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1、2012 年北京市东城区高三数学一模试题（文科）第卷（选择题共 40 分） 2012.04.05一、本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1、若a，bR，i是虚数单位，且(2)i1iba，则ab的值为（A）1（B）2（C）3（ D）42、若集合,02mA，2,1B，则“1m”是“2,1,0BA”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3、若点( , )P x y在不等式组,2yxyxx表示的平面区域内，则2zxy的最大值为（A）0（B）2（C）4（D）64、已知x，y，zR，若1，x，y，z
2、，3成等差数列，则xyz的值为（A）2（B）4（C）6（D）85、右图给出的是计算1001.81614121的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（A）50i（B）25i（C）50i（D）25i6、已知2sin(45 )10o，且090oo，则cos的值为（A）513（B）1213（C）35（ D）457、已知函数( )()()fxxaxb (其中)ab的图象如右图所示，则函数( )xg xab的图象大致为（A）（B）（C）（D）8、设集合10,)2A，1,12B，函数1,( )22(1),.xxAf xxxB若0 xA，且0()ff xA， 则0 x的取值范围是（A）(41,0 （B
3、） (21,41 （C）(21,41) （D） 0 ，83 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 俯视图左视图主视图21122第卷（共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5分，共 30 分。9、已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是. 10、命题“000(0,),tansin2xxx”的否定是 . 11、 在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的
4、平均数中较大的一组是组12、双曲线222xy的离心率为；若抛物线2yax的焦点恰好为该双曲线的右焦点，则a的值为 . 13、已知ABC中，ADBC于D，2ADBD，1CD，则AB ACuuu r uuu r_14、已知数列na，1am，mN，1,21,2nnnnnaaaaa为偶数 ,为奇数 .若na中有且只有5个不同的数字，则m的不同取值共有个三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15、 （本小题共13 分）已知函数22( )(sin2cos2 )2sin 2f xxxx.（）求( )f x的最小正周期；（）若函数( )yg x的图象是由( )yf
5、 x的图象向右平移8个单位长度得到的，当x0,4时，求( )yg x的最大值和最小值.16、 （本小题共13 分）某班同学利用寒假在5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“ 低碳生活习惯” 的调查，以计算每户的碳月排放量 若月排放量符合低碳标准的称为“ 低碳族 ” ， 否则称为 “ 非低碳族 ” 若小区内有至少%75的住户属于 “ 低碳族 ” ，则称这个小区为“ 低碳小区 ” ，否则称为 “ 非低碳小区 ”已知备选的5 个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.（）求所选的两个小区恰有一个为“ 非低碳小区 ” 的概率；甲乙0 7 9 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 1 9 3
6、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - PFEABCQFA1CPBE（）假定选择的“ 非低碳小区 ” 为小区A，调查显示其 “ 低碳族 ” 的比例为21，数据如图1 所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2 所示，问这时小区A是否达到 “ 低碳小区 ” 的标准？O月排放量（百千克 / 户频率组距0.46 0.23 0.10 0.07 1 2 3 4 5 图 2 O月排放量（百千克 /户频率组距0.30 0.25
7、0.20 0.15 0.05 1 2 3 4 5 图 1 6 0.14 17、 （本小题共14 分）如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足1AEFCCP.将AEF沿EF折起到1A EF的位置，使平面1A EF平面EFB， 连结1A B，1A P.（如图2）（）若Q为1A B中点，求证：PQ平面1A EF；（）求证：1A EEP. 图 1 图 2 18、 （本小题共13 分）已知1x是函数( )(2)exf xax的一个极值点(aR)（）求a的值；（）当1x，20,2x时，证明：12()()ef xf x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
8、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 19、 （本小题共13 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点0,1，且离心率为32. （）求椭圆C的方程；（）12,A A为椭圆C的左、右顶点，直线:2 2lx与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于12,A A的动点，直线12,A P A P分别交直线l于,E F两点 .证明：DEDF恒为定值 . 20、( 本小题共 14 分) 对于函数( )f x，若00()f xx，则称0 x为( )f x的“不动点”；若00()ff xx，则称0
9、 x为( )f x的“稳定点” . 函数( )f x的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B, 即( )Ax f xx, ( )Bx ff xx. （）设函数( )34f xx，求集合A和B；（）求证：AB；（）设函数2( )(0)f xaxbxc a，且A，求证：B. 北京市东城区 2011-2012 学年第二学期综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（本大题共8 小题，每小题5分，共 40 分）1、D 2、A 3、D 4、C 5、B6、D 7、 A 8、C 二、填空题（本大题共6 小题，每小题5分，共 30 分）9、43 10、(0,), tansin2xxx 11
10、、84 ，乙12、2，813、214、8注：两个空的填空题第一个空填对得3 分，第二个空填对得2 分三、解答题（本大题共6 小题，共 80 分）15、 （共 13 分）解： （）因为22( )(sin 2cos2 )2sin2f xxxxsin4cos4xx2sin(4)4x , 6 分所以函数( )f x的最小正周期为2. 8 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - MQFA1CPBEDPFEACB（）依题意 ,( )yg x2 si
11、n4()8x4 2 sin(4)4x. 10 分因为04x，所以34444x. 11 分当442x，即316x时，( )g x取最大值2；当444x，即0 x时，( )g x取最小值1. 13 分16、 （共 13 分）解： （）设三个 “ 非低碳小区 ” 为CBA,，两个 “ 低碳小区 ” 为, ,m n 2 分用),(yx表示选定的两个小区，,x yA B C m n，则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10 个，它们是(,)A B，( ,)A C，( ,)A m，( , )A n,(,)B C,( ,)B m,( , )B n,(,)C m,(, )C n，(, )m n.
12、5 分用D表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D中的结果有6 个，它们是：(,)A m，( , )A n,( ,)B m,(, )B n，( ,)C m,(, )C n. 7 分故所求概率为63()105P D. 8 分（II）由图 1可知月碳排放量不超过300千克的成为 “ 低碳族 ” . 10 分由图 2 可知，三个月后的低碳族的比例为0.070.230.460.760.75， 12 分所以三个月后小区A达到了 “ 低碳小区 ” 标准 . 13 分17、 （共 14 分）证明：（）取1A E中点M，连结,QM MF在1A BE中，,Q M分别为11,A B A E的中点
13、，所以QMBE，且12QMBE因为12CFCPFAPB，所以PFBE, 且12PFBE，所以QMPF，且QMPF所以四边形PQMF为平行四边形所以PQFM 5 分又因为FM平面1A EF，且PQ平面1A EF，所以PQ平面1A EF 7 分（）取BE中点D，连结DF. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 因为1AECF，1DE，所以2AFAD，而60Ao，即ADF是正三角形 . 又因为1AEED, 所以EFAD. 所以在图 2 中有1
14、A EEF. 9 分因为平面1A EF平面EFB，平面1A EF I平面EFBEF，所以1A E平面BEF. 12 分又EP平面BEF，所以1A EEP. 14 分18、 （共 13 分）（）解：( )(2)exfxaxa， （ 2 分）由已知得0) 1( f，解得1a 4 分当1a时，( )(2)exf xx，在1x处取得极小值所以1a. 5 分（）证明：由（）知，( )(2)exf xx，( )(1)exfxx. 当1 ,0 x时，0) 1()( xexxf，)(xf在区间0,1单调递减；当1,2x时，( )(1)0 xfxxe，)(xf在区间1,2单调递增 . 8分所以在区间0,2上，(
15、 )f x的最小值为(1)ef，又(0)2f，(2)0f，所以在区间0,2上，( )f x的最大值为(2)0f. 12 分对于12,0,2x x，有12maxmin()()( )( )f xfxfxfx所以12()()0( e)ef xf x. 13分19、 （共 13 分） （）解：由题意可知，1b，32ca，解得2a. 4 分所以椭圆的方程为2214xy. 5 分（）证明：由（）可知,1( 2,0)A，2(2,0)A. 设00(,)P xy，依题意022x，于是直线1A P的方程为00(2)2yyxx，令2 2x，则00(2 22)2yyx. 即00(2 22)2yDEx. 7 分精品资料
16、 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 又直线2A P的方程为00(2)2yyxx，令2 2x，则00(2 22)2yyx，即00(2 22)2yDFx. 9 分所以22000022000044(222)(222)2244yyyyDEDFxxxx， 11 分又00(,)P xy在2214xy上，所以220014xy, 即220044yx，代入上式，得2020414xDEDFx, 所以| |DEDF为定值1. 13 分20、 （共 14 分）（）解
17、：由( )f xx，得34xx，解得2x； 1 分由( )ff xx，得3(34)4xx，解得2x. 3 分所以集合2A，2B. 4 分（）证明：若A，则AB显然成立；若A, 设t为A中任意一个元素，则有( )f tt，所以( )( )ff tf tt，故tB，所以AB. 8 分（）证明：由A，得方程2axbxcx无实数解，则2(1)40bac. 10 分当0a时，二次函数( )yf xx（即2(1)yaxbxc）的图象在x轴的上方，所以任意xR，( )0f xx恒成立，即对于任意xR，( )f xx恒成立，对于实数( )f x，则有( )( )ff xf x成立，所以对于任意xR，( )( )ff xf xx恒成立，则B. 12 分当0a时，二次函数( )yf xx（即2(1)yaxbxc）的图象在x轴的下方，所以任意xR，( )0f xx恒成立，即对于任意xR，( )f xx恒成立，对于实数( )f x，则有( )( )ff xf x成立，所以对于任意xR，( )( )ff xf xx恒成立，则B. 综上，对于函数2( )(0)f xaxbxc a，当A时，B. 14 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -