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1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II新课标)第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013课标全国，文1)已知集合Mx|3x1，N3，2，1,0,1，则MN()A2，1,0,1 B3，2，1,0C2，1,0 D3，2，1答案：C解析：由题意可得，MN2，1,0故选C.2(2013课标全国，文2)()A B2 C D1答案：C解析：1i，|1i|.3(2013课标全国，文3)设x，y满足约束条件则z2x3y的最小值是()A7 B6 C5 D3答案：B解析：如图所示，约束条件所表示的
2、区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为，先画出l0：y，当z最小时，直线在y轴上的截距最大，故最优点为图中的点C，由可得C(3,4)，代入目标函数得，zmin23346.4(2013课标全国，文4)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，则ABC的面积为()A BC D答案：B解析：A(BC)，由正弦定理得，则，SABC.5(2013课标全国，文5)设椭圆C：(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A B C D答案：D解析：如图所示，在RtPF1F2中，|F1F2|2c，设|PF2|x，则|PF1|2x，由tan
3、 30，得.而由椭圆定义得，|PF1|PF2|2a3x，.6(2013课标全国，文6)已知sin 2，则()A B C D答案：A解析：由半角公式可得，.7(2013课标全国，文7)执行下面的程序框图，如果输入的N4，那么输出的S()ABCD答案：B解析：由程序框图依次可得，输入N4，T1，S1，k2；，k3；，S，k4；，k5；输出.8(2013课标全国，文8)设alog32，blog52，clog23，则()Aacb BbcaCcba Dcab答案：D解析：log25log231，log2310，即log231log32log520，cab.9(2013课标全国，文9)一个四面体的顶点在空
4、间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像为下图：则它在平面zOx的投影即正视图为，故选A.10(2013课标全国，文10)设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3|BF|，则l的方程为()Ayx1或yx1By或yCy或yDy或y答案：C解析：由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x1.当直线l的斜率大于0时，如图所示，过A，B两点分别向准线x1作垂线，垂足分别为
5、M，N，则由抛物线定义可得，|AM|AF|，|BN|BF|.设|AM|AF|3t(t0)，|BN|BF|t，|BK|x，而|GF|2，在AMK中，由，得，解得x2t，则cosNBK，NBK60，则GFK60，即直线AB的倾斜角为60.斜率ktan 60，故直线方程为y当直线l的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y，故选C.11(2013课标全国，文11)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0答案：C解析：若
6、x0是f(x)的极小值点，则yf(x)的图像大致如下图所示，则在(，x0)上不单调，故C不正确12(2013课标全国，文12)若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)答案：D解析：由题意可得，(x0)令f(x)，该函数在(0，)上为增函数，可知f(x)的值域为(1，)，故a1时，存在正数x使原不等式成立第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13(2013课标全国，文13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数
7、，其和为5的概率是_答案：0.2解析：该事件基本事件空间(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共有10个，记A“其和为5”(1,4)，(2,3)有2个，P(A)0.2.14(2013课标全国，文14)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.答案：2解析：以为基底，则，而，.15(2013课标全国，文15)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_答案：24解析：如图所示，在正四棱锥OABCD中，VOABCDS正方形ABCD|OO1|OO1|，|OO1|，|AO1
8、|，在RtOO1A中，OA，即，S球4R224.16(2013课标全国，文16)函数ycos(2x)()的图像向右平移个单位后，与函数y的图像重合，则_.答案：解析：ycos(2x)向右平移个单位得，cos(2x)，而它与函数的图像重合，令2x2x2k，kZ，得，kZ.又，.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013课标全国，文17)(本小题满分12分)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.解：(1)设an的公差为d.由题意，a1a13，即(a110d)2a1(a112d)于是d(2a
9、125d)0.又a125，所以d0(舍去)，d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.18(2013课标全国，文18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB，求三棱锥CA1DE的体积解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)因为ABC
10、A1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，得ACB90，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DE1.19(2013课标全国，文19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度
11、内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率解：(1)当X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000.当X130,150时，T50013065 000.所以(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.20(2013课标全国，文20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的
12、距离为，求圆P的方程解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2.从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.21(2013课标全国，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)x2ex.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exx(x2)当x(，0)或x(2，)时，f(x)0；当x(0,2)
13、时，f(x)0.所以f(x)在(，0)，(2，)单调递减，在(0,2)单调递增故当x0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)0；当x2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)4e2.(2)设切点为(t，f(t)，则l的方程为yf(t)(xt)f(t)所以l在x轴上的截距为m(t).由已知和得t(，0)(2，)令h(x)(x0)，则当x(0，)时，h(x)的取值范围为，)；当x(，2)时，h(x)的取值范围是(，3)所以当t(，0)(2，)时，m(t)的取值范围是(，0)，)综上，l在x轴上的截距的取值范围是(，0)，)请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将
14、所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分22(2013课标全国，文22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值解：(1)因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA.由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA
15、90，因此CA是ABC外接圆的直径(2)连结CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.23(2013课标全国，文23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解：(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点24(2013课标全国，文24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcca；(2)1.解：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为，故2(abc)，即abc.所以1.专心-专注-专业