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1、精选优质文档-倾情为你奉上13立体几何中的向量方法【基础巩固】1.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值可以是( )(A)2, (B)-, (C)-3,2(D)2,22.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为()(A)(1,1,1)(B)(1,1,) (C)(1,1,) (D)(1,1,2)3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则|为( )(A)a (B)a (C)a (D)a4.如图所示,已知PA平
2、面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则|等于( )5.若向量a=(1,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则=.6.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x=.【空间三种角】1异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为，则cos ， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量2直线与平面所成角如图所示，设l为平面的斜线，lA，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，则sin |cosa，n|3二面角 (1)若AB，CD分别是二面角l的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的
3、夹角，如图(1)平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，则二面角 l 为或设二面角大小为，则|cos |cos |，如图(2)(3)典例引领(2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 即时应用 如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CACBCDBD2，ABAD(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值典例引领(2016全国丙卷)如图，四棱锥PABCD中，P
4、A底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值即时应用(2016合肥市第二次质量检测)如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD若DADHDB4，AECG3(1)求证：EGDF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值典例引领(2016全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)
5、求二面角EBCA的余弦值 即时应用(2017河北省三市联考)如图，三棱柱ADEBCG中，四边形ABCD是矩形，F是EG的中点，EAAB，ADAEEF1，平面ABGE平面ABCD(1)求证：AF平面FBC；(2)求二面角BFCD的正弦值13立体几何中的向量方法基础巩固1.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值可以是(A)(A)2, (B)-, (C)-3,2(D)2,2解析:由题意知,解得或2.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(A)(A)(1
6、,1,1)(B)(1,1,) (C)(1,1,) (D)(1,1,2)解析:设P(0,0,z),依题意知A(2,0,0),B(2,2,0),则E(1,1,),于是=(0,0,z),=(-1,1,),cos=.解得z=2,由题图知z=2,故E(1,1,1).3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则|为(A)(A)a (B)a (C)a (D)a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z).点M在AC1上且=,(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z)x=a,y=,z
7、=.M(,),|=a.故选A.4.如图所示,已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则|等于(C)(A)6(B)6(C)12(D)144解析:因为=+,所以=+2=36+36+36+236cos 60=144.所以|=12.5.若向量a=(1,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则=.解析:由已知得=,8=3(6-),解得=-2或=.答案:-2或6.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x=.解析:根据共面向量定理设=+,即(x-4,-2,0)=(-2,2,-2)+(-1,6,-8),由此得解得=-4
8、,=1,所以x=4+8-1=11.答案:111异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为，则cos ， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量2直线与平面所成角如图所示，设l为平面的斜线，lA，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，则sin |cosa，n|3二面角 (1)若AB，CD分别是二面角l的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，则二面角 l 为或设二面角大小为，则|cos |cos |，如图(2)(3)典例引领(2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，
9、ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值解：(1)证明：连接BD，设BDAC于点G，连接EG，FG，EF在菱形ABCD中，不妨设GB1由ABC120，可得AGGC由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC又AEEC，所以EG，且EGAC在RtEBG中，可得BE，故DF在RtFDG中，可得FG在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF从而EG2FG2EF2，所以EGFG又ACFGG，所以EG平面AFC因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC(2)
10、以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz由(1)可得A(0，0)，E(1,0, )，F，C(0, ，0)，所以(1，)，故cos，所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为由题悟法用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值即时应用 如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CACBCDBD2，ABAD(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与
11、CD所成角的余弦值解：(1)证明：连接OC，由CACBCDBD2，ABAD，O是BD的中点，知CO，AO1，AOBD在AOC中，AC2AO2OC2，则AOOC又BDOCO，因此AO平面BCD(2)如图建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，(1,0，1)，(1，0)，|cos，|即异面直线AB与CD所成角的余弦值为典例引领(2016全国丙卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值解
12、：(1)证明：由已知得AMAD2取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT因为MN平面PAB，AT平面PAB，所以MN平面PAB(2)取BC的中点E，连接AE由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为由题悟法向量法求线面角的2
13、大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角即时应用(2016合肥市第二次质量检测)如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD若DADHDB4，AECG3(1)求证：EGDF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值解：(1)证明：连接AC，由AE綊CG可知四边形AEGC为平行四边形，所以EGAC，而ACBD，ACBF，所以EGBD，EGBF，因为BDBFB，所以EG平面BDHF，又D
14、F平面BDHF，所以EGDF(2)设ACBDO，EGHFP，由已知可得，平面ADHE平面BCGF，所以EHFG，同理可得：EFHG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OP綊AE，从而OP平面ABCD，又OAOB，所以OA，OB，OP两两垂直，由平面几何知识，得BF2分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2,0)，E(2，0,3)，F(0,2,2)，P(0,0,3)，所以(2，2,3)，(2，0,0)，(0,2，1)设平面EFGH的法向量为n(x，y，z)，由可得令y1，则z2所以n(0,1,2)设BE与平面EFGH
15、所成角为，则sin 所以BE与平面EFGH所成角的正弦值为典例引领(2016全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值解：(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC(2)过D作DGEF，垂足为G由(1)知DG平面ABEF以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz由(1)知DFE为二面角D AFE的平面角，故DFE60，
16、则DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3，0,0)，D(0，0，)由已知得ABEF，所以AB平面EFDC又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60从而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)则cos n，m由图知，二面角EBCA为钝角，故二面角EBCA的余弦值为由题悟法利用法向量求二面角时的2个注意点(1)对于某些平面的法向量要注
17、意题中隐含条件，不用单独求(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误即时应用(2017河北省三市联考)如图，三棱柱ADEBCG中，四边形ABCD是矩形，F是EG的中点，EAAB，ADAEEF1，平面ABGE平面ABCD(1)求证：AF平面FBC；(2)求二面角BFCD的正弦值解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，BCAB，又平面ABGE平面ABCD，BC平面ABGE，AF平面ABGE，BCAF在AFB中，AFBF，AB2，AF2BF2AB2，即AFBF，又BFBCB，AF平面FBC(2)分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(1,2,0)，E(0,0,1)，B(0,2,0)，F(0,1,1)，(1,0,1)，(0,2,0)，设n1(x，y，z)为平面CDEF的法向量，则即令x1，得z1，即n1(1,0,1)，取n2(0,1,1)为平面BCF的一个法向量，cosn1，n2，二面角BFCD的正弦值为专心-专注-专业