《2022年北京邮电大学数学分析期末考试1月.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年北京邮电大学数学分析期末考试1月.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料北京邮电大学2015-2016 学年第一学期数学分析（上）考试卷考试注意事项：考生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效一. 填空题（本大题共10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1. 设220ac，则20sin(1cos )lim(1)ln(1)xxaxbxc edx; 2. 0201|sin |arctanlimxxtdttx_; 3.设函数3211txeydtt的反函数为( )xg y，则(0)g_; 4. 设函数( )yy x由参数方程20ln(1)costxtyu du确定，则220td ydx. 5. 曲线1xyxe的斜渐近线方程为_
2、 ；6. sinsincosxdxxx_; 7. 32420sin(| sin|)cos2xx dxxsin x. 8. 设( )f x连续，满足0( )2( )21xf xf t dtx，则10( )fx dx_; 9. 2lnexdxx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料10. 设211()23xxyexe是 二 阶 常 系 数 非 线 性 微 分 方 程xyaybyce的一个特解，则：_
3、. ( )3,2,1A abc；( )3,2,1B abc()3,2,1C abc；()3,2,1D abc。二 （9 分）. 求函数arctan(1)xyxe的单调区间、极值；函数图形的拐点。三 （每小题6 分，共 12 分） . （ 1）设函数( )yy x由方程211ln(1)ytedtx确定，求220 xd ydx；（ 2）设( )f x连续且(0)0f，求12000()lim()xxxf xt dtt f xt dt。四.(8分 ). 求出两个多项式( )P x、( )Q x，使得432(21)cos(831)sin ( )cos( )sinxxxxxx dxP xxQ xxC其中C
4、为任意常数。五.(8分 ).设( )f x，( )g x在0,1上有一阶连续导数，(0)0f，( )0fx，( )0g x，证明：对0,1a，100( ) ( )( )( )( ) (1)afx g x dxf x gx dxf a g。六.(9分 ).求微分方程22sinyyyx的通解。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料七.(8分 ). 已知曲线xye及其过原点的切线L、y轴所围图形为D，求(
5、1) 切线 L 的方程，图形D 的面积；(2) 图形 D 绕直线1x旋转一周所得旋转体的体积。八 . （ 6 分） .设,上连续函数( )f x是周期函数，周期为T，且( )0f x，证明：00( )( )limxTxf t dtf t dtxT。九. 附加题（ 6 分） .设( )f x在0,1上二阶连续可导，且(0)(1)ff，证明：存在0,1，使得1011( )(0)(1)( )224f x dxfff。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - -
6、 - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料北京邮电大学2015-2016 学年第一学期数学分析（上）考试卷参考答案考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效一. 填空题（本大题共10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1. 设220ac，则20sin(1cos )lim(1)ln(1)xxaxbxc edx; 填：ac2. 0201|sin |arctanlimxxtdttx_; 填：43.设函数3211txeydtt的反函数为( )xg y，则(0)g_; 填：23e4. 设函数( )yy x由参数方程20ln(1)costxtyu du确定，则220td y
7、dx. 填：15. 曲线1xyxe的斜渐近线方程为_ ；填：1yx6. sinsincosxdxxx_; 填：1(ln |sincos |)2xxxC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料7. 32420sin(| sin|)cos2xx dxxsin x. 填： 4 8. 设( )f x连续，满足0( )2( )21xf xf t dtx，则10( )fx dx_; 填：2e9. 2lnexdxx
8、. 填：2e10. 设211()23xxyexe是 二 阶 常 系 数 非 线 性 微 分 方 程xyaybyce的一个特解，则：_. ( )3,2,1A abc；( )3,2,1B abc()3,2,1C abc；()3,2,1D abc。填： (A) 二 （9 分）. 求函数arctan(1)xyxe的单调区间、极值；函数图形的拐点。解：arctan2(1)1xxxyex，令0y，1,0 xx(2 分) 函数在(, 1)，(0,)上单调增加；在( 1,0)上单调减少。(4 分) 函数在1x处取极大值42e；函数在0 x处取极小值 -1。(6 分) arctan2231(1)xxyex，令0
9、y，13x；当13x时，0y；当13x时，0y；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料拐点1arctan314(,)33e。(9 分) 三 （每小题6 分，共 12 分） . （1）设函数( )yy x由方程211ln(1)ytedtx确定，求220 xd ydx；解： 对方程两边求导:2(1)11yeyx，2(1)11yyex；22(1)(1)2112(1)(1)1yyyeeyyxx(4 分)当0
10、 x时2y；0 xye，202xyee。(6 分) （2）设( )f x连续且(0)0f，求12000()lim()xxxf xt dtt f xt dt。解：原式 =0000000( )( )limlim( )( )( )xxxxxxxxf u duxf u duxuf u duxf u duuf u du(3 分) 000( )( )lim( )xxxf u duxfxf u du0( )( )lim2( )xfxxf xfx，(0 x) (6 分) 四.(8分 ). 求出两个多项式( ),( )P xQ x，使得432(21)cos(831)sin ( )cos( )sinxxxxxx
11、dxP xxQ xxC, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料其中C为任意常数。解：左边 =42(21)sin(31)sinxxxxxdx(3 分) 42(21)sin(31)cos(23)cosxxxxxxxdx42(21)sin(31)cos(23)sin2sinxxxxxxxxdx42(21)sin(31)cos(23)sin2cosxxxxxxxxC24(31)cos(222)sinxxx
12、xxxC故2( )31P xxx，4( )222Q xxx。(8 分)解法 2 由432( )cos( )sin(21)cos(831)sinP xxQ xxxxxxxx得4( )( )21P xQ xx，32( )( )831QxP xxxx；(4 分) 于是2( )( )31PxP xxx，令2( )P xaxbxc，代入得22231aaxbxcxx，1,3,1abc；故2( )31P xxx，4( )222Q xxx。(8 分) 五.(8分 ).设( )f x，( )g x在0,1上有一阶连续导数，(0)0f，( )0fx，( )0g x，证明：对0,1a，100( ) ( )( )(
13、)( ) (1)afx g x dxf x gx dxf a g。证明： 令100( )( )( )( )( )( )(1)xF xft g t dtf t g t dtf x g；（2 分）( )F x在0,1上有一阶连续导数，且精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料( )( )( )(1)Fxfxg xg；(4 分) 因为( )0fx，( )0gx，所以( )f x，( )g x在0,1上单调增
14、加；0,1x，( )(1)g xg，从而( )0Fx，( )F x在0,1上单调减少；对0,1a，1100( )(1)( ) ( )( )( )(1) (1)0F aFft g t dtf t g t dtfg；即100( ) ( )( )( )( ) (1)afx g x dxfx g x dxf a g(8 分) 六.(9分 ).求微分方程22sinyyyx的通解。解 ： 对 应 的 齐 次 方 程20yyy的 特 征 方 程220rr，121,2rr，齐次方程的通解212xxyc ec e；（3 分）方程122yyy的特解形式为*1ya，代入得14a； （5 分）方程12cos22yyy
15、x的特解形式为*2cos2sin2yAxBx，代入得( 4cos24sin 4 )( 2sin 22cos2 )2(cos2sin 2 )AxBxAxBxAxBx1cos22x；1622AB，260AB；31,4040AB；*231cos2sin24040yxx；通解为*21212131cos2sin244040 xxyyyyc ec exx。（9 分）七.(8分 ). 已知曲线xye及其过原点的切线L、y轴所围图形为D，求精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - -
16、- - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料(1) 切线 L 的方程，图形D 的面积；(2) 图形 D 绕直线1x旋转一周所得旋转体的体积。解： (1) 设切点00,xx e切线方程为000()xxyeexx，因为切线过原点，所以01x所以切线方程为(1)yee xyex；(2 分) 图形 G 的面积10()12xeeex dx(5 分) (2) 对任意 ,0,1x xdx，2 (1)()xdvxeex dx, 所求体积102(1)()xvx eex dx102(1)3xx e dxe1052 (2)|433xx eee（8 分）八 . （ 6 分） .设,上连续函数( )
17、f x是周期函数，周期为T，且( )0f x，证明：0011lim( )( )xTxf t dtf t dtxT。证明： 对任一正数, x存在非负整数n，使(1)nTxnT，由( )0f x，(1)000( )( )( )nTxnTf t dtf t dtf t dt；(3 分) 于是000( )(1)( )1( )(1)TTxnf t dtnf t dtf t dtnTxnT；当x时，n，由夹逼性，0011lim( )( )xTxf t dtf t dtxT（6 分）九. 附加题（ 6 分） .设( )f x在0,1上二阶连续可导，且(0)(1)ff，证明：存在0,1，使得精品资料 - -
18、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1011( )(0)(1)( )224f x dxfff证 明 ： 令0( )( )xF xf t dt， 则( )F x在0,1上 三 阶 连 续 可 导 且()()Fxfx，由 Taylor 公式，有1()11(0) 11( )(0)(0)222!43!8FFFFF，其中110,2；2()11(1)11( )(1)(1)222!43!8FFFFF，其中21,12； （3 分）
19、两式相减得：1211(1)(0)(0)(1)()()248FFFFFF，即112011( )(0)(1)()()248f x dxffff因为( )fx在12,上连续， 所以( )fx在12,上取到最小值m 与最大值M. 于 是121()()2mffM， 由 介 值 定 理 ， 存 在12,0,1，使得121( )()()2fff。故有1011( )(0)(1)( )224f x dxfff(6 分) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -