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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第6讲最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路一、轨迹之圆篇【练习1】引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M
2、点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AOQ点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系1引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQAP且AQ=AP考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑APAQ，可得
3、Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM引例：如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为22【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比
4、是定量（AP:AQ是定值）【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”3【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边APQ考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）PAQ=60；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑PAQ=60，可得Q点轨迹圆圆心M满足MAO=60；考虑A
5、P=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角APQ考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）PAQ=45；（2）AP:AQ=2：1，故Q点轨迹是个圆连接AO，构造OAM=45且AO:AM=2：1M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有AOPAMQ即可确定点Q的轨迹圆4【练习】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8
6、,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可5【2016武汉中考】【练习2】如图，在等腰RtABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为_【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：取AB中点O，连接CO取CO中点D，以
7、D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题【2018南通中考】【练习3】如图，正方形ABCD中，AB=25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF，连接AE、CF求线段OF长的最小值【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆6考虑DEDF且DE=DF，故作DMDO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小可构造三
8、垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值7二、轨迹之线段篇【练习4】引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线【引例】如图，APQ是等腰直角三角形，PAQ=90且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形当确定轨迹是线段的时候，
9、可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段8【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于PAQ（当PAQ90时，PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）【2017姑苏区二模】【练习5】如图，在等边ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边DPF，当点P从点E运动到点A时，
10、点F运动的路径长是_【分析】根据DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为89【练习6】如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是_【分析】点F轨迹为线段AC，可以知道E点的轨迹同样为线段，作DGAC，将DG逆时针旋转60时恰好与DC重合，过点E作DC的垂线EH，即E的路径在此垂线上。相似比DE1=AF2且F点的路径为AC=833E的路径为143AC=23【2019宿迁中考】【练习7
11、】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为10【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在G1位置，最终G点在G2位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹CG最小值即当CGG1G2的时候取到，作CHG1G2于点H，CH即为所求的最小值根据模型可知：G1G2与AB夹角为60，故G1G2EG1过点E作EFCH于点
12、F，则HF=513CE=G1E=1，CF=22，5所以CH=2，因此CG的最小值为211三、轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是【2016乐山中考】2y=-【练习8】如图，在反比例函数x的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于ky=点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数x的图像上运动，若tanCAB=2，则k的值为（）A2B4C6D8【分析】AOC=90且AO:OC=1:2，显然点
13、C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证AMOONC，CN=2OM，ON=2AM，ONCN=4AMOM，故k=42=812【思考】若将条件“tanCAB=2”改为“ABC是等边三角形”，k会是多少？【练习】如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角OPQ，当点P在ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为_【分析】根据OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ=2:1，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为2:1，故面积比为2:1，ABC面积为1/234=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图13【练习】如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为_【分析】固定AB不变，AC=2，则C点轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，则D点轨迹是以点M为圆心、2为半径的圆考虑到AP=2AD，故P点轨迹是以N为圆心，22为半径的圆，即可求出PB的取值范围14