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1、精选优质文档-倾情为你奉上勾股定理单元测试题一、相信你的选择1、如图，在RtABC中，B90，BC15，AC17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为（ ）A16B12C10D82、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A12B7C12或7D以上都不对3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3m同时梯子的顶端B下降至B，那么BB（ ）A小于1mB大于1mC等于1mD小于或等于1m4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设
2、筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）Ah17cm Bh8cmC15cmh16cm D7cmh16cm二、试试你的身手5、在RtABC中，C90，且2a3b，c2，则a_，b_6、如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是_（精确到个位）7、如图，ABC中，AC6，ABBC5，则BC边上的高AD_8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 元三、挑战你的技能9、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去
3、（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，an，请求出a2，a3，a4的值；（2）根据以上规律写出an的表达式10、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30，已知侧角仪高DC1.4m，BC30米，请帮助小明计算出树高AB（取1.732，结果保留三个有效数字）11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB30海里，问乙船每小时航行多少海里？12、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A
4、、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60方向、B地的西偏北45方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（1.732）参考答案与提示一、相信你的选择1、D（提示：在RtABC中，AB2AC2BC217215282，AB8S半圆R2（）28故选D）；2、C（提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或，所以直角三角形的周长为34512或347，故选C）；3、A（提示：移动前后梯子的长度不变，即RtAOB和RtAOB的斜边相等由勾股定理，得32BO22272
5、，BO，6BO7，则OBB1故应选A）；4、D（提示：筷子在杯中的最大长度为17cm，最短长度为8cm，则筷子露在杯子外面的长度为2417h248，即7cmh16cm，故选D）二、试试你的身手5ab，b4（提示：设a3k，b2k，由勾股定理，有 （3k）2（2k）2（2）2，解得ab，b4）；643（提示：做矩形两边的垂线，构造RtABC，利用勾股定理，AB2AC2BC21923921882，AB43）；73.6（提示：设DCx，则BD5x在RtABD中，AD252（5x）2，在RtADC中，AD262x2，52（5x）262x2，x3.6故AD4.8）；8、150a三、挑战你的技能9、解析：
6、利用勾股定理求斜边长（1）四边形ABCD是正方形，ABBC1，B90在RtABC中，AC同理：AE2，EH2，即a2，a32，a42（2）an（n为正整数）10、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得过点D作DEAB于点E，则EDBC30米，EBDC1.4米设AEx米，在RtADE中，ADE30，则AD2x由勾股定理得：AE2ED2AD2，即x2302（2x）2，解得x1017.32ABAEEB17.321.418.7（米）答：树高AB约为18.7米11、解析：本题要注意判断角的大小，根据题意知：1245，从而证明ABC为直角三角形，这是解题的前提，然后可运用勾股定理求解B在O的东南
7、方向，A在O的西南方向，所以1245，所以AOB90，即AOB为RtBO1624（海里），AB30海里，根据勾股定理，得AO2AB2BO2302242182，所以AO18所以乙船的速度181812（海里/时）答：乙船每小时航行12海里12、解 如图所示，过点C作CDAB，垂足为点D，由题意可得CAB30，CBA45，在RtCDB中，BCD45，CBABCD，BDCD在RtACD中，CAB30，AC2CD设CDDBx，AC2x由勾股定理得ADxADDB2，xx2，x1即CD10.7320.7，计划修筑的这条公路不会穿过公园1等边三角形的高是h，则它的面积是()A h2B h2C h2D h2答案
8、：B说明：如图，ABC为等边三角形，ADBC，且AD=h，因为B=60，ADBC，所以BAD=30；设BD=x，则AB=2x，且有x2+h2=(2x)2，解之得x= h，因为BC=2BD= h，所以SABC= BCAD= hh= h2，所以答案为B2直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为()A 12cm2B 10cm2C 8cm2D 6cm2答案：D说明：设直角三角形的两条直角边长分别为xcm、ycm，依题意得：由得x+y=7，由得(x+y)2=72，即x2+y2+2xy=49，因为x2+y2=25，所以25+2xy=49，即xy=12，这样就有S= xy = 12=6，所以答案
9、为D3下列命题是真命题的个数有()直角三角形的最大边长为 ，短边长为1，则另一条边长为已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为在直角三角形中，若两条直角边长为n21和2n，则斜边长为n2+1等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5A1个 B2个 C3个 D4个答案：D说明：因为另一条直角边长的平方为( )212=31=2，所以另一条边长为 是正确的；设两直角边为k和2k，而由已知 k2k=2，所以k= ，故两直角边长为 ，2 ，所以斜边长为 = ，故正确；因为(n21)2+(2n)2=n42n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，故正确；由面积、底边上
10、的高可得底边为6，故底边的一半为3，所以斜边长为 =5，故正确；所以答案为D4直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为m，则这个三角形的周长是()A + 2mB +mC2( +m)D2 +m答案：C说明：如图，设AC=x，BC=y，则 xy=S；因为CD为中线，且CD=m，所以AB=2CD=2m，所以x2+y2=( 2m)2=4m2，(x+y)2=x2+2xy+y2=(x2+y2)+2xy=4m2+4S，即x+y= ，所以ABC的周长为：AC+BC+AB=x+y+2m = +2m=2( +m)，答案为C5如图，已知边长为5的等边ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在
11、BC边上的点D的位置，且EDBC，则CE的长是()A10 15B105C5 5D2010答案：D说明：设DC=x，因为C=60，EDBC，所以EC=2x因为AEFDEF，所以AE=DE=52x由勾股定理得：x2+(52x)2=(2x)2，即x220x+25=0，解得x= =105因为DCAC，AE为BC上的中线，AF为BC边上的高，求证：AB2AC2=2BCEF证明：因为AFBC，所以在RtAFB中，由勾股定理得：AB2=AF2+BF2在RtAFC中，由勾股定理得：AC2=AF2+FC2所以AB2AC2=BF2FC2=(BF+FC)(BFFC)=BC(BFFC)因为BF=BE+EF，FC=EC
12、EF，BE=EC所以BFFC=2EF所以AB2AC2=BC2EF=2BCEF10如图，ABC中，A=90，E是AC的中点，EFBC，F为垂足，BC=9，FC=3，求 AB解：如图，作ADBC因为EFBC，所以AD/EF因为E为AC中点，所以F为DC的中点因为FC=3，所以DF=3，DC=3+3=6因为BC=9，所以BD=96=3设EC=x，则AC=2x由勾股定理得：AC2=AD2+DC2，AB2=AD2+BD2所以AC2AB2=DC2BD2即AC2AB2=6232=27因为A=90，由勾股定理得AB2+AC2=BC2=81由得2AB2=8127=54，所以AB2=27，即AB= =3习题精选二
13、1判断题在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角命题：“在一个三角形中，有一个角是30，那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形ABC的三边之比是1：1： ，则ABC是直角三角形答案：对，错，错，对；2ABC中A、B、C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A如果CB=A，则ABC是直角三角形B如果c2=b2a2，则ABC是直角三角形，且C=90C如果（ca）（ca）=b2，则ABC是直角三角形D如果A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形答案：D3下列四条
14、线段不能组成直角三角形的是（）Aa=8，b=15，c=17Ba=9，b=12，c=15Ca= ，b= ，c= Da：b：c=2：3：4答案：D4已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a= ，b= ，c= ；a=5，b=7，c=9；a=2，b= ，c= ；a=5，b= ，c=1答案：是，B；不是；是，C；是，A5叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确如果a30，那么a20；如果三角形有一个角小于90，那么这个三角形是锐角三角形；如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等答案：如
15、果a20，那么a30；假命题如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题6填空题任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有“两直线平行，内错角相等”的逆定理是在ABC中，若a2=b2c2，则ABC是三角形，是直角；若a2b2c2，则B是若在ABC中，a=m2n2，b=2mn，c=m2n2，则ABC是三角形答案：逆命题，逆定理；内错角相等，两直线平行；直角，B，钝角；直角小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是答案：向正南或正
16、北7若三角形的三边是1、2； ；32，42，529，40，41；(m+n)21，2(m+n)，(m+n)2+1；则构成的是直角三角形的有（）A2个B3个4个5个答案：B8若ABC的三边a、b、c，满足(ab)(a2b2c2)=0，则ABC是（）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形答案：C9如图，在操场上竖直立着一根长为 2米的测影竿，早晨测得它的影长为 4米，中午测得它的影长为 1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？答案：能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2=AB2 10如图，在我国沿海
17、有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，问：甲巡逻艇的航向？答案：由ABC是直角三角形，可知CAB+CBA=90，所以有CAB=40，航向为北偏东5011如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米， DA=12米，又已知B=90提示：连结ACAC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此CAB=90，
18、S四边形=SADC+SABC=36平方米12已知：在ABC中，ACB=90，CDAB于D，且CD2=ADBD求证：ABC中是直角三角形提示：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2，ACB=9013在ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm求证：ABC是等腰三角形提示：因为AD2+BD2=AB2，所以ADBD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC 14已知：如图，1=2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2求证：AB2=AE2+CE2提示：有AC
19、2=AE2+CE2得E=90；由ADCAEC，得AD=AE，CD=CE，ADC=BE=90，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE215已知ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c= ，试判定ABC的形状提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14又因为c2=14，所以a2+b2=c2第一章勾股定理1.1探索勾股定理专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A3cmB4cmC5cmD6
20、cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求DKG的度数3已知RtABC中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为45，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N（1）如图，当AM=BN时，将ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，PMN的形状是_等腰直角三角形线段AM、BN、MN之间的数量关系是_MN）；（2）如图，当扇形CEF绕点C在ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕
21、点C旋转至图的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_（不要求证明） 专题二勾股定理的证明4在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S+ S与S的关系（如图1）问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S+S与S的关系（如图2）问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S+ S与S的关系（如图3）5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图 中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图中两直角边长为c请你动脑，将它们拼成能够证明勾股
22、定理的图形（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）答案：1A 【解析】设CN=x cm，则DN=（8-x）cm. 由折叠的性质知EN=DN=（8-x）cm，而EC=BC=4 cm，在RtECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3故选A2解：DF=CD=DG，DGF=30EKG+KGE=90，KGE+DGF=90，EKG=DGF=302DKG+GKE=180，DKG=753解：（1）根据折叠的性质知：CAMCPM，CNBCNPAM=PM，A=CPM，
23、PN=NB，B=CPN. MPN=A+B=90，PM=PN=AM=BN.故PMN是等腰直角三角形，AM2+BN2=MN2（或AM=BN=MN）（2）AM2+BN2=MN2.证明:如图，将ACM沿CM折叠，得DCM，连DN，则ACMDCM，CD=CA，DM=AM，DCM=ACM.同理可知DCN=BCN，DCNBCN，DN=BN，而MDC=A=45，CDN=B=45，MDN=90，DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2（3）AM2+BN2=MN2；解法同（2）4解：探究1：由等边三角形的性质知：S=a2，S=b2，S=c2， 则S+ S=（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S+S=
24、S探究2：由等腰直角三角形的性质知：S=a2，S=b2，S=c2则S+S=（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S+S=S探究3：由圆的面积计算公式知：S=a2，S=b2，S=c2则S+ S=（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S+ S=S5解：（1）如图所示，根据正方形的面积可得（a+b）2=4ab+c2，即a2+b2=c2（2）如图所示1.2一定是直角三角形吗专题判断三角形形状1.已知a，b，c为ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形2. 在ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=
25、2mn，且mn0，（1）你能判断ABC的最长边吗？请说明理由；（2）ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明3. 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1（1） 请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示a，b，c（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想答案：1D【解析】a2c2-b2c2=a4-b4，（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，（a+b）（a-b）（c2-a
26、2-b2）=0，a+b0，a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，即它是等腰三角形或直角三角形故选D2解：（1）a是最长边，其理由是：a-b=（m2+n2）-（m2-n2）=2n20，a-c=（m2+n2）-2mn=（m-n）20，ab，ac，a是最长边.（2）ABC是直角三角形，其理由是：b2+c2=（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2=a2，ABC是直角三角形3解：（1）由图表可以得出：n=2时，a=22-1，b=22，c=22+1；n=3时，a=32-1，b=23，c=32+1；X|k |B| 1 . c|O |mn=4时，a=42-1，b=24，c=
27、42+1.a=n2-1，b=2n，c=n2+1（2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形.a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，a2+b2=c2，以a、b、c为边的三角形是直角三角形1.3勾股定理的应用专题最短路径的探究1.编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，则每一根这样的竹条的长度最少是_.2. 请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：路线1：侧
28、面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：w W w .x K b 1.c o M设路线1的长度为，则；路线2：高线AB + 底面直径BC，如上图（1）所示，设路线2的长度为，则. 所以要选择路线2较短。（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的方式进行计算.请你帮小明完成下面的计算：路线1：_；路线2：_ ， ( 填或).所以应选择路线_(填1或2)较短.(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.3.探究活动:有一圆柱形食品盒，它
29、的高等于8cm，底面直径为cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s.（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）答案：1. 【解析】底面周长为a、高为b的圆柱的侧面展开图为矩形，它的边长分别为a，b，所以对角线长为，所以每一根这样的竹条的长度最少是.2.解：（1）25+2 49 1 （2）l12=AC2=AB2+BC2=h2+（r）2， l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，l12-l22=h2+（r）2-（h+2r）2=r（2r-4r-4h）=r（2-4）r-4h.r恒大于0，只需看后面的式子即可当r=时，l12=l22；当r时，l12l22；当r时，l12l223.解：（1）如图，AC=2=9cm，BC=4cm，则蚂蚁走过的最短路径为：AB=cm，所以2=（s），即至少需要s（2）如图，作B关于EF的对称点D，连接AD，交EF于点P，连接BP，则蚂蚁走的最短路程是AP+PB=AD，由图可知，AC=9cm，CD=8+4=12（cm）所以AD=15（cm），152=7.5（s），即至少需要7.5s专心-专注-专业