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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD AB ，EF AB ，EG CO 求证： CD GF （初二）第 1 题图第 2 题图2、已知：如图，P是正方形 ABCD内点， PAD PDA 150求证： PBC是正三角形（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形， A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、 DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）第 3 题图第 4 题图4、已知：如图，在四边形ABCD中， AD BC ，M 、N 分别是 AB 、 CD的中点， AD 、BC的延长
2、线交MN于 E、F求证： DEN F经典难题（二）1、已知： ABC中， H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM BC于 M （1）求证： AH 2OM ；（2）若 BAC 600，求证： AH AO （初二）A N F E C D M B D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A P C D B A F G C E B O D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料
3、第 1 题图第 2 题图2、设 MN是圆 O外一直线，过O作 OA MN于 A，自 A引圆的两条直线，交圆于B、C及 D、E，直线 EB及 CD分别交 MN于 P、Q求证： AP AQ （初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O的弦，过MN 的中点 A任作两弦 BC 、DE ，设 CD 、EB分别交 MN 于 P、 Q 求证： AP AQ （初二）P C G F B Q A D E O Q P B D E C N M A G A O D B E C Q P N M A D H E M C B O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -
4、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料第 3 题图第 4 题图4、如图，分别以ABC的 AC和 BC为一边，在 ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG ，点 P是 EF的中点求证：点P到边 AB的距离等于AB的一半（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形， DE AC ，AEAC ，AE与 CD相交于 F求证： CE CF （初二）第 1 题图第 2 题图2、如图，四边形ABCD 为正方形， DE AC ，且 CE CA ，直线
5、EC交 DA延长线于F求证： AE AF （初二）3、设 P是正方形ABCD 一边 BC上的任一点， PFAP ，CF平分 DCE E D A C B F A F D E C B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料求证： PA PF （初二）第 3 题图第 4 题图4、如图， PC切圆 O于 C，AC为圆的直径， PEF为圆的割线， AE 、AF与直线 PO相交于 B 、D求证： AB DC ，
6、BCAD （初三）经典难题（四）1、已知： ABC是正三角形， P是三角形内一点，PA 3，PB 4，PC 5求： APB的度数（初二）P A D C B A P C B O D B F A E C P F E P C B A D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料第 1 题图第 2 题图2、设 P是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB （初二）3、设 ABC
7、D 为圆内接凸四边形，求证：AB CD AD BC AC BD （初三）第 3 题图第 4 题图4、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC 、AB上的一点， AE与 CF相交于 P ，且AECF 求证： DPA DPC （初二）经典难题（五）1、设 P是边长为1的正 ABC内任一点， LPA PB PC ，求证：L 2ACBPDAPCBF P D E C B A C B D A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料
8、收集于网络，仅供参考学习资料第 1 题图第 2 题图2、P是边长为1 的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC的最小值3、P为正方形ABCD 内的一点，并且PA a，PB 2a，PC 3a，求正方形的边长第 3 题图第 4 题图4、如图， ABC中， ABC ACB 800，D、E分别是 AB 、AC上的点， DCA 300， EBA 200，求 BED的度数经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD AB ，EF AB ，EG CO 求证： CD GF 。 （初二）EDCBAACBPD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
9、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料证一：连接OE 。EG CO ，EF AB ，O、G 、 E、F四点共圆，且OE为直径。GF=OE sin GOF 。又 OCD 中， CD=OC sin COD 。 GOF+ COD=180 ， OC= OE 为 O半径，CD GF。证二：连接OE ，过 G作 GH AB于 H。EG CO ，EF AB，O、G 、E、F四点共圆，且OE为直径。 GEO= HFG 。又 EGO= FHG=Rt ， GEO HFG 。 GF:OE=GH
10、:OG。又 GH CD ， GH:CD=OG:OC，即 GH:OG=CD:OC， GF:OE=CD:OC ，而 OE=OC ， CD GF 。2、已知：如图，P是正方形 ABCD内点， PAD PDA 150求证： PBC是正三角形（初二）证明：A P C D B E A F G C E B O D A F G C E B O D H 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3、如图，已知四边形ABC
11、D 、A1B1C1D1都是正方形， A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、 DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD中， AD BC ，M 、N 分别是 AB 、 CD的中点， AD 、BC的延长线交MN于 E、F求证： DEN FA N F C D M D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络
12、，仅供参考学习资料经典难题（二）1、已知： ABC中， H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM BC于 M （1）求证： AH 2OM ；（2）若 BAC 600，求证： AH AO （初二）FMHOABCDEMHOABCDEF2、设 MN是圆 O外一直线，过O作 OA MN于 A，自 A引圆的两条直线，交圆于B、C及 D、E，直线 EB及 CD分别交 MN于 P、Q求证： AP AQ （初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：G A O D B E C Q P N M D M C B O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
13、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料设 MN 是圆 O的弦，过MN 的中点 A任作两弦 BC 、DE ，设 CD 、EB分别交 MN 于 P、 Q 求证： AP AQ （初二）4、如图，分别以ABC的 AC和 BC为一边，在 ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG ，点 P是 EF的中点求证：点P到边 AB的距离等于AB的一半（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形， DE AC ，AEAC ，AE与 CD相交于 F求证： CE CF （初二）2
14、、如图，四边形ABCD 为正方形， DE AC ，且 CE CA ，直线 EC交 DA延长线于FA F D E C B P C G F B Q A D E O Q P B D E C N M A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料求证： AE AF （初二）3、设 P是正方形ABCD 一边 BC上的任一点， PFAP ，CF平分 DCE 求证： PA PF （初二）4、如图， PC切圆 O于
15、C，AC为圆的直径， PEF为圆的割线， AE 、AF与直线 PO相交于 B 、D求证： AB DC ，BCAD （初三）F E P C B A E D A C B F D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料经典难题（四）1、已知： ABC是正三角形， P是三角形内一点，PA 3，PB 4，PC 5求： APB的度数（初二）2、设 P是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证：
16、PAB PCB （初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB CD AD BC AC BD （初三）P A D C B A P C B O D B F A E C P 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料4、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC 、AB上的一点， AE与 CF相交于 P ，且AECF 求证： DPA DPC （初二）经典难题（五）1、设 P是边长为1的正 A
17、BC内任一点， LPA PB PC ，求证：L 2F P D E C B A C B D A APCB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2、已知： P是边长为1 的正方形 ABCD 内的一点，求PA PB PC的最小值3、P为正方形ABCD 内的一点，并且PA a，PB 2a，PC 3a，求正方形的边长ACBPDACBPD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
18、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料4、如图， ABC中， ABC ACB 800，D、E分别是 AB 、AC上的点， DCA 300， EBA 200，求 BED的度数经典难题（一）1. 如下图做GH AB,连接 EO 。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG, 即 GHF OGE, 可得EOGF=GOGH=COCD, 又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。2. 如下图做 DGC 使与 ADP全等，可得 PDG 为等边，从而可得DGC APD CGP,
19、得出 PC=AD=DC, 和DCG= PCG 150 所以 DCP=300 ，从而得出 PBC是正三角形EDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E. 连接 C2F与 A2E并延长相交于 Q点，连接 EB2并延长交 C2Q于 H点，连接 FB2并延长交 A2Q于 G点，由 A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ，EB2=12AB=12
20、BC=FC1 ，又GFQ+ Q=900和GEB2+Q=900, 所以 GEB2=GFQ又 B2FC2=A2EB2，可得 B2FC2 A2EB2，所以 A2B2=B2C2，又 GFQ+ HB2F=900和GFQ= EB2A2 , 从而可得 A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料4.如下图连接 AC并取其中点
21、Q ，连接 QN和 QM ，所以可得QMF= F， QNM= DEN和QMN= QNM ，从而得出DEN F。经典难题（二）1.(1) 延长 AD到 F连 BF ，做 OGAF, 又 F=ACB= BHD ，可得 BH=BF,从而可得HD=DF ，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料(2) 连接 OB ，OC,既得BOC=12
22、00，从而可得 BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。3. 作 OFCD ，OGBE ，连接 OP ，OA ，OF ，AF，OG ，AG ，OQ 。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG=，由此可得 ADF ABG ，从而可得 AFC= AGE 。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC= AOP和 AGE= AOQ ，AOP= AOQ ，从而可得AP=AQ 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 41 页 - - - - - - - -
23、 - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料4. 过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG ，CI，FH 。可得 PQ=2EGFH+。由 EGA AIC，可得 EG=AI ，由 BFH CBI，可得 FH=BI。从而可得PQ=2AIBI+= 2AB，从而得证。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料经典难题（三）1. 顺时针旋转 ADE ，到 ABG ，连接 CG. 由于ABG= ADE=
24、900+450=1350从而可得B，G，D在一条直线上，可得AGB CGB 。推出 AE=AG=AC=GC，可得 AGC 为等边三角形。AGB=300，既得 EAC=300，从而可得 A EC=750。又 EFC= DFA=450+300=750. 可证： CE=CF 。2. 连接 BD作 CH DE ，可得四边形CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH，可得 CEH=300，所以 CAE= CEA= AED=150，又 FAE=900+450+150=1500，从而可知道F=150，从而得出AE=AF 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢
25、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3. 作 FGCD ，FEBE ，可以得出GFEC 为正方形。令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=XY=ZYXZ-+，可得 YZ=XY-X2+XZ ，即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出 ABP PEF ，得到 PA PF ，得证。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -
26、-第 21 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料经典难题（四）1. 顺时针旋转ABP 600，连接 PQ ，则 PBQ是正三角形。可得PQC是直角三角形。所以 APB=1500。2. 作过 P点平行于 AD的直线，并选一点E，使 AE DC ，BE PC. 可以得出ABP= ADP= AEP ，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。可得 BAP= BEP= BCP ，得证。3. 在 BD取一点 E，使BCE= ACD ，既得 BEC ADC ，可得：BEBC=ADAC，即 AD?BC=BE ?AC ，精品资料 - - - 欢迎下载 -
27、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料又 ACB= DCE ，可得 ABC DEC ，既得ABAC=DEDC，即 AB ?CD=DE ?AC ，由 +可得 : AB ?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= AC BD ，得证。4. 过 D作 AQAE ，AG CF ，由ADES=2ABCDS=DFCS，可得：2AE PQ=2AE PQ，由 AE=FC 。可得 DQ=DG ，可得 DPA DPC （角平分线逆定理） 。精品资料
28、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料经典难题（五）1. （1）顺时针旋转BPC 600，可得 PBE为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ，PE ，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L=；（2）过 P点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D，F。由于APD ATP= ADP ，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大L ATP
29、= ADP ，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大L 2 ；由（ 1）和（ 2）既得：L2 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 37 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2. 顺时针旋转 BPC 600，可得 PBE为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ，PE ，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。既得 AF=213(1)42+
30、= 23+= 42 32+ = 2( 31)2+ = 2( 31)2+ = 622+。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 38 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3. 顺时针旋转 ABP 900，可得如下图：既得正方形边长L = 2222(2)()22a+ = 52 2 a+。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 39 页，共 41 页
31、 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料4. 在 AB上找一点 F，使BCF=600，连接 EF ， DG ，既得 BGC为等边三角形，可得 DCF=100 , FCE=200 , 推出 ABE ACF ，得到 BE=CF ， FG=GE 。推出： FGE为等边三角形，可得 AFE=800，既得： DFG=400又 BD=BC=BG ，既得 BGD=800，既得 DGF=400推得： DF=DG ,得到： DFE DGE ，从而推得：FED= BED=300。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 40 页，共 41 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 41 页，共 41 页 - - - - - - - - - -