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1、第 1 页 共 18 页 经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO 求证：CDGF（初二）2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内一点，PADPDA150 求证：PBC 是正三角形（初二）3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点 求证：四边形 A2B2C2D2是正方形（初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC的延长线交 MN 于 E、F 求证：DENF A P C D B A F G C
2、E B O D D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B 第 2 页 共 18 页 P C G F B Q A D E 经 典 难 题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且 OMBC 于 M （1）求证：AH2OM；（2）若BAC600，求证：AHAO（初二）2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B、C及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q 求证：APAQ（初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设
3、MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN于 P、Q 求证：APAQ（初二）4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFG，点 P 是 EF 的中点 求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半（初二）A D H E M C B O G A O D B E C Q P N M O Q P B D E C N M A 第 3 页 共 18 页 经 典 难 题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F 求证：CECF（初二）2、如图，四
4、边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F 求证：AEAF（初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE 求证：PAPF（初二）4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于B、D求证：ABDC，BCAD（初三）D A F D E C B E D A C B F F E P C B A O D B F A E C P 第 4 页 共 18 页 经 典 难 题（四）1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5 求：APB 的度
5、数（初二）2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA 求证：PABPCB（初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且 AECF求证：DPADPC（初二）A P C B P A D C B C B D A F P D E C B A 第 5 页 共 18 页 经 典 难 题（五）1、设 P 是 边 长 为 1 的 正 ABC内 任 一 点，L PA PB PC，求 证：L2 2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 P
6、APBPC 的最小值 3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长 A P C B A C B P D A C B P D 第 6 页 共 18 页 4、如图，ABC 中，ABCACB800，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA300，EBA200，求BED 的度数 经 典 难 题（一）1.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。2.如下图做DGC 使与ADP 全等，可得PDG 为等边，从而可得 DGCAPDCGP,得出
7、PC=AD=DC,和DCG=PCG150 所以DCP=300，从而得出PBC 是正三角形 E D C B A 第 7 页 共 18 页 3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F与 A2E并延长相交于 Q点，连接 EB2并延长交 C2Q于 H点，连接 FB2并延长交 A2Q于 G点，由 A2E=12A1B1=12B1C1=FB2，EB2=12AB=12BC=FC1，又GFQ+Q=900和 GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ 又B2FC2=A2EB2，可得B2FC2A2EB2，所以 A2B2=B2C2，又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2,从而可得A2B
8、2 C2=900，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接 AC并取其中点 Q，连接 QN和 QM，所以可得QMF=F，QNM=DEN 和QMN=QNM，从而得出DENF。第 8 页 共 18 页 经 典 难 题（二）1.(1)延长 AD到 F连 BF，做 OGAF,又F=ACB=BHD，可得 BH=BF,从而可得 HD=DF，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB，OC,既得BOC=1200，从而可得BOM=600,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。3.作 OFCD，OGBE，连接 OP，OA，
9、OF，AF，OG，AG，OQ。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG=，第 9 页 共 18 页 由此可得ADFABG，从而可得AFC=AGE。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC=AOP 和AGE=AOQ，AOP=AOQ，从而可得 AP=AQ。4.过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=2EGFH+。由EGAAIC，可得 EG=AI，由BFHCBI，可得 FH=BI。从而可得PQ=2AIBI+=2AB，从而得证。经 典 难 题（三）1.顺时针旋转ADE，到ABG，连接 CG.由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得 B
10、，G，D 在一条直线上，可得AGBCGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC 为等边三角形。第 10 页 共 18 页 AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。又EFC=DFA=450+300=750.可证：CE=CF。2.连接 BD作 CHDE，可得四边形 CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH，可得CEH=300，所以CAE=CEA=AED=150，又FAE=900+450+150=1500，从而可知道F=150，从而得出 AE=AF。3.作 FGCD，FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y，BP=X,CE=Z,可得 PC=Y-X。ta
11、nBAP=tanEPF=XY=ZYXZ-+，可得 YZ=XY-X2+XZ，即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得 X=Z，得出ABPPEF，得到 PAPF，得证。第 11 页 共 18 页 经 典 难 题（四）1.顺时针旋转ABP 600，连接 PQ，则PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以APB=1500。第 12 页 共 18 页 2.作过 P点平行于 AD的直线，并选一点 E，使 AE DC，BE PC.可以得出ABP=ADP=AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等）。可得BAP=BEP=BCP，得证。3.在 BD取一点 E，使BCE=ACD，既得BECADC，可得：B
12、EBC=ADAC，即 AD BC=BE AC，又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得 ABAC=DEDC，即 AB CD=DE AC，由+可得:AB CD+AD BC=AC(BE+DE)=AC BD，得证。第 13 页 共 18 页 4.过 D作 AQAE，AGCF，由ADESV=2ABCDSY=DFCSV，可得：2AE PQg=2AE PQg，由 AE=FC。可得 DQ=DG，可得DPADPC（角平分线逆定理）。经 典 难 题（五）1.（1）顺时针旋转BPC 600，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，第 14
13、页 共 18 页 即如下图：可得最小 L=；（2）过 P点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D，F。由于APDATP=ADP，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FC PC 又 DF=AF 由可得：最大 L 2；第 15 页 共 18 页 由（1）和（2）既得：L2。2.顺时针旋转BPC 600，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。第 16 页 共 18 页 既得 AF=213(1)42+=23+=42 32+=2(31)2+=2(31)2+=622+。3.顺时针旋转ABP 900，可得如下图：第 17 页 共 18 页 既得正方形边长 L=2222(2)()22a+g=52 2 a+g。4.在 AB上找一点 F，使BCF=600，连接 EF，DG，既得BGC 为等边三角形，可得DCF=100,FCE=200,推出ABEACF，得到 BE=CF，FG=GE。推出：FGE 为等边三角形，可得AFE=800，既得：DFG=400 又 BD=BC=BG，既得BGD=800，既得DGF=400 推得：DF=DG,得到：DFEDGE，从而推得：FED=BED=300 。第 18 页 共 18 页