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1、精选优质文档-倾情为你奉上1.1.1正弦定理（教师版）1新课引入我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边角关系准确量化的表示呢？思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系如何？在中，思考：对于一般三角形，上述结论是否成立？ （1）若三角形是锐角三角形分析：过点C作CDAB于D, 此时有，所以CD=asinB=bsinA, 即，同理可得，（2）若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?2正弦定理正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等即证明：（外接圆法）作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/, ，同理，3对正弦定理的理解（1）正弦定理说明
2、同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，该正数为，（2）正弦定理的基本作用为：已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.已知两角和一边，求其他角和边.（3）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形4正弦定理的常见公式变形(1)abcsinAsinBsinC； (2)，；(3)； (4)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(5)sinA，sinB，sinC； (6)ABab2RsinA2RsinBsinAsinB.5三角形的面积公式：证明：过点C作CDAB于D，此时有，同理可得 典型例题考点1：已知两角和任意边，求其他
3、两边和一角（唯一解）【例1】在中，已知，解三角形分析：可先由ABC180求出角C，再用正弦定理求出b和c.解：由题意，由正弦定理，得，解得：，变式1（1）在ABC中，已知A45，B30，c10，求b.（2）在中，已知，cm，解三角形解析：（1）ABC180，C1804530105，sinCsin105sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin30.，b5()（2）由题意，由正弦定理，得，解得：，考点2：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角（解的情况：无解、一解、两解） 【例2】在ABC中，求，和解答：ABC中，利用正弦定理可得：，C(0,)，或当时，；当时，变式2（1）
4、已知ABC中，a4，b8，A30，则B等于 （2）在解答：ABC中，利用正弦定理可得：，C(0,)，变式3在ABC中，已知a，b2，A30，解这个三角形分析：本题考查正弦定理，已知两边和其中一边的对角，求另外的边和角，可利用正弦定理结合三角形内角和定理解决解析：由，得sinB.aA30，B为锐角或钝角，B45或B135.(1)当B45时，C180(AB)180(3045)105.，c1.(2)当B135时，C180(AB)180(30135)15.c1.综上可得B45，C105，c1或B135，C15，c1.考点3讨论三角形解的个数已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，要注意根据两边和其
5、中一边的对角之间的关系对三角形解的个数进行判断，可能有一解、两解或无解，否则可能导致错误在ABC中，已知a，b，A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与除去顶点A的射线AB交点的个数即为三角形解的个数，其解的情况如下表：A为锐角A为钝角或直角图形关系absinAabsinAbsinAab解的个数012101【例3】 在ABC中，分别根据下列条件指出解的个数(1)a4，b5，A30； (2)a5，b4，A60；(3)a，b，B120； (4)a，b，A60.解析：(1)ab，bsinA4a，bsinAab，A90，BA90，ab，无解(4)ab，bsinA，a0)，判断此三角形解的个数解析：由于
6、b是不确定的边长，无法知道a与b的大小关系，即无法判断B是锐角还是钝角，这就需要对x的取值进行分类讨论解法一：当0x4时，由大边对大角知B为锐角，sinB，此时三角形有唯一解当4x8时，sinB，sinB8时，sinB1，B无解，此时ABC无解综上可知：当0x4或x8时，ABC有一解；当4x8时，ABC无解解法二：A30，是锐角，分三种情况：当absinA或ab，即4xsin30或4x，即x8或0x4时，三角形有一解当xsin304x，即4x8时，三角形有两解当48时，三角形无解综上可知，当0x4或x8时，ABC有一解；当4x8时，ABC无解.考点4正弦定理性质的应用例4在中，已知，的值是（
7、A ） A B C D解析：由，选A例5在ABC中，若，则ABC是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形解析：由，sinAcosBcosAsinB0，sin(AB)0，AB0，AB，即为等腰三角形答案：A变式5在ABC中，ABC411，则abc()A411 B211 C.11 D.11解析：ABC180，ABC411，A120，B30，C30.由正弦定理的变形公式，得abcsinAsinBsinCsin120sin30sin3011.故选D.变式6在中，若，则等于（ D ）A B C D变式7在中，一定成立的等式是（ C ）A B. C. D.变式8. 在中，若，
8、试判断的形状. 【解析】等腰三角形或直角三角形 当堂检测1已知ABC中，A，则= 2 2在中，若， 则3已知ABC中，ABC114，则abc等于（ C ）.A114 B112 C11 D224在ABC中，若，则与的大小关系为（ A ）.A. B. C. D. 的大小关系不能确定5在中，若，则是（ B ）.A等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形 C直角三角形 D等边三角形6在中，若，则是 等边三角形 7. 已知ABC中，AB6，A30，B，解此三角形解：C18030=30，由正弦定理，解得BC6，.考点5三角形面积公式的应用【例6】在ABC中，已知A30，a8，b8，求ABC的面积解析：由，得s
9、inBsinA，sinBsin30.又8sin3088，即bsinAab，三角形的解有两种情况sinB，B60或120，C90或30.SABCabsinC88sin9032或SABC88sin3016，ABC的面积为32或16.练习1在ABC中，已知b=1，c=3，A=600，则SABC= 。2在ABC中，AB2，BC5，ABC的面积为4，则cosABC等于(B)A. B C D解析：由SABBCsinABC，得425sinABC，sinABC，从而cosABC.答案：B【例7】 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tanA3，cosC.(1)求角B的大小(2)若c4，求ABC的
10、面积解析：(1)cosC，sinC，tanC2.又tanBtan(AC)1，且0B，B.(2)由正弦定理，得b，由sinAsin(BC)sin，得sinA，ABC的面积SABCbcsinA6.1在中，下列等式总能成立的是（ D ） A B C D2在中，已知，C=75，则等于（ C ） ABCD3在中，A=60，则角B等于（ C ） A45或135B135C45D以上答案都不对4根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ D ） A，有两解B，有一解 C，无解D，有一解5已知中，则c等于（ B ） ABCD6在中，已知，则此三角形是（ D ） A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D直角或
11、等腰三角形7在中，已知，如果利用正弦定理，三角形有两解，则的取值范围是（ A ） A2C2D028三角形两边之差为2，夹角的余弦值为该三角形的面积为14，则这两边分别为（ C ） A3和5B4和6C5和7D6和89在中，则_10在中，若，则c= 4 ， 11在中，已知，则等于 7:5:3 12在中，则三角形的面积等于 13已知在中，A=45，求其他边和角解析：由正弦定理：，即，解得，所以 ，所以C=60或C=120，当C=60，B=75，当C=120，B=15，14在ABC中，已知c=10cm,A=45,C=30求 a , b .解：B1804530=105，由正弦定理，解得，.15在ABC中
12、，已知b3，c3，B30，判断ABC的形状解析：由csinB3，即csinBbc，故此题有两解由正弦定理，得sinC.C60或C120.当C60时，A180(BC)90，ABC为直角三角形；当C120时，A180(BC)30B，ABC为等腰三角形.16在ABC中，sin(CA)1，sinB.(1)求sinA的值；(2)设AC，求ABC的面积解析：(1)sin(CA)1，CA，CA.ABC，ABA，B2A，sinBsincos2A，12sin2A，sin2A，sinA.(2)由(1)知，A为锐角，cosA，sinCsincosA.由正弦定理，得AB6，SABCABACsinA63.1.1.1正弦
13、定理（学生版）1新课引入我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边角关系准确量化的表示呢？思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系如何？在中，思考：对于一般三角形，上述结论是否成立？ （1）若三角形是锐角三角形分析：过点C作CDAB于D, 此时有，所以CD=asinB=bsinA, 即，同理可得，（2）若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?2正弦定理正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等即证明：（外接圆法）作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/, ，同理，3对正弦定理的理解（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且
14、比例系数为同一正数，该正数为，（2）正弦定理的基本作用为：已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.已知两角和一边，求其他角和边.（3）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形4正弦定理的常见公式变形(1)abcsinAsinBsinC； (2)，；(3)； (4)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(5)sinA，sinB，sinC； (6)ABab2RsinA2RsinBsinAsinB.5三角形的面积公式：证明：过点C作CDAB于D，此时有，同理可得 典型例题考点1：已知两角和任意边，求其他两边和一角（唯一解）【例1】在中，已知，
15、解三角形分析：可先由ABC180求出角C，再用正弦定理求出b和c.变式1（1）在ABC中，已知A45，B30，c10，求b.（2）在中，已知，cm，解三角形考点2：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角（解的情况：无解、一解、两解） 【例2】在ABC中，求，和变式2（1）已知ABC中，a4，b8，A30，则B等于 （2）在变式3在ABC中，已知a，b2，A30，解这个三角形分析：本题考查正弦定理，已知两边和其中一边的对角，求另外的边和角，可利用正弦定理结合三角形内角和定理解决考点3讨论三角形解的个数已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，要注意根据两边和其中一边的对角之间的关系对三角形解的
16、个数进行判断，可能有一解、两解或无解，否则可能导致错误在ABC中，已知a，b，A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与除去顶点A的射线AB交点的个数即为三角形解的个数，其解的情况如下表：A为锐角A为钝角或直角图形关系absinAabsinAbsinAab解的个数012101【例3】 在ABC中，分别根据下列条件指出解的个数(1)a4，b5，A30； (2)a5，b4，A60；(3)a，b，B120； (4)a，b，A60.变式4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a4，A30，bx(x0)，判断此三角形解的个数解析：由于b是不确定的边长，无法知道a与b的大小关系，即无法判断B是锐角
17、还是钝角，这就需要对x的取值进行分类讨论考点4正弦定理性质的应用例4在中，已知，的值是（ ） A B C D例5在ABC中，若，则ABC是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形变式5在ABC中，ABC411，则abc()A411 B211 C.11 D.11变式6在中，若，则等于（ D ）A B C D变式7在中，一定成立的等式是（ C ）A B. C. D.变式8. 在中，若，试判断的形状. 当堂检测1已知ABC中，A，则= 2在中，若， 则3已知ABC中，ABC114，则abc等于（ ）.A114 B112 C11 D224在ABC中，若，则与的大小关系为（
18、）.A. B. C. D. 的大小关系不能确定5在中，若，则是（ ）.A等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形 C直角三角形 D等边三角形6在中，若，则是 7. 已知ABC中，AB6，A30，B，解此三角形考点5三角形面积公式的应用【例6】在ABC中，已知A30，a8，b8，求ABC的面积练习1在ABC中，已知b=1，c=3，A=600，则SABC= 。2在ABC中，AB2，BC5，ABC的面积为4，则cosABC等于( )A. B C D【例7】 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tanA3，cosC.(1)求角B的大小(2)若c4，求ABC的面积1在中，下列等式总能成立的是（
19、 ） A B C D2在中，已知，C=75，则等于（ ） ABCD3在中，A=60，则角B等于（ ） A45或135B135C45D以上答案都不对4根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A，有两解B，有一解 C，无解D，有一解5已知中，则c等于（ ） ABCD6在中，已知，则此三角形是（ ） A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D直角或等腰三角形7在中，已知，如果利用正弦定理，三角形有两解，则的取值范围是（ ） A2C2D028三角形两边之差为2，夹角的余弦值为该三角形的面积为14，则这两边分别为（ ） A3和5B4和6C5和7D6和89在中，则_10在中，若，则c= ， 11
20、在中，已知，则等于 12在中，则三角形的面积等于 13已知在中，A=45，求其他边和角14在ABC中，已知c=10cm,A=45,C=30求 a , b .15在ABC中，已知b3，c3，B30，判断ABC的形状16在ABC中，sin(CA)1，sinB.(1)求sinA的值；(2)设AC，求ABC的面积学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么
21、简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十
22、次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，
23、要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自
24、己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信
25、息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗
26、憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，
27、将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念
28、影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进
29、了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法我
30、觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。专心-专注-专业