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1、精选优质文档-倾情为你奉上2012-2013学年第一学期统计10本随机过程期中考试一. 填空题1设马氏链的一步转移概率矩阵，步转移矩阵，二者之间的关系为 2.状态i常返的充要条件为。3.在马氏链中，记=，n1. =,若1,称状态i为 。二. 判断题1. 是一个可数集，是取值于S的一列随机变量，若，则是一个马氏链。 2. 任意状态都与它最终到达的状态是互通的，但不与它自己是互通的。 3. 一维与二维简单随机游动时常返的，则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。4. 若状态状态，则与具有相同的周期。 5. 一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。 三. 简答题1什么是随机过程，随机序列？答：
2、设T为0，+）或（-，+），依赖于t(tT)的一族随机变量（或随机向量）通称为随机过程，t称为时间。当T为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。2 .什么是时齐的独立增量过程？答：称随机过程：t0为独立增量过程，如果对于起始随机变量及其后的增量是相互独立的随机变量组；如果的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。3.由4个状态组成的马氏链的转移概率矩阵 ，确定哪些状态是暂态，哪些状态是常返态？4.考虑由状态0,1,2,3,4组成的马尔科夫链，而，确定常返态？5.设有四个状态的马氏链，它的一步转移概率矩阵1) 对状态进行分类；2) 对状态空间进行分解。解：1) 均为零，所以
3、状态3构成一个闭集，它是吸收态，记；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达中的状态，而中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记。 2）状态空间可分解为：3)四. 计算题1. 说是有一位赌徒，他去赌博带有赌资100元，而对手有200元赌资，他们的规则是每次下注五元，每次赢五元或输五元的概率相等, = =1/2.当赌徒破产或完胜时停止赌博。问：（1）该赌徒完胜和破产的概率分别是什么？ （2）赌博结束时，该赌徒平均能赢多少钱？ （3）这场赌博平均要用多长时间？解：（1）由题可得，m=100.M=300.则完胜时: =m/M=1
4、00/300=1/3, 破产时： (2): （元）2. 设子代分布为二项分布B(2，1/2).考察相应的分支过程及其灭绝时间，求灭绝概率 解：由子代分布为二项分布B(2，1/2)，可得：Pk= =P0=1/4，P1=1/2，P2=1/4.又知f()=1/4+1/2+1/4解得：=1 3. 设马尔科夫链的转移概率矩阵为: (1).求两步转移概率矩阵及当初始分布为 ，时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2）求马尔科夫链的平稳分布。：4.设马尔科夫链的状态空间I=1,2,3,4,5，转移概率矩阵为：求状态的分类，各常返闭集的平稳分布及各状态平均返回时间。解：（1）状态分类=1,2,3；=4,5（2
5、）由常返闭集的定义可知，常返集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。A对的常返闭集而言解方程组解上述方程组的平稳分布为各状态的平均返回时间为B对的常返闭集而言解方程组解上述方程组的平稳分布为各状态的平均返回时间为5.若,它的灭绝概率为,且,它的灭绝概率为.求:(1) 的值；（2）的值；（3）假定它们的初始时由n个个体组成，分别求出两者的总体灭绝的概率。解：（1）由于所以=1； （2）满足 = 解得这个二次方程的最小的正解是=。 （3）因为总体灭绝当且仅当初始代的每个成员的家庭都灭绝，要求的概率是。则 =1， =6小张的宾馆刚开张不久，入住的家庭数是均值为的随机变量，再假定一个家庭
6、在宾馆停留的天数是参数为的几何随机变量，（于是在前一个晚上留在宾馆的一个家庭，独立于已经在宾馆呆了多久，将在第二天以概率P退房），再假定所有的家庭是彼此独立的，在这些条件下容易看出，如果以记在第n天开始入住宾馆的家庭数，那么，n0是马尔科夫链。求：此马尔科夫链的转移概率。解：为了求，我们假定在一天开始是宾馆中有i个家庭，因为这i个家庭将以概率q=1-q再呆一天，由此推出这i个家庭中再留一天的家庭数是二项（i,q）随机变量。所以，以N记这天新入住的家庭数，我们看到对于取条件，并且利用N是均值为的泊松随机变量，我们得到7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下
7、雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为，于是，四步转移概率矩阵为，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为。8.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。解：一步转移概率矩阵， 9 设马尔科夫链的状态空间为, 一步转移概率矩阵为，求其相应的极限分布。解：设其极限分布由W=WP得到方程组 解方程组得到： 10.设马氏链的转移概率矩阵为P，求该马氏链的平稳分布及各状态的的平均返回时间？ 11.设有时齐次的马氏链转移概率矩阵为P ，讨论其马氏性，并求其平稳分布。解 马氏链的状态空间为I=1,2，均为吸收态，状态空间可分解为两个闭集之和，I=1+2，故其是不可约的马氏链， 1 0 P= =PPP=P(n),0 1所以状态1和状态2都是非周期的，且有LimP11(n)=1不等于LimP21(n)=0,LimP12(n)=0不等于LimP22(n)=1，故不是遍历链，但由A=AP得A=(A1 A2 ),A1+A2=1故A1=A1，A2=A2 ,可见平稳吩咐是存在的，且有无穷多个12.设是一个马氏链，试证：专心-专注-专业