高一函数经典难题讲解(共4页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),xR且xa,当f(x)的定义域为a-1,a-1/2时,求f(x)值 解:由题知,已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以,f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为a-1,a-1/2时xa-1,a-1/2(a-x)1/2,11/(a-x)1,2f(x)=-1+1/(a-x)0,12.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析:(1)函数f(x)=x|x-2|-2当x=2时,f(x)=x2-2x-2,为开口向上抛物线,对称轴为x

2、=1当x(-,1)时,f(x)单调增;当x1,2时,f(x)单调减;当x(2,+)时,f(x)单调增;(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,a=0时x=0,零点个数为1;a0时x0,由,x=a,x2-ax-a=0,x1=a+(a2+4a)/2;0xa4时,无实根,零点个数为1。a0时,x=a-4,x2-ax-a=0,x1,2=a土(a2+4a)/2;xa时x2-ax+a=0,x3=a-(a2-4a)/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a-4时无实根,零点个数为1.综上,a4时零点个数为1;a=土4时,零点个数为2;-4a0,或0a4时,零点个数为3

3、.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称(1)求常数m的值(2)当x(3,4)时,求f(x)的值域;(3)判断f(x)的单调性并证明。解:1、函数f(x)=log3 1-m(x+2)/(x-3)图象关于原点对称,则该函数是奇函数,满足f(-x)=-f(x)。log3 1-m(2-x)/(-x-3)=-log3 1-m(x+2)/(x-3)log3 1-m(2-x)/(-x-3)=log3(x-3)/ 1-m(x+2)1-m(2-x)/(-x-3)=(x-3)/1-m(x+2)化简得 -x2+9=-m2(x2)+(2m-1)2所以 -m2=-1(2m-1)

4、2=9解得 m=-1所以,函数解析式为f(x)=log3 (x+3)/(x-3)2、先求t(x)=(x+3)/(x-3)在(3,4)上的值域。t(x)=(x+3)/(x-3)=(x-3)+6/(x-3)=1+6/(x-3)当3x4时,0x-31,6/(x-3)6所以 t(x)=1+6/(x-3)7那么,原函数在(3,4)上值域是(log3 (7),正无穷)3、先求函数定义域(x+3)/(x-3)0且x3 解得 x3或x3时,因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+6/(x-3)单调递减,所以 函数f(x)=log3 t(x)单调递减。(2)当x-3时,因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1

5、+6/(x-3)单调递减,所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。4.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函数.(1)求k的值(2)设f(x)=log4(a2x-4/3a)有且只有一个实数根,求实数的取值范围.解:(1)f(x)=log4(4x+1)+kx(KR)是偶函数,f(-x)=f(x),即log4(-x)+1+k(-x)=log(4x+1)+kx,log4(-x)+1/(4x+1)=2kx,-x=2kx,k=-1/2.(2)f(x)=log4(4x+1)-x/2=log4(4x+1)-log4(2x)=log4(4x+1)/2x g(x)=log4(a 2x-4/3a

6、)联立 log4(4x+1)/2x=log4(a 2x-4/3a) (4x+1)/2x=a2x-4/3a 不妨设t=2x t0t2+1/t=at-4/3at2+1=at2-4/3at(a-1)t2-4/3at-1=0设u(t)=(a-1)t2-4/3at-1两函数图像只有1个公共点,在这里就变成了有且只有一个正根1.当a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍)2.当=0时 a=3/4 或a=-3 a=3/4时 t= -1/20 (舍) a=-3时 t=1/2满足3.当一正根一负根时(a-1) u(0)0 (根据根的分布)a1综上所述,得a=-3或a15.这个是概念的问题:1.对于f(x)取值范围

7、(0,无穷),f(x)+bf(x)+c=0最多有两个不同的f(x)。2.对f(x)的图像进行分析,知道f(x)=1对应的x值有三个,即除x=2外另有两个关于x=2对称的x。f(x)不等于1时对应的x值有两个,即两个关于x=2对称的两个x。3.题意说f(x)+bf(x)+c=0对应的x根有5个,显然满足f(x)+bf(x)+c=0的f(x)有两个,一个f(x)对应三个x值,设为x1,x2,x3;另一个f(x)对应两个x,设为x4,x5;根据以上分析,应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 则f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(10)=1/8,选B6. 已知函数,f(x)的值

8、域是0【1,+).求关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有五个根的充要条件?函数图像是一个“W”字样两个V字的连接点落到坐标原点的形状,也就是两个“V”字加原点7. 定义域为R的偶函数f(x),当x0时,f(x)=lnx-ax(a属于R),方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解(1)求x0时有两个解当x0,f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当a0时,y=lnx , y=-ax在x 0时都单调增,则f(x)=lnx-ax 在x 0时单调增,只有一个解,不满足题意当a=0时,f(x)=lnx 在x 0时单调增,只有一个解,不满足题意当a0时,f (x)=1/x-a 当x=1/a

9、时,f (x)=0,f(x)在(0,1/a)单调增,在(1/a,+)单调减,在x=1/a取到最大值 要f(x)在x 0时有两个解,只要f(1/a)0,即ln(1/a)1,1/ae,得a1/e综上,a(0,1/e)8.定义域为R的偶函数f(x),当x0时,f(x)=lnx-ax(aR),方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解(1)求x0时,函数f(x)的解析式;(2)求实数a的取值范围解答:解:(1)设x0,则-x0f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax(2)f(x)为偶函数,f(x)=0的根关于原点对称由f(x)=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根,二个负根,

10、一个零根且两个正根和二个负根互为相反数原命题当x0时f(x)图象与x轴恰有两个不同的交点下面研究x0时的情况:f(x)=0的零点个数y=lnx与直线y=ax交点的个数当a0时,y=lnx递增与直线y=ax下降或与x轴重合,故交点的个数为1,不合题意,a0由几何意义知y=lnx与直线y=ax交点的个数为2时,直线y=ax的变化应是从x轴到与y=lnx相切之间的情形 设切点(t,lnt)k(lnx)|xt,切线方程为:ylnt(xt)由切线与y=ax重合知a,lnt1te,a,故实数a的取值范围为(0,)9.函数y=loga(2x-3)+的图像恒过定点P,P在幂函数f(x)的图像上,则f(9)=_

11、 解:由于 loga(1) 恒等于0,所以 P坐标为(2,),而P在幂函数的图像上,所以设这个函数为 f(x)=xa,则 =2a,解得 a=-1/2,所以 f(9)=9(-1/2)=1/9=1/3。10.函数y=loga(-x)+2的图像恒过定点P,P在幂函数f(x)的图像上,则f(2)=_解:P点坐标为(-1,2),与a无关而幂函数f(x)=bx要经过P点,则2=b-1,所以b=1/2所以f(2)=(1/2)2=1/411. 若偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)且在x属于【0,1】时 f(x)=x的平方,则关于x的方程f(x)=(1/10)的x的平方在0,10/3上的实数根有几个f

12、(x1)=f(x1),则函数f(x)的周期为2,可以作出函数f(x)的图像。另外设g(x)=(1/10)x²,利用图像,得出方程f(x)=g(x)的根有2个。12.已知偶函数f(x)满足f(x1)=f(x-1),且x0,1,f(x)=(x-1),则f(7/2)=解:由f(x+1)=f(x-1) 则f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函数f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2)=f(1/2)=(1/2-1)=1/413.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当xg(-x)=f(-x-1)=f(x+1)f(2011)=g(2012)f(2013)=g(-2012)f(2011

13、)+f(2013)=016.若函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=1/x-1,则f(x)=_”解:f(x)+g(x)=1/(x1) (1)f(-x)+g(-x)=-1/(x+1) (2)由f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x)可知f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/(x+1) (3)(1)和(3)相加则有2f(x)=-1/(x1)-1/(x+1)则f(x)=1/(x2-1)17.函数f(x)对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当x0时,f(x)3(1).求证:f(x)在R上是增函数(2).若f(3)=6,解不

14、等式f(a2-3a-9)4(1).证明:任取x1,x2,且x10, f(x2-x1)3,f(x2)= f(x2-x1)+x1= f(x2-x1)+f(x1)-3= f(x1)+f(x2-x1)-3f(x1),对任意x1x2,都有f(x1)f(x2),故f(x)在R上为增函数。(2)由f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-3=f(1+1)+f(1)-3=f(1)+f(1)-3+f(1)-3=3f(1)-6=6,得f(1)=4,f(a2-3a-9)f(1),f(x)在R上为增函数,a2-3a-91,即(a-5)(a+2)0,解得-2a0时,f(x)1.(1) 求证:f(x)1f(-x)10;

15、(2)证:f(x)是R上的增函数(1)证明:令x1=x,x2=0 f(x)=f(0)+f(x)-1 即f(0)=1又令x1=x,x2=-x 则f(0)=f(x)+f(-x)-1又f(0)=1 f(x)+f(-x)=2 f(x)1f(-x)10 (2)证明:设 x10f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1当x0时,f(x)1 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-11(注:已知条件)即是f(x2)+f(-x1)2又f(x)+f(-x)=2(注:已证明) f(x2)+2-f(x1)2 整理得:f(x2)-f(x1)0,即f(x1)f(x2)在实数R上,存在有任意x1x2,f(x1)0

16、时有f(x)1,且f(3)=41.求f(1),f(4)的值2.判断并证明f(X)的单调性3.若关于x的不等式f(ax-1)f(f(4)x)的解集中最大的整数为2,求实数a的取值范围用代就行了解:(1)令x=y=1可得f(1+1)=f(1)+ f(1)1 令x=1 y=2可得f(1+2)= f(1)+f(2)1 已知f(3)=4 联立上式得f(1)=2 令x=1 y=3得f(1+3)= f(1)+ f(3)1=5(2)令y=1 带入已知的f(x+1)=f(x)+f(1)1 移项得f(x+1)f(x)=1 所以函数f(x)为增函数(3)由(2)知函数f(x)为增函数,所以有ax-1f(4)x 由题意知不等式(a-5)x-10的解集为x3(因为不等式解集的最大整数为2所以它的解集就是x3,这里你要想明白) 所以问题可以转化为对任意的x3都有(a-5)x-10 成立 令函数f(x)=(a-5)x-1 要满足任意的x3都有 f(x)0 当a0时,只要函数为增函数且f(3)0就行 有a-5 0 且 f(3)0推出 5 a当a=5时,f(x)=1,显然f(x)0的解集不是x3,不合题意。综上a的取值范围为5 a.专心-专注-专业

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