类讨论思想【解题过程】解：可列表如右，共有9种可能的情况，其中只有4种情况符合题意，所以P（两次都是奇数）. 1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）【思路点拨】利用表格排列出所有可能的情况，再找出符合题意的即可. 【答案】P（两次都是奇数）. 8. 一个口袋中有4个相同的小球，分别写有字母A、B、C、D，随机地抽取一个小球后放回，再随机抽取一个小球(1)试用列表法列举出两次抽出的球上字母的所有可能结果；(2)求两次抽出的球上字母相同的概率 第1次第2次A BCDA(A，A
22、)(B，A)(C，A)(D，A)B(A，B)(B，B)(C，B)(D，B)C(A，C)(B，C)(C，C)(D，C)D(A，D)(B，D)(C，D)(D，D)【知识点】用列表法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：（1）根据题意，可以列表如右，共有16种可能的结果. （2）因为在总共的16种情况中，只有4种是两个字母相同的情况，所以P（两次的字母相同）. 【思路点拨】利用表格排列出所有可能的情况，再找出符合题意的即可. 【答案】（1）共有16种情况（见上表）； （2）P（两次的字母相同）. 探究型 多维突破9. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转
23、出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色. 求可配成紫色的概率. 【知识点】用列表法求概率【数学思想】数形结合思想【解题过程】红蓝1蓝2红（红，红）（红，蓝1）（红，蓝2）蓝（蓝，红）（蓝，蓝1）（蓝，蓝2）解：由于必须是等可能性的，所以需将第2个转盘的蓝色分成蓝1和蓝2 ，因此可列出右表，从表中可以看出，共有6种等可能情况，有3种可以配成紫色，所以P（配成紫色）. 【思路点拨】只有红配蓝或者蓝配红可以配成紫色；用列表法可以轻松得出所有可能的情况. 【答案】P（配成紫色） . 10. 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡发光(1)任意闭
24、合其中一个开关，小灯泡发光的概率是多少？(2)任意闭合其中的两个开关，小灯泡发光的概率是多少？【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：（1）由电路图可知，闭合开关D可以使灯光发光，只闭合A、B、C三个都不使灯光发光，所以，P（闭合一个开关可发光）. （2）闭合两个开关的情况如表中所示，其中只有开关D闭合的才能让小灯光发光，共有6种情况，所以，P（闭合两个开关可发光）. 第1 个第2个ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）【思路点拨】注意灯泡发光的一个基本条件是连通有电源的电
25、路. 【答案】（1）P（闭合一个开关可发光）；（2）P（闭合两个开关可发光）. 自助餐1.从2、3、4、5中任选两个数，分别记作m、n，那么点（ m，n）在函数图象上的概率为（ ）A B C D【知识点】用列举法求概率【数学思想】函数思想，分类讨论思想【解题过程】.从2、3、4、5中任选两个数作为点的坐标，分别是（2，3）、（2，4）、（2，5）、（3，2）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，5）、（5，2）、（5，3）、（5，4）共有12种情况，在函数图象上的只有（3，4）和（4，3）两个点，所以P（点在函数上）. 【思路点拨】选两个数，相当于选了一个数后，不放回，再选一
26、个数. 选了第一个数后是否放回对结果有直接的影响，务必重视. 【答案】D 2.小强和小华两人玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为（ ）A B C D【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若三个动作分别简记为“石、剪、布”，则两人出手的情况包括：（石，石）、（石，剪）、（石，布）、（剪，石）、（剪，剪）、（剪，布）、（布，石）、（布，剪）、（布，布）九种情况，平局只有3种，所以两人平局的概率为. 【思路点拨】用列举法排出所有可能的情况，指出平局的3种情况，即可得到答案. 【答案】B3.同时抛掷A、B两个小正方体骰子，正面朝上的数字分别记为，并以此确定点
27、P（），那么，点P落在抛物线上的概率为 . 【知识点】用列举法求概率【数学思想】函数思想，数形结合思想【解题过程】解：如下表所示，得到的点共有36种情况，只有（1，2）、（2，2）两个点满足要求，所以，点P在抛物线上的概率为 . x y1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）
28、（6，5）（6，6）【思路点拨】用列表法找出所有的点，再将1、2、3、4、5、6作为变量的值代入函数的解析式，求出的值，找出符合条件的点P，便可轻松得解. 【答案】. 4.甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲任选一个数字，记为m，将它放回后，再由乙任选一个数字，记为n. 若m、n满足，则称两人心有灵犀，那么两人心有灵犀的概率是 . 【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：从下表可知，共有16种可能的情况，符合条件的有10种，其概率为.甲 结果乙012300123110122210133210【思路点拨】用表格排列出所有可能的情况，找出符
29、合条件的情况即可轻松得解. 【答案】 . 5.一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同求下列事件的概率：(1)搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：（1）共有4种情况，摸出红球的概率为；（2）如图，共有16种情况，两次均为红色的只有1种，其概率为. 第1 次第2次红黄蓝白红（红，红）（黄，红）（蓝，红）（白，红）黄（红，黄）（黄，黄）（蓝，黄）（白，黄）蓝（红，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）（白，蓝）白（红，白）（黄，白）（蓝，
30、白）（白，白）【思路点拨】第一次摸出后是否放回对结果有着重大影响. 【答案】（1）摸出红球的概率为；（2）两次均为红色的概率为. 6六一儿童节前夕，某市“关心下一代工作委员会”决定对品学兼优的“留守儿童”进行彰某校八年级8个班中只能选两个班级参加这项活动，且八(1)班必须参加，另外再从其他班级中选一个班参加活动八(5)班有学生建议采用如下的方法：将一个带着指针的圆形转盘分成面积相等的4个扇形，并在每个扇形上分别标有1、2、3、4四个数字，转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加(当指针指在某一条等分线上时视为无效，重新转动)，和为几就选哪个班参加你认为这种方法公平吗？请说明理由 【知识点】用列表
31、法求概率【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：我认为这个方法不公平，理由如下：我们可以用下表列出所有可能的情况. 两次得到的数字之和分别为2、3、4、5、3、4、5、6、4、5、6、7、5、6、7、8共16种情况. 所以，八(2)班被选中的概率为，八(3)班被选中的概率为，八(4)班被选中的概率为，八(5)班被选中的概率为，八(6)班被选中的概率为，八(7)班被选中的概率为，八(8)班被选中的概率为，所以这种方法不公平. 第1 次 和第2次123412345234563456745678【思路点拨】用列表法将所有可能的情况排列出来，算出各个班被选中的概率，通过比较确定是否公平. 【答案】这种方法不公平，理由如上. 专心-专注-专业