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1、初中数学竞赛专题讲解最短路径问题初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题概述】【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题-求图中所有的最短路径【问题原型】【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴
2、对称”，“平移”【出题背景】【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题十二个基本问题】【问题【问题 1 1】AlB作法作法A图形图形原理原理连 AB，与 l 交点即为 PPBl两点之间线段最短PA+PB 最小值为 AB在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小【问题【问题 2 2】“将军饮马”“将军饮马”ABl作法作法A作 B 关于 l 的对称点 B连 A B，与 l 交点即为 P图形图形原理原理BPBl两点之间线段最短PA+PB 最小值为 A B 在直
3、线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小【问题【问题 3 3】l1作法作法P分别作点 P 关于两直线的对称点 P和 P ，连 P图形图形l1原理原理Pl2MPNPl2两点之间线段最短PM+MN+PN 的最小值为线段 P P 的长P，与两直线交点即为 M，N在直线l1、l2上分别求点M、N，使PMN 的周长最小【问题【问题 4 4】l1QPl2作法作法Q图形图形l1QPNPl2原理原理分别作点 Q、P 关于直线l1、l2的对称点 Q和P 连 Q P，与两直线交点即为 M，NM两点之间线段最短四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P P 的长在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN 的
4、周长最小-1-(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第1页(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第1页【问题【问题 5 5】“造桥选址”“造桥选址”AMNBmn作法作法A图形图形原理原理将点A向下平移MN的长度单位得 A，连 A B，交n于点 N，过 N 作 NMm于 MAMNB两点之间线段最短mnAM+MN+BN 的最小值为A B+MN直线mn，在m、n，上分别求点 M、N，使 MNm，且 AM+MN+BN 的值最小【问题【问题 6 6】AB作法作法将点A向右平移a个长度A图形图形AB原理原理MaNl单位得 A，作A关于l的对称点 A，连 A B，
5、交直线l于点 N，将 N 点向左平移a个单位得 MAMNl两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为A B+MN在直线l上求两点 M、N（M在左），使MN a，并使AM+MN+NB 的值最小【问题【问题 7 7】l1Pl2作法作法P图形图形l1Pl2原理原理作点 P 关于l1的对称点P，作 P Bl2于 B，交l2于 A点到直线，垂线段最短PA+AB 的最小值为线段 PB的长AB在l1上求点 A，在l2上求点B，使 PA+AB 值最小【问题【问题 8 8】l1NAMBl2作法作法图形图形Bl1ANMABl2原理原理作点 A 关于l2的对称点A，作点 B 关于l1的对称点 B，连 A B 交l
6、2于M，交l1于 N两点之间线段最短AM+MN+NB 的最小值为线段 AB的长A 为l1上一定点，B 为l2上一定点，在l2上求点 M，在l1上 求 点N，使AM+MN+NB 的值最小【问题【问题 9 9】ABl作法作法A图形图形原理原理垂直平分上的点到线段两B连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 PP端点的距离相等l在直线 l 上求一点 P，使PA PB的值最小最小PA PB0-2-(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第2页(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第2页【问题【问题 1010】作法作法图形图形原理原理ABA三角形任意两
7、边之差小于l作直线 AB，与直线 l 的交B第三边PA PBAB点即为 Pl在直线 l 上求一点 P，使PPA PB的最大值ABPA PB的值最大最大【问题【问题 1111】作法作法图形图形原理原理AA三角形任意两边之差小于l作 B 关于 l 的对称点 BBB PBAB 作直线 A B，与 l 交点即l第三边PA为 PBP在直线 l 上求一点 P，使PA PB最大值AB PA PB的值最大最大【问题【问题 1212】“费马点”“费马点”作法作法图形图形原理原理A所求点为“费马点”，即满足APBBPCDABECAPC120以 AB、AC两点之间线段最短为边向外作等边ABD、PPA+PB+PC 最
8、小值CDABC 中每一内角都小于ACE，连 CD、BE 相交BC120，在ABC 内求一点于 P，点 P 即为所求P，使PA+PB+PC 值最小一、基础过关一、基础过关1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的 A 处到内壁的 B 处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程 .2.如右图是一个长方体木块，已知AB 3,BC 4,CD 2，假设一只蚂蚁在点 A 处，它要沿着木块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。3.正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM 2，N是AC上的一动点，DN MN的最小值为。4.在菱形ABCD中，AB 2，BAD 600，点E是AB的中点，
9、P是对角线AC上的一个动点，则PE PB的最小值为5.如图，在ABC中，AC BC 2，ACB 900，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC ED的最小值为第 1 题第 2 题第 3 题D第 4 题DCPACAB6.ABA是O 的直径，BEAB 2 ABB，OC是O 的半径，OC，点D在AC上，图(2)D为AC的三等分点，点P是半径OC上的一个动点，则AP PD的最小值为-3-第 5 题(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第3页(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第3页7.如图，点P 关于 OA、OB 的对称点分别为 C、D，连接CD，交
10、OA 于 M，交OB 于 N，若CD18cm，则PMN的周长为8.如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是9.如图，在锐角ABC中，AB42，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是ADOCPB图(3)CDMANB第 6 题第 7 题第 8 题第 9 题二、例题讲解二、例题讲解例 1：已知：直线y 11x1与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y x2bxc与直线交于A、E两22点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在x
11、轴上移动，当PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM MC|的值最大，求出点M的坐标y例 2：如图，抛物线y ax bxc的顶点P的坐标为1，2EADO BCx4 3，交x轴于A、B两点，交y轴于点3-4-yD(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第4页(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第4页C(0，3)（1）求抛物线的表达式（2）把ABC绕AB的中点E旋转 180，得到四边形ADBC判断四边形ADBC的形状，并说明理由（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得FBD的周长最小，若存在，请写出点
12、F的坐标；若不存在，请说明理由例 3：如图，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点（1）点 D 的坐标为；（2）若 E 为边 OA 上的一个动点，当CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标例 4：如图，在直角坐标系中有四个点,A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形 ABCD 周长最短时,求m。n-5-(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第5页(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第5页例 5：有一圆形油罐底面圆的
13、周长为24m，高为 6m，一只老鼠从距底面 1m 的 A 处爬行到对角 B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？B BC CB BA AA A练习 1：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12 厘米，底面周长18 厘米，在杯口内壁离杯口3 厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3 厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。A AA AB B练习 2：如图，在一个长为 2 米，宽为 1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽 AD 平行且AD，木块的正视图是边长为0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点
14、A 处，到达 C 处需要走的最短路程是米（精确到 0.01 米）-6-A AB B(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第6页(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第6页练习 3：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？D1A1DA4B1B2C11C三、课后提升三、课后提升1如图所示，正方形ABCD的面积为 12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）ADA2 3B2 6C3D6PECB2如
15、图，在边长为 2 的菱形ABCD中，ABC60，若将ACD绕点A旋转，当AC、AD分别与BC、CD交于点E、F，则CEF的周长的最小值为（）A2B2 3D4C233四边形ABCD中，BD90，C70，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN的周长最小时，AMN+ANM的度数为（）ADA120 B130 C110 D140NB4如图，三角形ABC中，OABAOB15，点B在x轴的正半轴，坐标为B(6 3，0)MCOC平分AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MAMN的最小值是_-7-(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第7页(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解
16、最短路径问题(最全资料)-第7页5已知A（2，4）、B（4，2）C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为，此时 C、D两点的坐标分别为6已知A（1，1）、B（4，2）（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；（2）P为x轴上一动点，求PAPB的值最大时P点的坐标；yABOxyBAOxyBAxO（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；yBAxOCD7点C为AOB内一点（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若AOB30，OC10，求CDE周长的最小值和
17、此时DCE的度数A-8-COB(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第8页(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第8页8（1）如图，ABD和ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CFCD；（2）在ABC中，ABC30，AB6，BC8，A，C 均小于 120，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由AEDAFBC图BC图9荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？-9-(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第9页(完整版)精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)-第9页