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1、第二章一元函数微分学2.6 微分中值定理【课程名称】高等数学【授课题目】 微分中值定理【授课时间】 2011 年 11月 18 日【授课对象】 2011 级电子信息专业【教学内容】本节课所将要学习的主要内容是微分中值定理中的核心定理拉格朗日（ Lagrange）中值定理，罗尔（ Rolle ）定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西（Cauchy）中值定理则是拉格朗日中值定理推广。微分中值定理揭示的是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理。它是几个定理的统称。微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的很多重要的应用都是建立在这个基础之上，后面将要讨
2、论的洛必达（Lhospital）法则、泰勒（ Taylor ）公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。【教学目标】1、使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等；2、使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构；3、使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力。【教学重点】 微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其应用。【教学难点】 微分中值定理中拉格朗日中值定理的证明。【教学方法及手段】 以启发式讲授为主，采用多媒体辅助演示。精
3、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2.6.2 拉格朗日中值定理一、内容回顾定理 1（Rolle ）若函数( )f x满足条件（1） 在闭区间 , a b上连续；（2） 在开区间( , )a b内可导；（3）( )( )f af b。则至少存在一点( , )a b，使得( )0f。几何意义：在定理的条件下，区间( , )a b内至少存在一点，使得曲线在点( ,( )f处具有水平切线 。二、拉格朗日中值定理定理 2（Lagrange）设
4、函数( )f x满足条件：（1）在闭区间 , a b上连续；（2）在开区间( , )a b内可导；则在( , )a b内至少存在一点，使得( )( )( )f bf afba。或写成( )( )( )()f bf afba。上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于ba也成立。几何意义 ：如果连续曲线( )yf x上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧AB上至少存在一点( ,( )f，在该点处曲线的切线平行于弦AB。（幻灯片1）板书标题（幻灯片2）首先回顾前面所学习的内容，然后通过提问引入新课的内容 :微分中值定理的核心内容 -拉格朗日（ Lagrange ）中值定理。精品资料 - - -
5、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （幻灯片3）【本节重点】板书定理内容解释定理的条件及结论，指出定理条件的一般性。（幻灯片4 为Lagrange生平简介。 ）（幻灯片5）借助于多媒体，图文并茂地解释定理几何意义。由拉格朗日定理的几何意义可以看出，当函数满足( )( )f af b时，此时弦AB的斜率等于零。即( )0f。 这便是罗尔定理的结论。所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。即Lagrange 中值定理()( )fafbRolle定
6、理证明分析 ：若记( )( )f bf akba，要证（ 1）式，即证精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - ( )fk( )0fk( )0 xfxk( )0 xf xkx也就是是否存在( , )a b，使函数( )( )xf xkx在x处的导数为零？即( )0。证明： 作辅助函数( )( )xf xkx， , xa b。容易验证( )x在闭区间 , a b上连续，在开区间( , )a b内可导，且( )( )( )( )( )f bf
7、 aaf akaf aaba( )( )bf aaf bba( )b。从而( )x满足罗尔定理的条件，即至少存在一点( , )a b，使( )0。 即( )( )( )f bf afba证毕。（幻灯片6）引导学生通过观察图形的区别引导学生思考拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系【本节难点】板书分析证明的思路引导学生采用逆向思维的方式，从结论入手分析得出需证明的结论的条件。（幻灯片7）此定理的证明关键是构造辅助函精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - -
8、 - - 数满足罗尔定理条件，然后利用罗尔定理的结论证明。此处提出问题让学生思考是否还有别的方法构造辅助函数满足条件，然后给出提示。由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论：推论设函数( )f x在开区间( , )a b内可导 , 且( )0fx，则在( , )a b内( )fx为常数。即( )0fx，( , )xa b( ),( , )fxC xa b，其中C为常数。证：任取12,( , )x xa b，不妨设12xx，在12,x x上应用定理 2，得2122()()( )()f xf xfxx，其中12(,)( , )xxa b。因为( )0,( , )fxxa b，所以( )0f，从而12
9、()()f xf x。由12,( , )x xa b的任意性可知，( )f x为常数。三、定理的应用例1证 明arcsinarccos, 12xxx。证：设( )arcsinarccosf xxx，则在( 1,1)上2211( )011fxxx，由推论 1 可知( )arcsinarccosf xxxC（ 常 数 ）。 令0 x，得2C。又(1)2f，故所证等式在定义域 1,1上 成立。练习1：证明arctanarccot,(2xxx证：设精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10
10、页 - - - - - - - - - - ( )arctanarccotf xxx，则在(,)上，（幻灯片 8-9 ）此处引导学生思考证明的思路与方法，然后由学生回答，最后教师总结完整证明过程。（幻灯片10）板书例题的详细证明过程。此处应提醒学生注意证明过程的严谨性和完整性。（幻灯片11）此处可以请一名学生回答， 然后教师做点拨。2211( )011fxxx，由推论可知精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - ( )arctanarcc
11、otf xxxC，令0,x得2C。故所证等式在定义域(,)上成立。例 2 证明不等式ln(1)(0)1xxxxx。证：设( )ln(1)f tt，则( )f t在0, x上满足拉格朗日中值定理条件，因此有( )(0)( )(0),0f xffxx即ln(1)1xx，又因为11xxxx，所以ln(1)(0)1xxxxx。练习 2：证明不等式ln(0)babbaabaaa。证：设( )lnf xx， , xa b，则( )f x在 , a b上满足拉格朗日中值定理的条件，因此有( )( )( )(),f bf afbaab即lnbbaa，因为babababa，所以ln(0).babbaabaaa（
12、幻灯片12）板书证明的分析过程。指出本题的关键是找出研究的对象函数， 注意观察不等式的特点， 找出合适的函数， 合理运用定理证明不等式。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （幻灯片 13 ）此处请一名学生上讲台做练习，然后巡视其他学生的答题情况，最后教师做总结。例 3 设( )f x在0,1内可导，且0( )1f x，又对于(0,1)内的所有点x有( )1fx，证明方程( )10f xx在(0,1)内有唯一实根。证： 存在性设( )
13、( )1,0,1xf xxx则( )x在0,1内可导, 连续。又0( )1f x，所以(0)(0)10f，(1)(1)0f。由零点定理知( )x在(0,1)内至少存在一个零点，即方程( )10f xx在(0,1)内 至 少有一个实根。唯一性（反证法）假设方程()1fxx在(0,1)内 有 两个实根12,x x， 不妨设1201xx，则有11()1f xx，22()1f xx。对函数( )fx在12,x x上 应 用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - -
14、 - - - - 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 知 存 在12(,)xx， 使 得21212121()()( 1)( 1)()1fxfxxxfxxxx，与题设( )1fx矛盾，唯一性得证。课堂小结：一、拉格朗日中值定理（注意与罗尔定理的关系）；二、拉格朗日中值定理的推论；三、拉格朗日中值定理的应用。（证明恒等式、不等式以及方程根的存在情况等）课后作业：P96 ：9、10、11（1） 、 （3） 、(4) 、 （6） 。(幻灯片 14-16) 分析：先证明存在性，再证明唯一性引导学生思考证明存在性可能需要用到的定理，而证明唯一性的一种常用方法就是反证法。（幻灯片17-18 ）课堂小结、 布置作业精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -