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1、精选优质文档-倾情为你奉上摘 要极限是数学分析的一个重要概念.极限理论是微积分学的理论基础,极限思维贯穿于整个数学分析.由于极限定义具有高度的抽象性,使我们很难用定义本身去求极限,深知极限运算遍布于数学分析的始终,许多重要的概念如连续、导数、定积分等都是由极限定义给出的.反之,我们又可以用这些概念求极限,所以求极限的方法十分繁多.针对这种情况,本文对极限的一般计算方法给出了比较详细的论述,同时,阐述了数列极限和函数极限之间的关系.更重要的介绍函数极限和数列极限的计算技巧,而这些技巧性通常是以前我们没有用到的.熟练掌握这些方法与技巧,就会使我们对极限概念有深刻透彻的理解,在实践中,提高用极限理论
2、解决问题的能力.关键词:函数极限,数列极限,一般方法,计算技巧专心-专注-专业Seek ways to explore the limitsAbstract: Limit is Mathematical Analysis is an important concept. Limit theory is the theoretical basis of calculus, the limit of thinking throughout the mathematical analysis. Due to the limit defined with a high degree of abstra
3、ction, so that we find difficult to define the limits of their own deep limit calculation method known throughout Mathematical Analysis always, many important concepts such as continuous, derivatives, definite integrals, etc. are defined by the limits given. Conversely, we can also find the limit wi
4、th these concepts, so the limit is seeking wide view of this situation, this article limits the general calculation method gives a more detailed exposition, meanwhile, describes the relationship between the number of columns between the limit and the limit function more important function of the lim
5、its introduced several columns limit calculation skills, and these techniques of the past, we are usually not used. mastering these methods and techniques, it will make us have a deep and thorough understanding of the concept of limit, in practice, improve the ability to solve problems with the theo
6、retical limit.Keywords: function limit, limit the number of columns, the general method to calculate tips 目 录一、引言数学分析是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科,也是我国师范院校数学专业的一门主干基础课程.极限是微积分的理论基础,研究函数的形态变形为研究各种类型的极限求法,由此可见极限的重要性.理解好极限的概念,并且掌握好极限的思想方法对学好数学分析是至关重要的.尤其是熟练掌握极限的计算,是准确地解决数学分析 中所有问题必备的能力.因此,很好地理解极限概念也是学好微积
7、分的关键所在,同时,运用极限思想方法,可使人的思维从有限空间向无限空间伸展,从静态向动态发展,从具体向抽象升华,它不仅仅解决了初等数学所不能解决的诸多难题,同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯.二、极限的内涵（一）极限概念在数学分析中的地位及意义数学分析中几乎所有的概念都离不开极限,极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念,是从近似认识精确,从有限认识无限,从量变认识质变的一种数学方法.极限概念不仅是一个数学概念,也体现了一种处理客观数量变化的新思维、新方法.极限理论是数学分析的基础理论,其理论的确立使微积分有了坚实的基础,进而使得微积分在当今科学的整个领域得以更广泛、更合
8、理、更深刻的应用和发展.因此,很好的理解极限概念是学习好数学分析的关键,同时,极限的思想和方法也是高等数学区别于初等数学的标准之一,是一种数学修养,是近代数学思想和方法的基础和出发点.1、 数列极限,它刻画了当无限增大时,数列无限接近,即要多小有多小及教材中的定义.这个定义中的是由来确定的,越小,要求越大.2、 函数极限,它刻画了函数在自变量的某种变化过程中无限接近于的过程.其的变化方式有六种:,及,.从而有极限的定义和定义.（二）极限的分类 极限从宏观上分为两类:数列极限、函数极限三、数列极限和函数极限的关系 在数学分析中,函数极限和数列极限是分别定义的,形式上似乎没有什么联系,但本质上两者
9、却可以互相转化.这种关系表现为著名的海涅定理:任意数列,且有,与是有限数或无穷数.由定理可知,若存在（有限或无限）,则.因此,当计算时,如果有一函数使,则先计算,若这个极限存在,必有.这样,数列极限问题就通过函数极限计算得到解决.根据海涅定理的必要性,函数在的极限可化为函数值数列的极限;根据海涅定理的充分性,又能够把数列极限的性质转移到函数极限上来.因此,海涅定理是沟通函数极限和数列极限的桥梁.四、求极限的一般方法（一）利用定义求极限定义 （趋向时的函数极限）设为定义在上的函数,为定值.若对任给正数,存在正数使得当时有.则称函数当时以为极限,记作. 趋向于时的函数极限的定义与上述定义相似,只要
10、把定义中的改为即可.下面举例说明用定义求这种函数极限的方法.例1 证明:分析 这是一个关于自变量趋向于无穷大的函数极限,相当于定义中的,先将函数式适当放大,再根据函数定义求证函数极限.证明 当, 有 当时,有故1注1 在上式中运用了适当放大的方法,这样求解比较简便.但要注意这种放大必须要“适度”,这样才能根据给定的来确定,同时要注意此题中的不一定非要是整数,主要是正数即可.注2 函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关,函数极限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律.注意 用定义法证明极限时,有一先决条件,事先知道极限的猜测值,这种情况一般较困难推测出,只能对一些比较简单的数列或函数推测分
11、析出极限值,然后再去用定义法去证明.（二）利用初等函数的连续性计算函数极限初等函数在其定义域内是连续的,因此,根据函数的定义及其连续性,可以将求连续函数的极限值问题转化为求自变量趋向点处的函数值的问题.即例2 计算极限解:因为为初等函数,为的定义区间上的任意一点,则 所以,原式注意 若函数在一点连续,则函数在该点的极限值就等于函数在该点的函数值.（三）利用初等函数的图形观察出函数的极限有些函数极限不是计算出来的,而是看出来的.下面的极限都是观察出来. ,.这里不在一一列出.（四）利用极限四则运算法则求极限利用极限四则运算法则来求极限,条件是每项或每个因子极限存在,一般所给的变量都不满足这个条件
12、,如“”, “”等情况,都不能直接用四则运算法则,必须要对变量进行变形,设法消去分子、分母中的零因子.在变形式中,要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形.定理 已知,都存在,极限值分别为、.则 （此时需成立）2注意 极限号下面的极限过程是一致的,同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,常常对函数进行恒等变形或化简.常用的方法有分式的通分或约分、分式有理化、三角函数恒等变形等.有下面的几种形式:1“”型计算方法是通过因式分解或根式有理化、消去分子、分母中的零因子之后再利用四则运算法则进行计算.例3 求的极限解:原式 2.“”型: 正常将分母、分子同除以最大的无穷大之后再用四则运算法则计算:例4
13、 求的极限解:原式 3“”型:一般要通分转化成上面两种形式,这里要指出,应用法则一定要注意法则成立的前提条件.有如下结论:（1） 极限存在极限不存在极限不存在;（2） 极限为极限不存在极限不存在;（3） 极限为（极限不存在且不为）极限不存在;（4） 极限不存在极限不存在,结果不一定.例5 求的极限解: 原式 （五）利用单侧极限求极限 这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限,首先,必须考虑分段点的左、右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分段点处的极限存在,否则极限不存在.又如,此重要极限就是用单侧极限求证出来的.3（六）利用两个重要极限公式求极限 ;不仅要能够运用这两个重要极限的本身,
14、还应注意运用它们的变形形式: ;例6 解: 而 所以 解:注意 应用第一个重要极限应满足,分母为无穷小,即极限为;分母正弦函数中的角度必须与分母一模一样. 应用第二个重要极限应满足:带有“” 中间是“” “”后面跟无穷小量 指数和“”后面的数要互为倒数（七）利用无穷小量的等价代换计算极限定理 设且存在,则 应用该方法时,要讨论常见的等价无穷小当时: , .4例7 解:例8 解:令,则 方法一: 方法二: 注意 只能做分子或分母的整体替换,或分子、分母中的部分因式做替换.无穷小的等价替换计算极限是最容易出错的方法之一,此法的难点在于搞不清楚替换的原理及对象,还有就是对无穷小的等价概念不清,要注意
15、等价是有极限条件的.（八）利用洛必达法则求极限 洛必达法则是处理未定式极限的重要手段,且非常有效.但它只能应用于“”型和“”型的未定式.只要是“”型和“”型的,都可以一直进行下去.每完成一次法则都要将式子化简.而对于等形式,需化为“”型和“”型的形式求解.例9 求解:令,则 注意 如果仍是“”型不定式极限或“”型不定式极限,只要有可能,我们可以再次用洛必达法则,即考察极限是否存在,这时和在的某邻域内必须满足洛必达法则的条件. 若不存在,并不能说明不存在. 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解,首先必须注意它是不是不定式极限,其次是否满足洛必达法则的其他条件.比如这个简单的极限虽然是“”型,但若
16、不顾条件随便使用洛必达法则,就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论.五、求极限的巧用方法（一）利用归结原则计算数列极限 若已知数列的通项表达式,可转化为函数极限进行计算.即如果则有 例10 计算思路 用归结的原则把数列极限转化为函数的极限,再利用麦克劳林公式求的极限.该极限如果改用洛必达去做,就会导致极限越求越复杂的局面. 解:原式 .5（二）利用两个准则求极限 夹逼准则 准则 如果数列满足下列条件:1),当时,有2)则的极限存在,则 准则如果i)（或）时, ii) 则 .（时,结论同样成立）例11 ,求的极限解:因为单调递减,所以存在最大项和最小项 即 又因为 所以,注意 当在连
17、加或联乘的极限里,可通过各项或各因式的放大或缩小来获取所需的不等式. 单调有界准则 单调有界数列必有极限,而且极限唯一.利用单调有界准则求极限,关键先要证明数列的存在,然后根据数列的通项递推公式求极限.例12 证明下列数列的极限存在,并求极限. 证明 从这个数列构造来看显然是单调增加的.用归纳法可证 又因为, 所以得. 因为前面证明是单调增加的,两端除以得 因为,则, 从而 即是有界的.根据定理有极限,而且极限唯一.令,则 则.因为,解方程得 所以注意 由于单调递增数列必定有下界,因此对于单调递增数列只要证明数列有上界,该数列就一定收敛,同样的对于单调递减数列只要证明该数列有下界就可以了.（三
18、）利用导数的定义求极限导数的定义 设函数在有定义,在自变数的改变量是,相应函数的改变量是,如果存在,则此极限就称函数在点的导数,记为, 即.6在这种方法的运用过程中,首先要选好,然后把所求极限表示成在定点的导数.例13 求极限分析 在没有学习导数概念之前,常用的方法是消去分母中的零因子,针对本题的特征,对分子分母进行有理化便可求解.但在学习了导数定义之后,我们也可以直接运用导数的定义式来求解.解:令 则 （四）运用定积分的定义计算函数极限定积分定义是一个和极限:,如果所求极限能够化成定积分的和式形式,则所求极限可以是为某一区间上的定积分.例14 求解:把此极限化为某个积分和的形式,并转化为计算
19、定积分. （五）利用泰勒公式求极限对于求某些不定式的极限来说,应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便,使得原来的极限问题转化成多项式或有理分式的极限.下列为时在点局部的麦克劳林公式:1、2、3、4、5、上述展开式中的符号都有: 例15 求极限分析 当时,此函数为“”型未定式,满足洛必达法则求极限.若直接用洛必达法则就会发现计算过程十分复杂,稍不注意就会出错.先用泰勒公式将分子展开,再求极限就会简洁得多.解: 因此, 所以,注意 此方法必须熟记基本初等函数的展开式,才能灵活的运用.（六）对数法 如果函数（或数列）的极限比较难求,可以先考虑取此函数（或数列）的对数,求出此函数（或数列）的对数的极限,
20、然后求出原来函数（数列）的极限.7例16 求极限解: ,而 .设.当时. .有 .于是, 原式.（七）利用级数和数列的关系求极限 这是应用级数理论中某些结论求极限的方法.我们知道是级数收敛的必要条件.并且对于数列,对应一个级数,如果能判断此级数是收敛的,由级数收敛的柯西收敛准则得出,用此法的关键是求出的极限是0,换句话说,若一个数列的极限不是,就不能用此法.例17 求极限解:考虑级数 故级数 收敛,从而（八）利用中值定理求极限 1、微分中值定理 若函数满足 1)在连续.2)在可导;则在内至少存在一点,使例18 求.解: 设,在上用中值定理, 得:（其中）, 故当时, ,可知:原式 2、积分中值
21、定理 设函数在闭区间上连续; 在上不变号且可积,则在上至少有一点使得 （）例19 求 解: （九）利用压缩性条件求极限原理 设满足: 则收敛.例20 设,求解:首先证明的存在:由已知条件: 又显然 于是 故,于是存在,记为 则在上式中求极限:,即 又 ,故 于是:（舍去）.8（十）利用递推公式求极限理论 我们常常见到一些数列满足,我们可以利用的规律性来推得某些关系再结合其他求极限的方法,可求得的极限.例21 Fibonacci数列 那么证明:记 则 则 由可得: 于是, 显然 于是: 满足压缩性条件,故收敛于,在中两端取极限,且由,可知 即（十一）换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂时或不便
22、于观察时,可采用换元的方法加以变形,使之简化易求.例22 解:令,则有而所以（十二）用定理计算数列极限定理I （型）设是趋近于零的数列,是单调减少趋近于零的列,则当存在时,也存在，.定理II （型）设,且则当存在时,也存在,且.例23求极限,为自然数.解:令, 由定理,有 9例24 证明:证明 令 由定理（型） 注意 有些“无穷多项”极限问题,当不能利用恒等变换转化为有限多项式,若借助定理,就可迎刃而解了.但它有很大的局限性，那就是它只适用于数列.六、结束语 极限概念是数学分析中重要的基本概念,是研究变量数学的有力工具.准确掌握求极限的基本方法及特殊计算技巧,有利于我们更好地学习数学分析知识.
23、本文全面总结了求极限的方法,从求极限的一般方法和特殊方法两方面进行了详细论述了,从而,帮助我们解决求各类极限中所遇到的问题.当然还应注意,仅仅肤浅掌握以上方法,而不能透彻清晰地明白上述各种方法所需的条件也是不够的,必须要细心分析仔细甄选,选择出更适合的方法.这样不仅准确率高,而且还会省去许多不必要的麻烦,从而起到事半功倍的效果.要做到这点,就要求学习者吃透其精髓,明白其道理,悟出其窍门.想要达到这样的境界并非一日之功,必须要多做题善于总结,日积月累,才能熟能生巧,并在日后做题时得心应手.七、参考文献1刘玉琏、傅沛仁等数学分析讲义(上册、下册),高等教育出版社，2008.2陈纪修,於崇华等,数学分析,高等教育出版社,2002.3陆庆乐,高等数学,西安交通大学出版社,1998.4华东师范大学数学系.数学分析(上册、下册)，北京，高等教育出版社,2005.5李晓光,求极限的若干技巧,西安航空技术高等专科学校学报.2002.6杜吉佩、李广全.高等数学.北京高等教育出版社.2005.7刘虹,对极限方法的总结.长春大学学报,1999.8蒋志强,函数极限的几种特殊方法.华东师范大学学报,2009.9Wang Hong, Liu Qi before. Limit method for finding inquiry .2001.