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1、精选优质文档-倾情为你奉上无穷级数总结一、 概念与性质1. 定义:对数列,称为无穷级数,称为一般项;若部分和 数列有极限,即,称级数收敛,否则称为发散.2. 性质设常数,则与有相同的敛散性;设有两个级数与,若,则;若收敛,发散,则发散;若,均发散,则敛散性不确定;添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性;设级数收敛,则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和注:一个级数加括号后所得新级数发散,则原级数发散;一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定级数收敛的必要条件:;注:级数收敛的必要条件,常用判别级数发散;若,则未必收敛;若发散,则未必成立二、 常数项级数审敛法1. 正项级数及其审敛法
2、 定义:若,则称为正项级数. 审敛法:(i) 充要条件:正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.(ii) 比较审敛法:设与都是正项级数,且,则若收敛则收敛;若发散则发散.A. 若收敛,且存在自然数,使得当时有成立,则收敛;若发散,且存在自然数,使得当时有成立,则发散;B. 设为正项级数,若有使得,则收敛;若,则发散.C. 极限形式:设与都是正项级数,若,则 与有相同的敛散性.注:常用的比较级数:几何级数:;级数:; 调和级数:发散(iii)比值判别法(达郎贝尔判别法)设是正项级数,若 ,则收敛;,则发散注:若,或,推不出级数的敛散.例与,虽然,但发散,而收敛.(iv)根值判别法(柯西判别
3、法)设是正项级数,若,级数收敛,若则级数发散(v)极限审敛法:设,且,则且,则级数发散;如果,而,则其收敛(书上P317-2-(1)注:凡涉及证明的命题,一般不用比值法与根值法,一般会使用比较判别法正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件,是充分非必要条件2.交错级数及其审敛法定义:设,则称为交错级数.审敛法:莱布尼兹定理:对交错级数,若且,则收敛.注:比较与的大小的方法有三种:比值法,即考察是否小于1;差值法,即考察是否大于0;由找出一个连续可导函数,使考察是否小于03.一般项级数的判别法:若绝对收敛,则收敛.若用比值法或根值法判定发散,则必发散.三、 幂级数1. 定义:称为幂
4、级数.2. 收敛性 阿贝尔定理:设幂级数在处收敛,则其在满足的所有处绝对收敛反之,若幂级数在处发散,则其在满足的所有处发散 收敛半径(i)定义:若幂级数在点收敛,但不是在整个实轴上收敛,则必存在一个正数,使得当时,幂级数收敛;当时,幂级数发散;称为幂级数的收敛半径.(ii)求法:设幂级数的收敛半径为,其系数满足条件,或,则当时,;当时,当时,注:求收敛半径的方法却有很大的差异前一个可直接用公式,后一个则须分奇、偶项(有时会出现更复杂的情况)分别来求在分成奇偶项之后,由于通项中出现缺项,由此仍不能用求半径的公式直接求,须用求函数项级数收敛性的方法(iii)收敛半径的类型A.,此时收敛域仅为一点;
5、B.,此时收敛域为;C.=某定常数,此时收敛域为一个有限区间3.幂级数的运算(略)4.幂级数的性质若幂级数的收敛半径,则和函数在收敛区间内连续若幂级数的收敛半径,则和函数在收敛区间内可导,且可逐项求导,即,收敛半径不变若幂级数的收敛半径,则和函数在收敛区间内可积,且可逐项积分,即,收敛半径不变5.函数展开成幂级数若在含有点的某个区间内有任意阶导数,在点的阶泰勒公式为,记,介于之间,则在内能展开成为泰勒级数的充要条件为.初等函数的泰勒级数(i);(ii);(iii);(iv);(v);(vi);.6. 级数求和幂级数求和函数解题程序(i)求出给定级数的收敛域;(ii)通过逐项积分或微分将给定的幂
6、级数化为常见函数展开式的形式(或易看出其假设和函数与其导数的关系),从而得到新级数的和函数;注:系数为若干项代数和的幂级数,求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和,然后分别求出它们的和函数,最后对和函数求代数和,即得所求级数的和函数数项级数求和(i)利用级数和的定义求和,即,则,其中根据的求法又可分为:直接法、拆项法、递推法A.直接法:适用于 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列;B.拆项法:把通项拆成两项差的形式,在求项和时,除首尾两项外其余各项对消掉(ii)阿贝尔法(构造幂级数法),其中幂级数,可通过逐项微分或积分求得和函数因此四、 傅里叶级数1. 定义定义1:设是以为周期的
7、函数,且在或上可积,则, , 称为函数的傅立叶系数定义2:以的傅立叶系数为系数的三角级数 称为函数的傅立叶级数,表示为定义3:设是以为周期的函数,且在上可积,则以 ,为系数的三角级数 称为的傅立叶级数,表示为2.收敛定理(狄里赫莱的充分条件)设函数在区间上满足条件除有限个第一类间断点外都是连续的;只有有限个极值点,则的傅立叶级数在上收敛,且有.3.函数展开成傅氏级数周期函数(i)以为周期的函数:,;注:若为奇函数,则(正弦级数), ; 若为偶函数,则(余弦级数), .(ii)以为周期的函数:+,;注:若为奇函数,则(正弦级数), ; 若为偶函数,则,(余弦级数), .非周期函数(i)奇延拓:A.为上的非周期函数,令,则除外在上为奇函数,(正弦级数), ;B. 为上的非周期函数,则令,则除外在上为奇函数,(正弦级数), .(ii)偶延拓:A.为上的非周期函数,令,则除外在上为偶函数,(余弦级数),.B.为上的非周期函数,令,则(余弦级数), .注:解题步骤:画出图形、验证狄氏条件画图易于验证狄氏条件,易看出奇偶性;求出傅氏系数;写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于专心-专注-专业