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1、-第2章 质点动力学2-30 一物体在介质中按规律作直线运动，c为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由x0=0运动到x=l时，阻力所做的功。（已知阻力系数为k）分析 本题是一个变力做功问题，按功的定义式来求解。 解 由运动学方程，可得物体速度物体所受阻力大小为阻力做的功为2-31一辆卡车能沿着斜坡以的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，则卡车的速率是多少？ 分析：求出卡车沿斜坡方向受的牵引力，再求瞬时功率。注意：牵引力和速度同方向。解：如解图2-31所示，由于斜坡角度很小所以有且阻力解图2-31上坡时牵引力为下
2、坡时牵引力为由于上坡和下坡时功率相同，故所以题图2-322-32某物块重量为P，用一与墙垂直的压力使其压紧在墙上，墙与物块间的滑动摩擦系数为，试计算物块沿题图2-32所示的不同路径：弦AB，劣弧AB，折线AOB由A移动到B时，重力和摩擦力的功。已知圆弧半径为r。 分析：保守力做功与路径无关，非保守力做功与路径有关。解：重力是保守力，而摩擦力是非保守力，其大小为。（1） 物块沿弦AB由A移动到B时，重力的功摩擦力的功（2） 物块沿圆弧AB由A移动到B时，重力的功摩擦力的功2（3） 物块沿折线AOB由A移动到B时，重力的功。摩擦力的功解图2-332-33求把水从面积为的地下室中抽到街道上来所需做的
3、功。已知水深为1.5m，水面至街道的竖直距离为5m。 分析：由功的定义求解，先求元功再积分。解：如解图2-33以地下室的O为原点，取x坐标轴向上为正，建立坐标轴。选一体积元，则其质量为。把从地下室中抽到街道上来所需做的功为 故2-34一人从10 m深的井中提水起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功 分析：由于水桶漏水，人所用的拉力F是变力，变力做功。解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为坐标原点. 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量，即 人的拉力所做的功为解图2-35
4、2-35一质量为m、总长为的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂。试求铁链滑离桌面边缘时重力所做的功。分析：分段分析，建立如解图2-35坐标轴，对OA段取线元积分求功，对OB段为整体重力在中心求功。解： 选一线元，则其质量为。铁链滑离桌面边缘过程中，段的重力做的功为OB段的重力的功为故总功2-36一辆小汽车，以的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的平方成正比，A为常量，且。（1）如小汽车以的恒定速率行驶1km，求空气阻力所做的功；（2）问保持该速率,必须提供多大的功率？ 分析：由功的定义及瞬时功率求解。解：（1）小汽车的速率为空气阻力为 则空气阻力所做的功（2）功率为2-37一
5、沿x轴正方向的力作用在一质量为3.0kg的质点上。已知质点的运动方程为，这里以m为单位，时间以s为单位。试求：（1）力在最初内做的功；（2）在时，力的瞬时功率。 分析：由速度、加速度定义、功能原理、牛顿第二定律求解。解：(1) 则 由功能原理，得(2) 时则瞬时功率m解图2-382-38质量为m的物体置于桌面上并与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度向右运动，弹簧的劲度系数为，物体与支承面间的滑动摩擦系数为，求物体能达到的最远距离。 分析：由机械能守恒求解。解：设物体能达到的最远距离为根据机械能守恒定律，有即解得2-39. 质量为3.0kg的木块静止在水平桌面上，质量为
6、5.0g的子弹沿水平方向射进木块。两者合在一起，在桌面上滑动25cm后停止。木块与桌面的摩擦系数为0.20，试求子弹原来的速度。分析：由动量守恒、动能定理求解。解：在子弹沿水平方向射进木块的过程中，由系统的动量守恒有一起在桌面上滑动的过程中，由系统的动能定理有由带入数据有2-40. 光滑水平平面上有两个物体A和B，质量分别为、。当它们分别置于一个轻弹簧的两端，经双手压缩后由静止突然释放，然后各自以、的速度做惯性运动。试证明分开之后，两物体的动能之比为： 。分析：系统的动量守恒。解：由系统的动量守恒有 所以 物体的动能之比为 题图2412-41如题图2-41所示，一个固定的光滑斜面，倾角为，有一
7、个质量为m小物体，从高H处沿斜面自由下滑，滑到斜面底C点之后，继续沿水平面平稳地滑行。设m所滑过的路程全是光滑无摩擦的，试求：（1）m到达C点瞬间的速度；（2）m离开C点的速度；（3）m在C点的动量损失。分析：机械能守恒，C点水平方向动量守恒，C 点竖直方向动量损失。解：（1）由机械能守恒有带入数据得方向沿AC方向（2）由于物体在水平方向上动量守恒，所以，得方向沿CD方向。（3）由于受到竖直的冲力作用，m在C点损失的动量 方向竖直向下。2-42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤
8、两次打击铁钉时的速度相同。) 分析：根据功能原理，因铁锤两次打击铁釘时速度相同，所以两次阻力的功相等。注意：阻力是变力。解：设铁钉进入木板内时，木板对铁钉的阻力为由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故解得所以，第二次时能击入深。2-43从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度应为多大才能使卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转？ 分析：地面附近万有引力即为重力，卫星圆周运动时，万有引力提供的向心力，机械能守恒。解：设卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转速度为, 地球质量为M, 半径为,卫星质量为m.根据机械能守恒，有又由卫星圆周运动的向心力为卫星在地面附近的万有引力即其重力，故联立以上三式，得题图2-
9、442-44一轻弹簧的劲度系数为，用手推一质量的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为处，如题图2-44所示。放手后，物体沿水平面移动距离而停止，求物体与水平面间的滑动摩擦系数。 分析：弹性势能的减少等于摩擦力做功。解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热）。根据能量关系，有所以解图2-452-45一质量的物体A，自处落到弹簧上。当弹簧从原长向下压缩时，物体再被弹回，试求弹簧弹回至下压时物体的速度。 分析：系统机械能守恒。解：如解图2-45所示，设弹簧下压时物体的速度为。把物体和弹簧看作一个系统，整体系统机械能守恒，选弹簧从原长向下压缩的位
10、置为重力势能的零点。当弹簧从原长向下压缩时，重力势能完全转化为弹性势能，即当弹簧下压时，所以2-46长度为的轻绳一端固定，一端系一质量为m的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为d处有一钉子。小球从水平位置无初速释放，欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈，试证d至少为。 分析：小球在运动过程中机械能守恒；考虑到小球绕O点能完成圆周运动，因此小球在圆周运动的最高点所受的向心力应大于或等于重力。解图2-46证：如解图2-46所示，小球运动过程中机械能守恒，选择小球最低位置为重力势能的零点。设小球在A处时速度为，则又小球在A处时向心力为其中，绳张力为零时等号成立。联立以上两式，解得解图2-472-47
11、弹簧下面悬挂着质量分别为、的两个物体，开始时它们都处于静止状态。突然把与的连线剪断后，的最大速率是多少？设弹簧的劲度系数，而。分析：把弹簧与看作一个系统。当与的连线剪断后，系统作简谐振动，机械能守恒。解：如解图2-47所示，设连线剪断前时弹簧的伸长为x，取此位置为重力势能的零点。系统达到平衡位置时弹簧的伸长为,根据胡克定律，有系统达到平衡位置时，速度最大，设为。由机械能守恒，得联立两式，解之2-48 质量m1= 2.010-2 kg的子弹，击中质量为 m2=10 kg的冲击摆，使摆在竖直方向升高h= 710-2 m，子弹嵌入其中，问： (1)子弹的初速度是多少？ (2)击中后的瞬间，系统的动能
12、为子弹初动能的多少倍？ 分析 子弹击中冲击摆的过程满足动量守恒，击中后一起上升h高过程机械能守恒解 (1) 动量守恒 子弹和冲击摆一起上升h高过程机械能守恒 由上两式可解得(2) 子弹的初动能 击中后的瞬间，系统的动能题图2-492-49 一劲度系数为k的轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端系一质量为mA的物体A，放在光滑水平面上。当把弹簧压缩x0后，再紧靠着A放一质量为mB的物体B，如题图2-49所示。开始时，由于外力的作用系统处于静止，若除去外力，试求B与A离开时B运动的速度和A能到达的最大距离。分析 在物体整个运动过程中，只有弹性力作功，因此弹簧和物体组成的系统机械能守恒。本题中注意两个条件
13、的判断，即弹簧恢复原长时A与B恰好脱离，A的速度为零时A运动至最大距离。解 选弹簧处于自然长度时，物体A的位置为坐标原点O，向右为x轴正方向。系统的机械能守恒，且A、B离开时恰好是A处于原点处，因此 此时B的速度分离后，物体A继续向右运动A和弹簧组成系统机械能守恒，且A达到最大距离时其速度为零。解得 2-50地球质量为，地球与太阳相距，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。 分析：太阳绕地球一周365天，换成秒为31536000秒，用质点角动量定义求解。解：2-51我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度，远地点高度，地球半径，求卫星在近地点和远地点的速度之比。分析：卫
14、星绕地球运动时角动量守恒。解：角动量守恒 所以2-52一个具有单位质量的质点在力场中运动，式中t为时间，设该质点在时位于原点，且速度为零，求s时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量。 分析：由牛顿定律、力矩、角动量定义求解。解：对质点由牛顿第二律得 又因为所以得同样由得所以t=2时2-53. 一质量为m的粒子位于（x, y）处，速度为，并受到一个沿x方向的力f，求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。分析：由质点力矩、角动量定义求解解：角动量力矩2-54电子的质量为，在半径为的圆周上绕氢核作匀速率运动。已知电子的角动量为（h为普朗克常量, ，求其角速度。分析：由角动量定义求解。
15、解：由角动量定义 得2-55在光滑的水平桌面上，用一根长为的绳子把一质量为m的质点联结到一固定点O. 起初，绳子是松弛的，质点以恒定速率沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。并回答能量到哪里去了？（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对O的角动量如何变化？ 分析：绳子绷紧时，质点角动量守恒。解：（1）当质点做圆周运动时，质点角动量守恒可得其速度所以最终动能与初始动能之比其他能量转变为绳子的弹性势能，以后转化为分子内能.（2）绳子断后，质点将按
16、速度沿切线方向飞出，做匀速直线运动质点对0点的角动量恒量。题图2-562-56A、B两个人溜冰，他们的质量各为70kg，各以的速率在相距1.5m的平行线上相对滑行。当他们要相遇而过时，两人互相拉起手，因而绕他们的对称中心做圆周运动，如题图2-56所示，将此二人作为一个系统，求：（1）该系统的总动量和总角动量；（2）开始作圆周运动时的角速度分析：两人速度大小相等、方向相反。解：（1）系统的总动量总角动量（2）作圆周运动时的角速度2-57人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，若不计空气阻力和其他星球的作用，在卫星运行过程中，卫星的动量和它对地心的角动量都守恒吗？为什么？分析：由守恒条件回答。 答：人造卫星的动量不守恒，因为它总是受到外力地球引力的作用人造卫星对地心的角动量守恒，因为它所受的地球引力通过地心，而此力对地心的力矩为零。 -第 12 页-