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1、精选优质文档-倾情为你奉上初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”【出题背
2、景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小连AB，与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为AB【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小作B关于l的对称点B连A B，与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为A B【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P和P，连PP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短PM+MN+P
3、N的最小值为线段PP的长【问题4】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q和P连QP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP的长【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线，在、，上分别求点M、N，使MN，且AM+MN+BN的值最小将点A向下平移MN的长度单位得A，连AB，交于点N，过N作NM于M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小将点A向右平移个长度单位得A，作A关于的对称点A， 连AB，交直线于点N，
4、将N点向左平移个单位得M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题7】作法图形原理在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小作点P关于的对称点P，作PB于B，交于A点到直线，垂线段最短PA+AB的最小值为线段PB的长【问题8】作法图形原理A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小作点A关于的对称点A，作点B关于的对称点B，连AB交于M，交于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最小连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0【问题10】作法图
5、形原理在直线l上求一点P，使的值最大作直线AB，与直线l的交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB的最大值AB【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大作B关于l的对称点B作直线A B，与l交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB最大值AB【问题12】“费马点”作法图形原理ABC中每一内角都小于120，在ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小所求点为“费马点”，即满足APBBPCAPC120以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC最小值CD一、基础过关1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为,高为,一只蚂蚁要
6、从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程 .2.如右图是一个长方体木块，已知，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。3.正方形的边长为，在上，且，是上的一动点，的最小值为 。4.在菱形中，点是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值为 5.如图，在中，是边的中点，是边上一动点，则的最小值为 第5题第4题第2题第3题第1题ABCD6. 是O的直径，是O的半径，点在上，为的三等分点，点是半径上的一个动点，则的最小值为 7.如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD18cm，则PMN的周长为 8.如图，AO
7、B30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是 9.如图，在锐角ABC中，AB4，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 第8题第9题第7题第6题二、例题讲解例1：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标yxODEABCDOxyBEPAC例2：如图，抛物
8、线的顶点P的坐标为，交x轴于A、B两点，交y轴于点（1）求抛物线的表达式（2）把ABC绕AB的中点E旋转180，得到四边形ADBC判断四边形ADBC的形状，并说明理由（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由例3：如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标例4：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形
9、ABCD周长最短时,求。例5：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？练习1：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。练习2：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米（精确到0
10、.01米）练习3：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？三、课后提升ADEPBC1如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D2如图，在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，若将ACD绕点A旋转，当AC、AD分别与BC、CD交于点E、F，则CEF的周长的最小值为（ ）A2BCD43四边形ABCD中，BD90，C70，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN的周长最小时，AMN+ANM
11、的度数为（ ）A120 B130 C110 D1404如图，三角形ABC中，OABAOB15，点B在x轴的正半轴，坐标为B(，0)OC平分AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MAMN的最小值是_5已知A（2，4）、B（4，2）C在轴上，D在轴上，则四边形ABCD的周长最小值为 ，此时 C、D两点的坐标分别为 6已知A（1，1）、B（4，2）（1）P为轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；（2）P为轴上一动点，求的值最大时P点的坐标；（3）CD为轴上一条动线段，D在C点右边且CD1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；7点C为AOB内一点（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使CDE的周长最小，请画出图形； （2）在（1）的条件下，若AOB30，OC10，求CDE周长的最小值和此时DCE的度数8（1）如图，ABD和ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CFCD；（2）在ABC中，ABC30，AB6，BC8，A，C均小于120，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由 9荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？专心-专注-专业