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1、精选优质文档-倾情为你奉上物理学7章习题解答7-2 一个运动质点的位移与时间的关系为m ,其中x的单位是m，t的单位是s。试求：(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；(2) t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。解 (1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式相比较，可以得到角频率 s-1, 频率 , 周期 , 振幅 ,初相位 .(2) t = 2 s时质点的位移.t = 2 s时质点的速度.t = 2 s时质点的加速度.7-3 一个质量为2.5 kg的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。若弹簧受10 n的拉力，其伸长量为5.0 cm，求物体的振动周期。解 根据已知条件可
2、以求得弹簧的劲度系数,于是，振动系统的角频率为.所以，物体的振动周期为.7-4 求图7-5所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2。解 以平衡位置o为坐标原点，建立如图7-5所示的坐标系。若物体向右移动了x，则它所受的力为图7-5.根据第二定律，应有,改写为.所以,.图7-67-5 求图7-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2。解 以平衡位置o为坐标原点，建立如图7-6所示的坐标系。当物体由原点o向右移动x时，弹簧1伸长了x1 ，弹簧2伸长了x2 ，并有.物体所受的力为,式中k是两个弹簧串联后的劲度系数。
3、由上式可得 , .于是，物体所受的力可另写为,由上式可得 ,所以.装置的振动角频率为,装置的振动频率为 .7-6 仿照式(7-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。解 由教材中的例题7-3，单摆的角位移q与时间t的关系可以写为q = q 0 cos (w t+j) ,单摆系统的机械能包括两部分, 一部分是小物体运动的动能,另一部分是系统的势能，即单摆与地球所组成的系统的重力势能.单摆系统的总能量等于其动能和势能之和，即,因为 , 所以上式可以化为.于是就得到,由此可以求得单摆系统中物体的速度为 .这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。7-7 与轻弹
4、簧的一端相接的小球沿x轴作简谐振动，振幅为a，位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在t = 0时，小球的运动状态分别为(1) x = -a；(2)过平衡位置，向x轴正方向运动；(3)过x =处，向x轴负方向运动；(4)过x =处，向x轴正方向运动。试确定上述各状态的初相位。解 (1)将t = 0和x =-a代入,得,.(2)根据 以及 ，可以得到,.由上两式可以解得.(3)由 和v 0可以得到,.由上两式可以解得.7-8 长度为l的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l + s，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。(1)证明重物的运动
5、是简谐振动；图7-7 (2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。解 (1)以悬挂了重物后的平衡位置o为坐标原点，建立如图7-7所示的坐标系。因为当重物处于坐标原点o时重力与弹力相平衡，即,. (1)当重物向下移动x时，弹簧的形变量为(s + x )，物体的运动方程可以写为,将式(1)代入上式，得,即. (2) 重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。(2)令, (3)方程式(2)的解为. (4)振幅可以根据初始条件求得：当t = 0 时，x0 = -s，v0 = 0，于是.角频率和频率可以根据式(3)求得：,.(3)位
6、移与时间的关系：由 , 以及当t = 0 时，x0 = -s，v0 = 0，根据式(4)，可以得到,.由以上两式可解得.故有.7-9 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率n作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为m0 ，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。解 设物体的质量为m，以平衡位置o为坐标原点建立如图7-8所示的坐标系。图7-8由于物体与木板之间存在静摩擦力，使物体跟随木板一起在水平方向上作频率为n的简谐振动。振动系统的加速度为,可见，加速度a的大小正比与振幅a，在最大位移处加速度为最大值.最大加速度amax对应于最大振幅amax，而与此最大加速度所对应的力应小于或等于重
7、物与木板之间的最大静摩擦力，物体才能跟随木板一起振动。所以可以列出下面的方程式,.由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅，为.图7-97-10 一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方向上以频率n作简谐振动。试求物体和木板一起振动的最大振幅。解 设物体的质量为m，以平衡位置o为坐标原点建立如图7-9所示的坐标系。物体所受的力，有向下的重力mg和向上的支撑力n，可以列出下面的运动方程. (1)由简谐振动,可以求得加速度.当振动达到最高点时，木板的加速度的大小也达到最大值，为,(2)负号表示加速度的方向向下。如果这时物体仍不脱离木板，物体就能够跟随木板一起上下振动。将式(2)代入式(1)
8、，得. (3)物体不脱离木板的条件是,取其最小值，并代入式(3)，得,于是可以求得物体和木板一起振动的最大振幅，为.7-11 一个系统作简谐振动，周期为t，初相位为零。问在哪些时刻物体的动能与势能相等？解 初相位为零的简谐振动可以表示为.振动系统的动能和势能可分别表示为,.因为,所以势能可以表示为.当 时，应有,即,.由上式解得将 代入上式，得或7-12 质量为10 g的物体作简谐振动，其振幅为24 cm，周期为1.0 s，当t = 0时，位移为+24 cm，求：(1) 时物体的位置以及所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的最少时间；(3)在x = 12 cm处
9、物体的速度、动能、势能和总能量。解 首先根据已知条件得出位移与时间关系的具体形式。一般形式为.将 , , , 各量代入上式，同时，根据 时 ，求得 , ，于是得到简谐振动的具体形式为.(1) 物体的位置为,所受力的大小为,方向沿x轴的反方向。(2)由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的最少时间,题目要求最少时间，上式中应取正号。所以.(3)在x = 12 cm处,.物体的速度为.物体的动能为.物体的势能为,所以物体的总能量.7-13 质量为0.10 kg的物体以2.010-2m的振幅作简谐振动，其最大加速度为4.0 ms-2 ，求：(1)振动周期；(2)通过平衡位置的动能；(3)总能量。
10、解 (1) 最大加速度与角频率之间有如下关系,所以.由此可求得振动周期，为.(2)到达平衡位置时速率为最大，可以表示为,故通过平衡位置时的动能为.(3)总能量为.7-14 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动： 和(式中x的单位是m，t的单位是s)，求合振动的振幅和初相位。解 已知a1 = 0.05 m、j = p / 3、a2 = 0.06 m和j2 = -2p / 3，故合振动的振幅为.合振动的初相位为,.但是j不能取p / 3，这是因为x1和x2是两个相位相反的振动，如果它们的振幅相等，则合振动是静止状态，如果它们的振幅不等，则合振动与振幅较大的那个振动同相位。在我们的问题中， ，
11、所以合振动与x2同相位。于是，在上面的结果中，合振动得初相位只能取 ，即.7-15 有两个在同一直线上的简谐振动： m和 m，试问：(1)它们合振动的振幅和初相位各为多大？(2)若另有一简谐振动 m，分别与上两个振动叠加，j为何值时，x1 + x3 的振幅为最大？j为何值时，x2+ x3 的振幅为最小？解 (1)合振动的振幅为.合振动的初相位,考虑到x1与x2相位相反， ，所以合振动x应与x2同相位，故取.(2)当 时，合振动 的振幅为最大，所以这时合振动的振幅为.当 时，合振动 的振幅为最小，所以这时合振动的振幅为.7-16 在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04 m和0.0
12、3 m，当它们的合振动振幅为0.06 m时，两个分振动的相位差为多大？解 合振动的振幅平方可以表示为,所以,.7-17 一个质量为5.00 kg的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动。在无阻尼的情况下，其振动周期为 ；在阻尼振动的情况下，其振动周期为 。求阻力系数。解 无阻尼时.有阻尼时.根据关系式,解出b，得将b代入下式就可求得阻力系数.7-21 某一声波在空气中的波长为0.30 m，波速为340 ms-1 。当它进入第二种介质后，波长变为0.81 m。求它在第二种介质中的波速。解 由于波速u、波长l和波的频率n之间存在下面的关系,当声波从一种介质进入另一种介质时，频率不会改变，所以.
13、于是可以求得声波在第二种介质中的波速，为.7-22 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波，它们的波长是否可能相等？为什么？如果这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长是否可能相等？为什么？解 根据书中160页波在介质中的传播速率的表达式(7-50)至(7-52)，可以看到，波的传播速率是由介质自身的特性所决定。所以，两列不同频率的简谐波在同一种介质中，是以相同的速率传播的。故有.可见，频率不同的两列波，其波长不可能相同。当这两列不同频率的波在不同的介质中传播时，上面的关系式不成立。只要两种介质中的波速之比等于它们的频率之比，两列波的波长才会相等。7-23 已知平面简谐波的角频率为w =15
14、.2102 rads-1，振幅为a=1.2510-2 m，波长为l = 1.10 m，求波速u，并写出此波的波函数。解 波的频率为.波速为.所以波函数可以写为.7-24 一平面简谐波沿x轴的负方向行进，其振幅为1.00 cm，频率为550 hz，波速为330 ms-1 ，求波长，并写出此波的波函数。解 波长为.波函数为.7-25 在平面简谐波传播的波线上有相距3.5 cm的a、b两点，b点的相位比a点落后45。已知波速为15 cms-1 ，试求波的频率和波长。解 设a和b两点的坐标分别为x1和x2，这样两点的相位差可以表示为,即.由上式可以求得波长，为.波的频率为.7-27 波源作简谐振动，位
15、移与时间的关系为 y = (4.0010-3 ) cos 240p t m，它所激发的波以30.0 ms-1 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。解 设波函数为 .已知, , , 根据这些数据可以分别求得波的周期和波长。波的频率为.波的周期和波长分别为,.于是，波函数可以表示为 .7-29 沿绳子行进的横波波函数为，式中长度的单位是cm，时间的单位是s。试求：(1)波的振幅、频率、传播速率和波长；(2)绳上某质点的最大横向振动速率。解 波函数可写为,其中.(1)由已知条件可以得到,.(2)绳上质点的横向速率为,所以.7-30 证明公式 。解 根据和,所以可以将波速的表达式作如下
16、的演化,故有.7-31 用横波的波动方程 和纵波的波动方程 证明横波的波速和纵波的波速分别为 和 。解 将平面简谐波波函数分别对x和t求二阶偏导数：, (1).(2)将以上两式同时代入纵波波动方程即教材中第167页式(7-62)，得,所以.将式(1)和式(2)同时代入横波波动方程即教材中第169页式(7-64)，得,所以.7-32 在某温度下测得水中的声速为1.46103 ms-1 ，求水的体变模量。解 已知水中的声速为u = 1.46103 ms-1，水的密度为 ，将这些数据代入下式,就可以求得水的体变模量，得.7-33 频率为300 hz、波速为330 ms-1的平面简谐声波在直径为16.
17、0 cm的管道中传播，能流密度为10.010-3js-1 m-2 。求：(1)平均能量密度；(2)最大能量密度；(3)两相邻同相位波面之间的总能量。解 (1)平均能量密度 ：根据,将已知量 和 代入上式，就可以求得平均能量密度，得.(2)最大能量密度wmax：.(3)两相邻同相位波面之间的总能量w：将已知量, , 代入下式得.7-34 p和q是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波源，其频率为n、波长为l，p和q相距3l/ 2。r为p、q连线延长线上的任意一点，试求：图7-10(1)自p发出的波在r点引起的振动与自q发出的波在r点引起的振动的相位差；(2) r点的合振
18、动的振幅。解 (1)建立如图7-10所示的坐标系，p、q和r的坐标分别为x1、x2和x，p和q的振动分别为和 .p点和q点在r点引起的振动分别为和.两者在r点的相位差为.两者在r点的相位差也可以写为可见，p点和q点在r点引起的振动相位是相反的，相位差为 。(2) r点的合振动的振幅为.可见，r点是静止不动的。实际上，由于在dj的上述表达式中不含x，所以在x轴上、q点右侧的各点都是静止不动的。7-35 弦线上的驻波相邻波节的距离为65 cm，弦的振动频率为2.3102 hz，求波的传播速率u和波长l。解 因为相邻波节的距离为半波长，所以.波速为.7-36 在某一参考系中，波源和观察者都是静止的，但传播波的介质相对于参考系是运动的。假设发生了多普勒效应，问接收到的波长和频率如何变化？解 在这种情况下，接收到的频率为,同时，因为 ，所以 ，即没有多普勒效应。7-37 火车汽笛的频率为n，当火车以速率v通过车站上的静止观察者身边时，观察者所接收到的笛声频率的变化为多大？已知声速为u。解 火车远去时，观察者所接收到的笛声频率为,火车迎面驶来时，观察者所接收到的笛声频率为.观察者所接收到的笛声频率的变化为.专心-专注-专业