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1、学习好资料欢迎下载动点最值问题解法探析一、问题原型：（人教版八年级上册第42 页探究 ） 如图 1-1， 要在燃气管道上修建一个泵站， 分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法 ：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论 ：(在线段上时取等号 )（如图 1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“ |定动 |+|定动 |”型 ：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称， 将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个
2、，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。1.两个定点 +一个动点 。如图 1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与 的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。例 1 （2006 年河南省中考题）如图 2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解析：
3、与关于直线对称，连结，则。连结,在中，则故的最小值为例 2（2009 年济南市中考题）如图 3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。解析：（ 1）对称轴为，由对称性可知：。根据、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。设直线解析式为：。把、代入得，。当时，则2.两个定点 +两个动点 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2
4、 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例 3如图 4，河岸两侧有、两个村庄， 为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。四边形为平行四边形，此时值最小。那么来往、两村最短路程为：。例 4(2010 年天津市中考 )在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点
5、、分别在轴、轴的正半轴上，为边的中点。（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点，的坐标。解析：作点关于轴的对称点，则，。（1） 连接交轴于点， 连接， 此时的周长最小。 由可知，那么，则。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）将向左平移 2 个单位（）到点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即。从而把“两个定点和两个动点”
6、类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在上截取，连接交轴于，四边形为平行四边形，。此时值最小，则四边形的周长最小。由、可求直线解析式为， 当时， 即，则。（也可以用（1）中相似的方法求坐标）（二）“ |动定 |+|动动 |”型 ：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换， 使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例 5（2009 年陕西省中考 ）如图 6，在锐角中，的平分线交于点，、分别
7、是和上的动点，则的最小值为4 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的对称点在上，当时，最小。作于，交于，作交于，例 6如图 7，四边形是等腰梯形，、在轴上，在轴上，抛物线过、两点。（1）求、；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - -
8、 - - - - 学习好资料欢迎下载（2）设是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离之和为，求的最大值；（3）当（ 2）中点运动到使取最大值时，此时记点为，设线段与轴交于点，为线段上一动点， 求到点与到轴的距离之和的最小值，并求此时点的坐标。解析： （1） 由，可得：、；根据、的坐标可求出抛物线解析式为（2）设，且，则，用零点分段法可求得，。当时，。此时，则。（3）轴与直线关于对称，作轴于，动点关于的对称点在直线上，当垂直于直线时，的值最小。，根据和可求直线的解析式，则有。由可知，。作，过点作轴的平行线，交于，那么。作于，则， 当是于的交点时，与重合，有最小值5。函数，此时，则，即。3.“|
9、定动 |+|动动 |+|动定 |”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。例 7（2009 年漳州中考 ）如图 8，是内一点，、分别是和上的动点，求周长的最小值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解析：分别作关于、的对称点、，连接，则，当、在线段上时，周长最小，。则周长的最小值为例 8（2009 年恩施中考 ）恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保
10、护区星斗山（）位于两高速公路同侧，到直线的距离为，到直线和的距离分别为和。请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解析：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，。 当、在线 段上 时，最小。过、分别作轴、轴的平行线交于。在中，交轴于，交轴于。，而四边形的周长最小值为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -