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1、精选优质文档-倾情为你奉上反例在数学教学中的运用江西省湖口中学崔小昊内容提要当前，在数学教学过程中，教师对运用反例的作用认识不够，教材也没有给予足够的重视。虽然证明在数学学习中有重要的作用，但作为问题的另一方面，也应清楚反例在数学学习中的重要性。注重反例教学培养学生思维的严密性、灵活性及注重反例构造培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。反例构造还是诱发学生创造力的很好载体。关键词 数学教学；反例；思维；反例构造在数学教学中，要证明一个命题正确，必须经过严格的推证，而要否定一个命题却只需举出一个与结论相矛盾的例子就行。这种与命题相矛盾的例子称为反例。反
2、例具有直观、说服力强等突出特点，它在数学教学中得到广泛运用。因此在中学数学教学中有意识地使用反例，并加强对反例构造方法的指导，对学生创新思维的发展是大有裨益的。一、注重反例教学，培养学生思维的严密性数学是一门严谨的学科，主要体现于对数学概念的理解、解决实际数学问题的思维。1、反例用于强化概念在概念的学习中，有些学生不注意领会定义中的关键性词句，不善于抓住概念的本质属性，经常出现理解上的混肴或应用上的失误。对此，教师在教学中，不仅要运用正面的例子加以阐述，而且要善于借助反例的简明且具有说服力的否定来澄清学生的片面认识，强化对概念的理解，这样往往能起到正面例子难以起到的作用。例如，学习等腰直角三角
3、形时，等腰直角三角形的本质属性较多，内涵丰富，由“等腰”、“直角”、“三角形”三方面组成。一些学生学习后，不是丢了等腰，就是忘了直角，有的甚至连三角形的两边之和大于第三边都不考虑了。此时要举反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。另外“等腰”、“三角形”等性质亦可如是强调。因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时可通过数学反例，突显出所学知识中易为学生忽视的本质属性，促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解。又如，对正三棱锥的概念，学生往往忽视“顶点在底面的射影是底面的中心”这一条件
4、，误认为“底面是正三角形，各侧面均为等腰三角形的三棱锥就是正三棱锥”。对此，可举反例如下：如图1所示，三棱锥中，。显然底面为正三角形，侧面均为等腰三角形，但三棱锥却不是正三棱锥。2、反例用于纠正错解面对学生解题中所出现的共性错解，教师一般不要急于点破，而应示以反例，曲中窥直，用反例说明解法有误，从而引导学生去追寻问题错误的根源，并指导学生纠正错误，最终让师生共同品尝成功的“甘甜”。例如，学生在学习了等比数列前项和公式后，在求等比数列前项和时往往直接应用公式，而不考虑公比是否等于1。对此，教师可以设计这样一道题，求和：.多数学生都能熟练地套用公式，但大多数学生都忽略了和这两种情况应另类考虑，经教
5、师提醒后，学生终于认识到时，不是等比数列；当时，虽是等比数列，但=1，因此求和时也不能套用上面的公式。这一反例可以促进学生对等比数列分类条件的重视，使学生知道对待每一个数学问题，必须仔细观察，培养自己敏锐的观察力和丰富的想象力，提高数学思维的严密性。二、注重反例教学，培养学生思维的灵活性因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以注重反例教学不但能使学生发现错误和漏洞，而且还可以修补相关知识，学会多角度考虑问题，提高思维的灵活性。1、反例用于强调条件学生在学习公式、法则、定理时，往往侧重于记忆其结论，不注意它们的使用范围，以致使用时生搬硬套、错误百出的现象极为严重。因此，教师在讲授时
6、，要反复强调公式、法则、定理中的限制条件，指出它们的应用范围，并可根据学生的知识水平，适当地举出一些反例，以突出“限制条件”的重要性。例如，用均值不等式（，当且仅当时取等号），（，当且仅当时取等号）求最值时，必须满足两个条件：其一是必须保证不等式的右边为常数；其二是必须能取到等号。例1：已知且，求的最大值。错解：当且仅当时，即时时，的最大值是.但若，时，=，很明显，因而并不是的最大值。其错误的原因就在于式右边不是常数。正解：当且仅当时，即，时取等号，的最大值是.例2：，的最小值。错解：的最小值为6.显然，此解法是错误的，因为式取等号的条件是，而满足此等式的是不存在的。故式不能取等号，只能得出.
7、正解：当且仅当即时取等号，的最小值为.2、反例用于畅通思路当学生遇到难题时，思维非常容易受阻，迫使他们寻求新的解法，从而提高思维的灵活性。例：设正多面体的每个面都是正边形，以每个顶点为端点的棱有条，棱数为，面数为，则它们之间的关系一定正确的是（）。A)、B)、C)、D)、大部分同学一遇到题目中只有字母，无数字时，就不知从何处下手。实际上，做这类题时，最好的方法就是举例子验证。分析：由欧拉公式知是正确的，且在四个答案中都有。那么还有哪些是正确的呢？由于正多面体只有5种，可举几个正多面体为例验证一下。有的同学用的是正四面体，发现=3，=3，=4，=6，=4，则、也都正确，认为全部正确，选(D).其
8、实在正六面体中，=4，=3，=6，=12，=8，此时中的=18， =24, ，所以该题的正确答案选(C).又如图2所示，有一长方体，其长，宽，高，求由顶点沿着表面到对角顶点的最短路线的长。开始时，有较多学生误认为长、宽和高之和为所求路线之长。当教师举出自沿棱和右侧面对角线和所得路线长为时，学生们清醒地意识到原来的解答有误，并兴趣盎然地探求新的解题思路。类似地出现：及教师进一步稍加点拨，学生们受反例的启发，思路又自然地被引向展开侧面的深层考虑。由图3可知，沿着表面到的最短路线的长为.三、注重反例教学，培养学生思维的深刻性反例往往是伴随着数学教学中命题的推广，正面证明失效后产生的，所以运用反例时不
9、能就事论事，而要把问题的产生过程，如何举出反例的思维过程充分展现给学生，使反例的提出与整个推理过程有机地结合，从而培养学生思维的深刻性。例如，“在第一象限内是增函数”这一说法正确吗？大部分同学在刚开始学习正弦函数时，对于上述命题很难做出正确的判断。认为从正弦函数图像中可以看出该命题是正确的。其实这一说法是错误的。因为，当我们取，这里虽有，可是。那错在什么地方？就错在忽视了的单调增区间是，所以当两个角在同一象限但不在同一单调区间内时，上述命题的说法则是错误的。又如，若，成等差数列，问，是否也成等差数列。这时，同学们可能会立刻用自己学过的等差数列知识来求证。比如有位同学是这样解：，成等差数列-=-
10、整理得：(+)(-)=(+)(-)即:再在两边同时除以(+)得:把上式拆成:，也成等差数列。初看此解的过程好像是正确的，但你只要仔细想一下就会发现问题的所在。若=-时，虽然，还是成等差数列，但(+)，(+)都等于零，分母是不能为零的，所以结论是不成立的。再如，学生学习三垂线定理及逆定理时，往往忽视“平面内的一条直线”中“内” 的特定条件。教学中可用如下反例来启发学生，如图4所示，在正方体中，因为，所以，又是在平面内的射影，故。事实上，因为，所以与所成的角为45，并不垂直。造成上述错误的原因是忽视了“不在平面内”，用这个反例来说明定理中“内”字的重要性，使学生的体会尤为深刻。四、注重反例构造，培
11、养学生思维的发散性教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构造反例，这实际上是为学生创设了一种探索情景，又由于在通常情况下，许多反例的构造并不是惟一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象，因此，构造反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。1、反例用于否定谬误在立体几何学习中，常见学生通过类比、推广等方法得出一些错误的命题，要否定这些谬误，反例往往是最强有力的武器。例如，梯形的中位线定理，有的学生盲目地把它类比推广到空间中的台体上，误认为“台体的中截面面积等于上、下底面面积之和的一半”。为了否定这一谬误，可构造如下反例
12、：设圆台中，则，,显然，即。又如，有的学生把“圆柱过两条母线的截面中，以轴截面的面积为最大”的结论移植到圆锥中，误认为“圆锥过两条母线的截面中，亦以轴截面的面积为最大”。此时，可构造反例：一个圆锥顶角为120，母线长为2，作一个过圆锥两条母线的截面，其顶角为90，则圆锥轴截面面积；顶角为90的截面面积；显然。可见，当圆锥顶角大于90时，并非以轴截面面积为最大。2、反例用于拓展思维例如在讲授实数一节内容时，我曾安排了这样一个思考题：两个无理数的和是否一定是无理数？学生们马上举出几个反例如：与-，与-，与等，它们的和都等于零。这些反例的共同特征是：互为相反数的两个无理数之和为有理数。有一个学生在思
13、考后给出了这样的事例：=2.112，=1.21这里与都是无理数，但+=3.3333却是一个无限循环小数，是有理数。对于=2.112，=1.21这两个数都是无理数，同学们都是清楚的，不难想到的，但是这位学生在无理数的基础上，能进一步深入思考与探索，发现、之和也是有理数这一重要特征，从而使问题顺利解决，其观察之深刻，联想之及时，想象之丰富，使作为教师的我也惊叹不已。这一事例说明教师在日常教学中，可经常选择一些发散性强的典型数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构造反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励学生中的一切含有创造因素的思想和活动，从而提高学生思维的发散性。五、注重
14、反例构造，培养学生思维的创新性反例构造是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。例1：设，已知当|1时，|1恒成立，证明当|2时，|7恒成立。分析：要证得结论，只须证在区间-2，2上的最值在区间-7，7内，二次函数在某区间的最值必在区间的端点或抛物线的顶点处（若顶点在区间内）取得，故只须证：777(2)而这又须从已知条件中推得，的取值范围再加以证明，学生很快从已知得到：111 进一步又可推得|1和|2由这些条件能否推出所需的三个结果呢？先试式，若简单地放大4|+2|+|11是无法推得式的。这时如果有同学发现若能从已知条件推出|1就
15、能证明了。那么这个发现有价值吗？猜想|1是否正确？其实存在=2的函数符合已知条件，通过反例把这个猜想否定了，这种批判性的思维非常宝贵，教师在加以肯定的同时又指出：现在必须对4+2+进行重新组合变形，是否有更有力的条件加以利用？同学们大多都能发现|+|1比|2更有用，用它能解决|2无法解决的矛盾，于是有：=|4(+)-2-3|4|+|+2|+3|9虽有进步，但仍无法证得式，这种变形虽解决了主要矛盾，但和的系数变得太大，次要矛盾上升为主要矛盾，两方面兼顾得：=|2(+)+2-|2|+|+2|+|7这样就圆满地完成了式，同理可证得式；对式因为有2，所以|+例2：判断下述命题是否成立：“已知、分别是、
16、的最小正周期，则、的最小公倍数是+的最小正周期”。这命题是不成立的。为了举出反例，可设法作出在周期内的图象(如图5)，以及在周期内的图象(如图6)，容易看出+的最小正周期并不是，而是(如图7)。在上述反例的探索过程中，学生在新的问题情景中，能享受到创造的乐趣，从而能激发起学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力，培养学生思维的创新性。总之，在数学教学中，教师要适时地引进一些简明生动、击中要害的反例或适当地引导学生构造反例，往往能使学生的思维从模糊状态逐渐上升为豁然开朗，长此下去，可以收到事半功倍的效果，使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们巩固和掌握定理、公式和法则，培养他们思维的严密性、灵活性、深刻性、发散性和创新性。参考文献：1人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）.北京:人民教育出版社.2004.2高中数理化用表编写组.高中数理化用表.北京.中华工商联合出版社.2006.3王荣槐.论文写作与编辑出版.武汉:华中师范大学出版社.1999.4 丁翌平，史鲲.创新与应用题演练.长春:北方妇女儿童出版社.2002.专心-专注-专业