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1、精选优质文档-倾情为你奉上直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念斜率与倾斜角我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在。轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即。当时，直线平行于轴或与轴重合；当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；二、基本公式1. 两点间的距离公式2. 的直线斜率公式3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率存在且过，注：当时，；当不存在时，（2）斜截式：直线
2、的斜率存在且过，（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线。注：可表示经过两点的所有直线（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1 倾斜角与斜率的计算思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”。这可通过画正切函数在上的图像来认识。例9.1 若三点共线，则_.分析 由三点共
3、线可联想到斜率相等或向量共线。解析 解法一：由题设可知，即，解法二：由题设可知，即，即。，解法三：由题设可知点在直线上，又由截距式方程得直线方程：，故。评注 关于三点共线问题，可以联想到斜率相等或向量共线，亦可先由两点确定一条直线，再证第三点在该直线上，这些方法对学习平面解析（空间立体）几何或几何证明都很有益处。变式1 若直线先向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得直线与直线重合，则直线的斜率为_.变式2 已知过两点的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围是_.例9.2 已知，点为一动点。（1）当点在线段上运动时，求直线倾斜角的范围（2）当点在线段上运动时，求直线的斜率的范围。解析 （1）
4、当点在线段上运动时，求直线斜率为，可得倾斜角的范围为。（2）当点在线段上运动时，倾斜角范围为，可得斜率为直线的斜率的范围评注 当斜率有正负时，倾斜角为两段；当角度包括时，斜率分两段，可用正切函数上的图像求解。变式1 若直线的倾斜角分别为，则下列四个命题正确的是（ ）A.若，则两直线的斜率B.若，则两直线的斜率C.若，则两直线的斜率D.若，则两直线的斜率变式2 若直线的斜率的变化范围是，则其倾斜角的变化范围是（ ）A. B. C. D .变式3 直线经过两点（），那么直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D .例9.3 已知直线过，且与以为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围。分析
5、本题为“由直线区域求直线斜率范围”求解步骤。做出直线区域图；求出区域边界斜率；按逆时针方向旋转得到；若，直接写出（或开区间），若过无穷，。解析 解法一：如图所示，。因为过点且与轴垂直的直线与线段相交，但此时直线斜率不存在，直线绕点逆时针旋转到时，斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时斜率的范围是；直线由（不包括）逆时针旋转至时，斜率始终为负值，且逐渐增大，范围是。故所求直线的斜率的取值范围是。解法二：本题也可以用线性规划的知识来解决，当轴时，与线段相交，此时斜率不存在。当斜率存在时，设直线的方程为，即，要使与线段有交点，只需落在直线的两侧或直线上，则应满足，得或，故所求直线的斜率的取值范围是。评注
6、 本题主要用了数形结合的方法。另外，直线斜率的绝对值越大，直线就越“陡”，这一规律在判断直线的倾斜程度上应用较广。变式1 已知线段两端点的坐标分别为，若直线与线段有交点，求实数的范围。变式2 已知实数满足，试求的最大值与最小值。，题型2 直线的方程思路提示要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式。例9.4 求下列直线方程：（1）直线：过点，斜率；（2）直线：过点和点；（3）直线：过点，斜率。分析 已知点的坐标和斜率用点斜式，已知两点的坐标用两点式，已知在轴上的截距和斜率用截距式，最终的结果最好化成直线的一般式。解析
7、（1）由直线的点斜式方程得，整理得的方程为。（2）解法一：由直线的两点式方程得，整理得的方程为。解法二：直线的方程求解也可用点斜式，先算出，再代入点斜式得，即（3）由直线的点斜式方程得，整理得的方程为评注 已知直线上一点的坐标以及直线斜率，或已知直线上两点坐标均可用直线方程的点斜式表示，使用直线方程的点斜式时，应在直线斜率存在的条件下使用，当斜率不存在时，直线方程为。变式1 求满足下列条件的直线方程：（1）斜率，在轴上的截距是5；（2）斜率，在轴上的截距是；（3）在轴, 轴上的截距是2，-5。变式2 直线： ，直线过点，且它的倾斜角是的倾斜角的2倍，则的方程为_.例9.5 已知两直线，都经过点
8、，则经过点的直线方程是_.解析 解法一：由题设可知所求直线斜率为，且，作差得，则，。故所求直线为：，即，即。解法二： 由两直线，都经过点,得，两点都适合方程，又过这两点的直线是唯一的。故经过点的直线方程是评注 若两点同时满足方程：，即，则过两点的直线方程为：变式1 如图所示，在平面直角坐标系中，设的顶点为。点为线段上的一点（异于端点），这里为非零常数。设直线分别与边交于点。某同学已正确求得直线的方程为，请完成直线的方程：.例9.6 过点，在轴和轴上的截距分别是，且满足的直线方程为_.分析 过点，在轴和轴上的截距分别是，注意分类讨论为0的情形。解析 若，此时直线过原点，设直线方程为且过点，则直线
9、方程为；若，则设直线方程为。又，故，又过点，则，得，故直线方程为，故所求的直线方程为或。评注 本题常见的求解错误是忽视截距为零的情况，一般地，条件给出的两个截距（或截距的绝对值）成倍数关系时，若设直线的截距式应注意截距为零，及直线过原点的情形。变式1 直线经过点，在在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程。变式2 直线经过点，且在轴上的截距是在轴截距的2倍，求直线的方程。例9.7 直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。解析 解法一：依题意，设直线的方程为，因为直线经过点，所以，即，由已知，得，解方程组，得或，故所求的直线方程为或或。解法二：依题意，设直线的斜率为，则直线的方程
10、为，令，得，令，得。直线与两坐标轴围成的三角形面积为，得或。故所求的直线方程为或即或。变式1 过点分别与轴正半轴交于两点。（1） 当面积最小时，求直线的方程;（2） 当取最小值时，求直线的方程;（3） 当取最小值时，求直线的方程;例9.7 一条直线被两条直线和截得的线段中点恰好是坐标原点，求直线的方程分析 已知点，故可以考虑使用点斜式方程，通过两次联立方程，分别求出直线与和的两个交点坐标，然后利用中点坐标公式求得的值。解析 解法一：当直线斜率存在时，设直线的方程为由得，由得，其交点的中点坐标为.据题意知得.故所求直线方程为.当直线l斜率不存在时，则l：x=0，与l1,l2交点分别为(0,6)，
11、(0,)，其中点坐标为(0,)，不为原点，不满足题意.解法二：为了确定直线l的方程，需要两个独立的要素，故考虑求出直线上的两个点的坐标，从而可得直线l的方程. 因为两个交点的线段的中点为原点，故设直线l与的交点为，则与直线的交点为，因为在直线上，在直线上，故有，得，所以直线通过点和点O（0，0），易得直线l的方程为.评注 求直线方程最常用的方法是待定系数法，本题所求方程的直线过已知点M（0，0），故设出直线的点斜式，由题中另一条件确定斜率，思路顺理成章.但要注意讨论斜率是否存在，特别是能否把已知条件与相关知识联系变能再得新的解法，如本题中的解法二.确定直线方程基本可以分为两类题型：一是根据题目
12、条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，此法可称为直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程（含有参数或待定系数），再确定方程（即求出参数值），此时对直线方程来讲可称为间接法. 因为确定一条直线需要两个独立的几何量，要么上个点与斜率，要么两个都是点，所以在求直线方程时，要拿着“方程思想”去积极地从题设中获得未知的几何量所应满足的方程的方程组，然后加以解决即可得解.变式1过点M（0，1）作直线，使它被两条直线所截的线段恰好被点M平分，求此直线的方程.例9.9 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率取值范围为 .解析 过定点,与x轴正半轴的交点为,与y轴正半轴交点
13、为.要交点位于第一象限,即交点在此两点之间,可得k的取值范围为,所以倾斜角的范围为.评注 两直线交点问题一般是一动直线与一定直线,动直线要找出经过的定点,即可解答.变式1 直线与直线的交点位于第一象限,则a的取值范围为 .有效训练题1.下列命题A过点的直线都可表示为B过两点的直线都可表示为C过点（0，b）的所有直线都可表示为D不过原点的所有直线都可表示为2.过点且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为1的直线的斜率为（ ）A或B或CD或3.已知直线的方程分别为，其图象如图9-3所示，则有（ ）ABCD 4.设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）ABCD5.直线在y轴上的截距是，而且
14、它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ）ABCD6.直线与连接两点线段相交，则a的取值范围是（ ）ABCD7.过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .8.已知点两点，直线l过定点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 .9.直线，当此直线在x,y轴上截距和最小时，a的值为 .10.设直线l的方程为.（1）若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.11.根据所给条件求直线的方程：（1）直线l过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.（2）直线过点(5,10)，且到原点距离为5.（3）过点A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是.12.已知在矩形ABCD中，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上，求AD边所在的直线的方程.专心-专注-专业