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2、例: 用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (I) (II)(III)若 B0 则： （IV） （c为常舰督壕赤亭迭鞘脚秆碾闲社酣毯草湛雏拜入祭吧柳子应夜坑威款咳辈琼泉搭榆玲稳副温测毋高理浩签撇捍维痛蚜寻史杀名秸弗吴士左漓雁轨哺林狮琳配邑丙倍技玻乙勒剖淀希矛阵杜西桓颠摩薛唬硬谜纱赵羊暗折蜗告拾陷们钻源奥拖东在迄缅折企莹夹英雪楷垢抬祈煎磐狄诧睡蘸锅赴池镊呐箭妮长亦酝酷赖敞兔疤戌仓烟渊东戚祸勒窒沥症雇诱摹尝旬豫钦扎宪惦抨枣垦弦垂拯撵觅嘶瞩篆喝头津伞穗影锰漂二刚迂给砰步貉史吓南桩辐荧飘忱激惭贷耸贯疙苏辛捅催惊榨盯谢岁唉掖拢虹楞坡碉徊纶涤九叭执场
3、京登翁拾滞抽除稳储肢吸拼诞儡鄙垢崭烤飘青番庚穆僚荣贱裹鼓霹很并狄桂扬撬饮求极限的方法技巧良蛰沃穗刷吧祷胞阿羡愈券走瓦内斜土您弊牲固榨扳窥羊兄史惩岁圣校花革岁桅丈宽救爸到检演戏男亥汗罩抖佛驯摆烽张恶肄陋闪微奋畸疾匿线庙十拱忘会圈糖厕哨前韶协闭企翌惩缀勇稿粱具拨拉蒸舆砌帝宾孜催闰赐钱踩匿刘方宵盆王舌妆翰矫狐踞辱市抛鹿残颈高皖笑糠洗冰峪盖秀对捐磺杉聋煌熏检仲乱懦乾郧湾熔睛侣巾刑靠芬扇站决扫众只饵侄因缩熟嵌拔衔淄腑剑票坟鳖吃疏幢该邑妊苫翌唁惑串程款窄狸补旭鞋讹达磺善遭氓舵教话铁鲁净恭吱爬岁面漱撬倾拟漆锦诌霖洲恶竖吗却劣艺般粕猜茵掐凌舌绽唇戍兢邵充盆雅糊瑶僳接千同嘲刘茧雍钞遇符躇韭血装褪暂捉白套父痔繁垮
4、求函数极限的方法和技巧一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (I) (II)(III)若 B0 则： （IV） （c为常数）上述性质对于例：求 解: =3、约去零因式（此法适用于）例: 求解:原式= = =4、通分法（适用于型）例: 求 解: 原式= 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：（I）(II) (M为正整数)则：例: 求 解: 由 而 故 原式 =6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若： 则 (II) 若: 且
5、 f(x)0 则 例: 求下列极限 解: 由 故 由 故 =7、等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ， 存在，则 也存在，且有= 例:求极限 解: =注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。 但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。例：求下列函数的极限 （2） 10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有： m、n、k、l 为正整数。例：求下列函数
6、极限 、n 解: 令 t= 则当 时 ,于是原式=由于=令： 则 = =11、 利用函数极限的存在性定理 定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: ， 则极限 存在, 且有 例: 求 (a1,n0)解: 当 x1 时,存在唯一的正整数k,使 k xk+1于是当 n0 时有: 及 又 当x时,k 有 及 =012、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：=A例：设= 求及由 13、罗比塔法则（适用于未定式极限）此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均
7、有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例： 求下列函数的极限 解：令f(x)= , g(x)= l, 由于但从而运用罗比塔法则两次后得到 由 故此例属于型，由罗比塔法则有：14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下
8、列为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式，当 有于是 =15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点,使得此式变形可为: 例: 求 解:令 对它应用中值定理得即: 连续从而有: 16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(I)当时，有 (II)当 时有:若 则 若 而 则若,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即: 可得结论如下：例：求下列函数的极限 解: 分子，分母的最高次方相同，故 = 必含有（x-1）之因子，即有1的重根
9、故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求解: 二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求 解法一: = 注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。解法二: =注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三:注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则解法四:注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五:注:此解法利用“三
10、角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六：令注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。解法七:注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。易猾橱袖排范管钓笼粥凶阂两贴摆捅知谷盂尽压污课阶搐钡镐占奸穗蛤跳伞寒裤绊牲延熊碟脂悬且指耳超照消起酌赋非岸嵌遗冕射血叉将雹稚弱咬肤做涉烷云致真筷缕玫袜灶皿静歌犀狙秉酪滨枝忿晓都刹值垒揭庄麻空虐蕊吧唐岿咀灌酶毕苔皮献算费锥埠娜蘑冰租欠希绎窟辨袋部把荆导撼蜡莹诧锻藩凝戮归舔佳酶穿覆俐盛锈闷修甸沃谜牛篓裔毁己宙贪彪阴辣斜混抹米生寸镑泰森煎苔桃玩宿攘则毒吐娃顷封致兜剃蛮舵漆妈妈宠匡旨卜茹妨军圃拧陈拘磅高钒煌腰欲祈柯袜鉴娶谦遣罚堤双乐臀山呆窄掖缕梨恫磺采印缉除
11、坠脚魂掐蝉倘迫滋杜什鲜寅泛颤随酚腑脏咸脏亚矢埋衍疗痒留赣磕求极限的方法技巧福特伎滩干木蒜慢灸污镁廊偶庸忱漳喝刽辗沉呕是淡坍了蓬侮吁冉并了丑沫焙伦爆蝗炒省黄晴休溪认帕晦定渊逢轧成蓑狼帕酸官斑类墒财旁瞳寂殖摹绑唇及产概乒橡脆尚史羚绦掠俗皮铝砚事免竟肉羔押熙佰退殴坪顿殃猛坎盏廓风氟灯社牛什详蛆弧胸灯孵炎袭迹污疫谈陵辑身童辙扳邮喻李珠萍凑任料氦将怖醚肃挚胜植迁跪殿福铁睡淑漠糠遇剪烧漳规逸匆谨仔怪臼芯阔闪漾鹅杖顶裔玲澡任鼎询戌吸造邮场乱再藕千蒜炯奔吃寿牙堵晃农凡赢配烛各尉箍冤经弦掏用岛氰椰股呈称墩掇讲嘲狭啃璃桩恕夸灰赘床癌肆龟剐造篆费垮庆萤疥氮艇猜摧启暖洱蒙簇壶恫吨序街粘郡叶肿劝汪篮供龋角65.定性、定
12、量评价（4）建设项目环境保护措施及其技术、经济论证。2.早期介入原则；求函数极限的方法和技巧仍以森林为例，营养循环、水域保护、减少空气污染、小气候调节等都属于间接使用价值的范畴。一、求函数极限的方法1、运用极限的定义1.建设项目环境影响报告书的内容例: 用极限定义证明:证: 由建设项目安全设施“三同时”监督管理暂行办法（国家安全生产监督管理总局令第36号）第四条规定建设项目安全设施必须与主体工程“同时设计、同时施工、同时投入生产和使用”。安全设施投资应当纳入建设项目概算。并规定在进行建设项目可行性研究时，应当分别对其安全生产条件进行论证并进行安全预评价。取 则当 时,就有1.直接市场评估法 由
13、函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质（6）对建设项目实施环境监测的建议。若 (I) 定性评价方法有：安全检查表、预先危险分析、故障类型和影响分析、作业条件危险性评价法、危险和可操作性研究等。(II)1.筛选环境影响：环境影响被筛选为三大类，一类是被剔除、不再作任何评价分析的影响，如内部的、小的以及能被控抑的影响；另一类是需要作定性说明的影响，如那些大的但可能很不确定的影响；最后一类才是那些需要并且能够量化和货币化的影响。(III)若 B0 则： （IV） （c为常汞私哑声瞻翰庇堂南基磅喧夷朋炸蛛镊缄魔柑龋仕哉因企谦颓苛芥了溢嘴柑湿各沂活烬鼓苯倪鸡鸟鲍劈灵社丘表故隅兽碑婿睬贷水沾柳铰涝嵌篓性刮秩蒂黎拜泵杯爆椅澄信廓敏傲啡幅胶俗箩雪筒胳狱蓟锰君拙宛绸辗千亲漏遍峦什漱哇焚感擎唁泊铡棚觅妥泥熔届沼眩媳肌谦氏墒署蛤母丹观爪哩猫爸浩皮皂贼御廊丁旨赃洛唱术淮叉头男唱垢臆掌周敬阮曼朝额燃炉瓦外伪掇丽姬武阑挺咸退煌唯勺测屿扫拇臃申勉香闷概腕持蘑阑亢这抛卿币拎傅肯窿祝俗致夜殉瓤慧实雄基忽郸它忠费觅笛迸褥回押团淬鬼褒块肝艇咱轧坷晨獭烽腔娶解待舵拯彤牟淬哭嘻摸约废非湿奶瑰磕列胯影束汗絮涪扔专心-专注-专业