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1、2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案课题：3.1.1 方程的根与函数的零点教材：人教 A版高中数学必修1 云南省昆明市官渡区第二中学田红月【教材分析】本节课的内容是人教版教材必修1 第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数( )yf x零点就是方程( )0f x的实数根，即函数( )yf x的图象与x轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定
2、方法：如果函数( )yf x在区间,a b上图象是连续不断的一条曲线，并且有( )( )0f af b，那么，函数( )yf x在区间,a b内有零点，即存在,ca b，使得( )0f c，这个c也就是方程( )0f x的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的教案主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。【教案目标】1. 理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。2. 通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在
3、的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。3. 通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。【学情分析】1. 学生具备的知识与能力(1) 初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x轴的交点横坐标之间的关系。(2) 从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。2. 学生欠缺的知识与能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页(1) 超越函数的相关计算及其图象性质. (2) 通过对具体实例的探究, 归纳概括发现的结论或规律, 并将其用准确的数学语言表达出来
4、. 【重点难点】重点：零点的概念；零点存在的判定方法。难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）。【教案策略】引导学生用联系的观点理解有关内容，从二次函数入手，使学生了解函数零点的概念及零点存在的判定方法，降低难度，便于接受。通过问题引出研究对象，通过探究生成新知，通过应用巩固新知。本节学习的主要载体是函数图象。为了使学生构建一个从具体到抽象的过程，除了二次函数图象外，应用几何画板作出了部分函数的图象，通过观察加深对定理的理解，提高课堂效率。注重学生的学习体验，精心设置一个个问题，并以此为主线，由表及内、由浅入深，逐步
5、突破重点和难点。【教案流程】教案环节教师活动预设学生活动设计意图一创设情境激发兴趣借鉴历史将 数 学 史 融入教案之中知识之谐情感之悦问题 1：方 程0322xx是 否有实根？若有，有几个？观察、思考，试用已知判断一元二次方程的根个数的方法解决回顾旧知识 ， 引 出 新概念二回顾旧知引入概念一元二次方程的根与一元二次函数的图象之间的关系方程0322xx有两个实根，11x，31x函数32)(2xxxf图象与x轴有2个交点)0, 1(，)0,3(从 熟 悉 的 情境 中 发 现 新知识一般函数的图象与方程的根的关系方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标将 结 论 由 特殊 推 广 到 一般对于函数
6、)(xfy，我们把使0)(xf的实数x叫做函数)(xfy的零点。方程0)(xf是否有解等价于函数)(xfy是否存在零点函数的零点是数不是点观察归纳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页xybaOxybaOxyOxycedbaO形成概念辨析讨论，深化关系方程有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点利 用 函 数 图象 直 观 的 特点 ， 进 一 步突 破 函 数 零点 与 方 程 根相 互 转 化 这一 难 点 。 加深 学 生 对 方程 的 根 与 函数 零 点 的 理解。问题2：你能从下列函数图象
7、中分析出函数有几个零点吗？你能给你的同桌画一个函数图象，让他分析一下函数的零点个数？函数图象与x轴有几个交点，函数就有几个零点三探究判定提炼方法问 题3 ： 请 找 出 函 数32)(2xxxf的零点在哪个区间内？并讨论区间 端 点 函 数 值 的 符 号 关系。找到零点1，3所在的区间，随着区间的扩大，端点函数值的符号由异号变成同号给 学 生 提 供探究情境, 让学 生 自 己 发现 并 归 纳 结论观察下图，思考上述规律是否具有一般性？0)()(bfaf，,ba上有零点0)()(efaf，,ea上有零点0)()(cfaf，,ca上有零点0)()(dfcf，,dc上无零点从 二 次 函 数拓
8、 展 到 一 般函 数 ， 让 学生 归 纳 出 函数 零 点 存 在的条件。问题 4：若函数)(xf在,ba上满足0)()(bfaf，则)(xf在),(ba内一定有零点吗？利 用 具 体 图像 ， 通 过 观察 、 对 比 ，加 深 对 函 数必 须 连 续 的理解正例巩固反例强化探究发现零点存在判定的零点存在的判定方法：条件：函数)(xf的图象在,ba上连续；归 纳 总 结 判精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页四应用判定掌握方法方法0)()(bfaf；结论：)(xf在),(ba内存在零点定 方 法 ， 揭示本质及
9、时应用巩固新知跟踪训练1. 函数12)(xxf的零点是 . 2. 判断函数xxxxf384)(23在下列区间内是否有零点？(1)1 , 1( (2)2, 1 (分层训练体现变式问题 5：在此判定中，结论能推条件吗？即若)(xf在),(ba内存在零点，是否一定要有0)()(bfaf？反例强化判定解读零点存在的判定方法主要用来判定函数在某个区间上是否存在零点，且此判定不可逆用通 过 辨 析 ，体 现 思 维 的深刻性强化零点存在的判定方法的理解求函数62ln)(xxxf的零点的个数利 用 已 学 知识解决问题 ， 提 高 学生 解 决 问 题的能力。存在性探究：利用零点存在性定理探索函数62ln)
10、(xxxf的 零 点 个 数 ， 所 在 区间。不同的学生可能找到不同的区间零 点 存 在 性定 理 的 初 步应 用 ， 为 二分 法 埋 下 伏笔唯一性探究：判定函数的单调性用定义证明)(xf在),0(上单调复合函数法图象法培 养 学 生 养成 严 密 的 思维 习 惯 ， 严谨 的 学 习 态度。几 何 画 板 画 出 函 数62ln)(xxxf的图象函数62ln)(xxxf的图象是否与x轴有且只有一个交点0 x？几何画板作图证实。强 化 学 生 对函 数 零 点 的直观认识xybaO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共
11、 5 页五概括总结分层作业本节课我们学习了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了哪些思想？知识：零点的概念，方程的根与函数零点的关系。连续函数零点存在性定理。方法：数形结合（数缺形时少直观，形缺数时难入微），等价转化思想：特殊到一般，具体到抽象开放式小结 ， 使 不 同的 学 生 有 不同 的 学 习 体验 和 收 获 . 引 导 学 生 主动 建 构 ， 形成知识体系；作业布置必做题：第88 页 第 1（ 1）第 2 题（ 4）；第 92 页第 2 题选做题：第2 题（ 2）（ 3）；思考 : 若函数)(xfy在某个区间内有零点,如何求出这个零点? 根 据 不 同 层次 学 生 的 学习 能 力 ， 分层布置作业.拓 展 学 生 的自 主 发 展 空间. 板书设计3.1.1 方程的根与函数的零点1. 零点的概念2. 函数零点方程的根函数图像与x轴交点的横坐标。3. 零点存在定理：条件：函数)(xf的图象在,ba上连续；0)()(bfaf；结论：)(xf在),(ba内存在零点4. 问题解读5. 课堂练习6. 小结7. 作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页