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1、精选优质文档-倾情为你奉上三角函数三角比课 题任意角三角比三角恒等式解斜三角形考点及考试要求角的概念的推广弧度制任意角的三角比单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切正弦定理、余弦定理教学内容任意角三角比一、知识点梳理:1.1任意角和弧度制2.象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。3.角的集合: 与(0360)终边相同的角的集合:终边在x轴上的角的集合: 终边在y轴上的角的集合:终边在
2、坐标轴上的角的集合: 终边在y=x轴上的角的集合: 终边在轴上的角的集合:若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:若角与角的终边关于y轴对称,则与角的关系:若角与角的终边在一条直线上,则与角的关系:角与角的终边互相垂直,则与角的关系:4角度制:在平面几何里,把周角分成360等分,每一份叫做1度的角,这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制。5弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。符号rad表示,读作弧度。用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。 如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l,那么比值就是角的弧度数的绝对值,即:6. 弧长公式: 扇形面积公式:1.2
3、任意角的三角比1. 任意角的三角比:在任意角的终边上任取一点P(异于原点),设P的坐标为,OP= r,则。规定: 。当时,角的终边在y轴上,这时点P的横坐标x等于0,无意义。除此之外,对于确定的角,上述三个三角比值都是唯一确定的。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关。还规定:。2三角函数线正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.3三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)4. 特殊角的三角比二、典型例题【例1】角的终边与的终边关于直线y=x对称,则=_。(答:)【例2】若角是第二象限角,则是第_象限角。(答:一、三)【例3】已知扇形AOB的周长是6,该扇形的中心
4、角是1弧度,求该扇形的面积。(答:2)【例4】已知角的终边经过点P(5,12),则的值为_。(答:)【例5】角是第三、四象限角,则m的取值范围是_。(答:(1,)【例6】若,试判断的符号(答:负)【例7】若,则的大小关系为_。(答:)【例8】若为锐角,则的大小关系为_。(答:)单位圆:三角形的面积扇形的面积直角三角形的面积【例9】函数的定义域是_。(答:)三角恒等式一、知识点梳理:1.3同角三角比的关系和诱导公式1. 同角三角比的关系:倒数关系:,商数关系:,平方关系:,解题思想:(1)平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换。(2)利用直角三角形计算三角比,利用象限确定符号。 (3
5、)如果角的一个三角比和它所在的象限,那么角的其他三角比就可以唯一确定。 (4)如果仅知道角的一个三角比,那么就应根据角的终边的所有可能的情况分别求出其他三角比。2. 诱导公式:本质-把角写成形式,口诀:奇变偶不变(对而言,指取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把看成是锐角)。对于任意角的三角比,利用诱导公式总可以转化成锐角的三角比,转化的一般途径是:。从任意角到锐角的转化途径不是唯一的。 第一组诱导公式: 第二组诱导公式: 第三组诱导公式: 第四组诱导公式: 第五组诱导公式: 第六组诱导公式:3. 两角和与差的余弦、正弦和正切:两角差的余弦公式:两角和的余弦公式:两角和的正弦公式:两角
6、差的正弦公式:两角和的正切公式:两角差的正切公式:,其中(通常取)由,确定。4. 二倍角与半角的正弦、余弦和正切: 二倍角的正弦公式:二倍角的余弦公式:二倍角的正切公式:半角的余弦公式:半角的正弦公式:半角的正切公式:,万能置换公式:,二、典型例题: 三角比的化简、计算和证明恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系,注意注意角的一些常用变式,角的变换是三角比变换的核心!其次看三角比名称之间的关系,通常“切化弦”。再次观察代数式的结构特点。基本技巧有:(1)巧变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。例如:, ,等等。【例1
7、】 已知,那么 _(答:)【例2】 已知,且,则_(答:)(2)三角比名称互化(切化弦):【例3】求值(答:1)(3)公式变形使用:【例4】已知A、B为锐角,且满足,则_(答:)(4)三角比次数的升降:本质-倍角公式和半角公式【例5】若,化简为_(答:)(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同):【例6】求证:(6)常值变换-主要指“1”的变换:【例7】已知,求(答:)(7)正余弦“三兄妹”-“,”:知一求二【例8】若,则= _(答:);特别提醒:这里(8)辅助角公式: (其中角所在的象限由a, b的符号确定,角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。【例9】若方程有实数解,则c的取
8、值范围是_.(答:2,2)三、课堂练习:1若,则使成立的的取值范围是_(答:)2已知,则_(答:)3已知,则_;_(答:;)4已知,则_(答:B)A、B、C、D、5的值为_(答:)6已知,则,若为第二象限角,则=_。(答:;)7命题P:,命题Q:,则P是Q的_(答:C)A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件8已知,那么(答:)9 _(答:4)10已知为锐角,,,则与的函数关系为_巧变角(答:)11已知,求(答:)切化弦12设中,则此三角形是_三角形(答:等边)公式变形使用13函数的单调递增区间为_三角比次数的升降(答:)14化简:(答:)式子结构的转化15若,
9、求的值。(答:)正余弦三兄妹16已知 ,试用k表示的值(答:)正余弦三兄妹17当函数取得最大值时,的值是_(答:) 辅助角公式18如果是奇函数,则= (答:2) 辅助角公式19求值:_(答:32)辅助角公式斜三角形一、知识点梳理:1.4正弦定理和余弦定理: 三角形面积公式: 正弦定理:(R为的外接圆半径) 余弦定理:,解题思想:采用“边”化“角”或“角”化“边”的思想二、典型例题:【例1】在ABC中,A45,B60,a2,则b等于()A.B. C. D2解析:选A.应用正弦定理得:,求得b.【例2】在ABC中,若,则ABC是()A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形
10、解析:选D.,sinAcosAsinBcosB,sin2Asin2B即2A2B或2A2B,即AB,或AB.【例3】在ABC中,如果BC6,AB4,cosB,那么AC等于()A6B2C3D4解析:选A.由余弦定理,得AC 6.【例4】在ABC中,BCa,ACb,a,b是方程x22x20的两根,且2cos(AB)1,求AB的长解:ABC且2cos(AB)1,cos(C),即cosC.又a,b是方程x22x20的两根,ab2,ab2.AB2AC2BC22ACBCcosCa2b22ab()a2b2ab(ab)2ab(2)2210,AB.三、课堂练习:1在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若
11、a2,sincos,sin Bsin Ccos2,求A、B及b、c.解:由sincos,得sinC,又C(0,),所以C或C.由sin Bsin Ccos2,得sin Bsin C1cos(BC),即2sin Bsin C1cos(BC),即2sin Bsin Ccos(BC)1,变形得cos Bcos Csin Bsin C1,即cos(BC)1,所以BC,BC(舍去),A(BC).由正弦定理,得bca22.故A,B,bc2.2ABC中,ab60,sin Bsin C,ABC的面积为15,求边b的长解:由Sabsin C得,1560sin C,sin C,C30或150.又sin Bsin
12、C,故BC.当C30时,B30,A120.又ab60,b2.当C150时,B150(舍去)故边b的长为2.3在ABC中,BC,AC3,sin C2sin A.(1)求AB的值;(2)求sin(2A)的值解:(1)在ABC中,由正弦定理,得ABBC2BC2.(2)在ABC中,根据余弦定理,得cos A,于是sin A.从而sin 2A2sin Acos A,cos 2Acos2 Asin2 A.所以sin(2A)sin 2Acoscos 2Asin.4在ABC中,已知(abc)(abc)3ab,且2cos Asin BsinC,确定ABC的形状解:由正弦定理,得.由2cos Asin Bsin
13、C,有cosA.又根据余弦定理,得cos A,所以,即c2b2c2a2,所以ab.又因为(abc)(abc)3ab,所以(ab)2c23ab,所以4b2c23b2,所以bc,所以abc,因此ABC为等边三角形【学生总结】:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【教师寄语】:春天是碧绿的天地,秋天是黄金的世界。愿你用青春的绿色去酿造未来富有的金秋!【数学小笑话】解 题 数学课上。老师说:“一座殿堂位于山的最高处。通向殿堂的路上有5个平台。平台与平台之间有20级台阶。孩子们若要到达殿堂需要登上多少级台阶呢?”“要登上所有的!”小卡洛尔赶忙回答。专心-专注-专业