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1、个人资料整理仅限学习使用渤海大学毕业论文 设计）题目微分中值定理的研究和推广完成人姓名张士龙主 修 专 业数学与应用数学所 在 院 系数学系入 学 年 度 2002年 9 月完 成 日 期 2006年 5 月 25 日指 导 教 师张玉斌精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用目 录引言 1 一、中值定理浅析 1 1、中值定理中的 1 2、中值定理中条件的分析 2 二、微分中值定理的推广 4 1、微分中值定理在无限区间上的推广 4 2、中值定理矢量形式的推广 7 3、微分中值定理在n 维欧式空间中
2、的推广 9 4、中值定理在 n 阶行列式形式的推广 12 5、高阶微分中值定理 15 结束语 19 参考文献 19 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用微分中值定理的研究和推广张士龙Abstract: The differential mean value theorem is an important element of higher mathematics. It is the key to solve the differential problems. This text gives
3、 detailed explanations to the conditions of the differential mean value theorem. On this foundation, this text carries on series of promotional activities of the theorem, and makes research in the indefinite sector, the vector form of the theorem, the multi-dimensional Euclidean space, the high rank
4、 determinant and high rank of the differential theorem altogether five aspects. This text illustrates the promotional process through the integration of the theorem and its examples, so as to enable the theorem to develop towards broader aspects. It is advantageous to the mastery and application of
5、the theorem. Key words: the differential mean value theorem, indefinite sector, the rector form, Euclidean space, determinant, defferential value theorm of higher order 引 言罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。中值定理既应用导数来研究函数的性质，是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究，函数在区间上的重要工具。在实践中，有着广泛的应用，因此，有必要将其进一步推广，使其达到一个比较完善的地步，对进
6、一步的研究和创造有很大的帮助。一、中值定理浅析1、中值定理中的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用由中值定理可知，当满足条件时，在开区间, a b内至少存在一点满足方程的结论，并没有说有多少个这样的，也没有告诉它的确切位置，但这并不影响中值定理在数学中的应用，因为通常是在导数( )fx有界的条件下应用中值定理。2、中值定理中条件的分析以罗尔定理为例，我们知道，罗尔定理的3 个条件。11）在闭区间,a b上连续。2）在开区间,a b内可导。3）( )( )f af b这三个条件必须同时成立，缺少
7、其中之一便不成立。例如：函数 01( )0 1xxf xx在0,1上连续 如图 1）( )f xx11x在1,1内不可导 如图 2）( )f xx 01x(0)(1)ff 如图 3）图 1 图 2 图 3 从这三个函数图象可见，罗尔定理都不成立，尽管如此，也不能说这三个条件就是其成立的必要条件。y O 1 x 1 y O 1 x 1 -1 y O 1 x 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用例如：函数2| 1( )0 211 12xxfxxx在 闭 区 间2 , 2上 连 续 ， 在 开
8、区 间2 , 2内 不 可 导 ，(2 )( 2ff，即罗尔定理的3 个条件都不成立，但是在开区间2,2内存在一点0 x，满足( )0fx，这说明，罗尔定理的3 个条件都是充分条件，同理，拉格朗日定理、柯西中值定理也同样类似。另外，中值定理中开区间可导，也不宜改为在, a b可导，函数( )f x在闭区间, a b上可导，这一条件不仅包含了“闭区间上连续，开区间可导”这两个条件，而且比这两个条件对函数( )fx的要求更加严格，即要求函数( )f x在点a存在右导数，在点b存在左导数，从而满足中值定理的条件的函数要比原来少。例：函数2( )1f xx在闭区间1,1上连续，在开区间1,1内可导，且
9、( 1)(1)0ff，满足罗尔定理的条件，因此，在开区间1,1内至少存在一点，使2( )01f显然=01,1但是，函数2( )1f xx在闭区间1,1上并不可导，因为导数2( )1xfxx分别在1x与1x的左右导数都不存在。由此可见，如果罗尔定理的条件换成函数( )f x在闭区间, a b上可导，且( )( )f af b，那么，对函数2( )1f xx在闭区间上1,1就不能用罗尔定理，这样就缩小了定理的适用范围。因此，中值定理的条件不宜替换，即在闭区间,a b连续，在,a b可导，函数( )f x在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
10、5 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用开区间, a b内可导，则函数( )f x在开区间,a b内连续，它被包含在“函数在,a b上连续”之中，为使这两个条件相互独立，可改为( )f x在开区间,a b内可导，函数( )f x在点a右连续，在点b左连续，但行文繁，所以为了简便，将条件写为“在闭区间上连续，在开区间内可导”。二、微分中值定理的推广1、微分中值定理在无限区间上的推广2以前所学的微分中值定理都是界定在有界区间上的，为此，我们设想将有界空间推广到无限区间。例 1 求证：如果函数( )f x满足1）( )f x在区间, a上连续。2）( )f x在区间, a上可导。3）lim( )
11、( )xf xf a。那么在, a内至少存在一点a使得( )0f证明：令11txa，即11( )xatt当ax时，01t(1)a，0lim( )tt( )( ( )( )f xftg t00lim( )lim( ( )lim( )( )( ( )(1)ttxg tftf xf aftg令0(0)lim( )tgg t则(0)(1)gg所以( )g t在0,1上连续，在0,1内可导，且(0)(1)gg，由罗尔定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用理知：在0,1内至少有一点(01)使得( )0g记
12、( )，有( )( )0f，而21( )0，故在, a内，至少有一点a，使得( )0f例 2 证明：如果函数满足1）在区间()上连续。2）在区间()上可导。3）lim( )lim( )xxfxf x。则在()内至少存在一点()，使得( )0f证明：令11xxete则1ln( )1txttx，与11t成立( )( ( )( )f xftg t11lim( )lim( )lim( )lim( )txxtg tf xf xg t令11( 1)lim( ) (1)lim( )ttgg tgg t( )g t在1,1上连续，在1,1内可导，且( 1)(1)gg，由罗尔定理知，在1,1内至少存在一点( 1
13、1)使得( )0g，记( )，则有2( )( )01gf，从而有( )0f例 3 已知函数( )fx满足如下条件1）在区间,a上连续。2）在区间,a上可导。在,a b上连续，在, a b内可导，又因( )( )ab，由罗尔定理知，存在, a b使得(=0 即C( )x=0 例 4 设( )f x在0,1上连续，证明存在0,1使得11( )( )0tf t dtf t dt证明：令( )()( ), 0 xx xxt f t dt t111,( )( )00Ctf t dtf t dt其满足例 1 条件，故由例 1 知，存在0,1使11( )( )( )0000f t dttf t dtf t
14、dt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用即11( )( )0tf t dtf t dt3、微分中值定理在n 维欧式空间中的推广4首先，给出几个有关的记号1212,.nnnxxxxxxRx设f：nnRR，即1121221212(,.)( )( )(,.)( ).( )(,.)nnnnnfxxxfxfxfx xxf xfxfx xx记 i(为集合的内部，即集合的内点的集合。定义 1 设f：,()nmRRxi，若对于任意的, i j, 1,2. ,in, 1,2.jn，ijfx存在则称函数f在点x
15、处可导并记：111122221212.( ). . .nnnnnnfffxxxfffxxxfxfffxxx称( )fx为函数在点x处的导算子。定理：设函数f：nRn，为nR中有界闭区域f在上连续，在()i内可导，且( )f x/C，则至少存在一点()i，使得( )0f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用证明：因为为有限维空间nR中的有界闭区域，故为nR中紧子 集 ， 又f在上 连 续 ， 所以f在上 有 最 大 最 小 值 ， 由 于f/C，则最值中至少有一个在()i内取得，设f在()i处取
16、得最小值，则对于任意的,1,2.j in，|0jfxx从而( )0f证毕。根据此定理，我们来看下面几个例题。例 1 设f：nRn，为nR中有界闭区域，f在上连续过()i内可导，且存在一点nuR，使得( )f x=,x uC，其中 C 为常数。证明：在()i内至少存在一点，使得( )f=Tu，u为 n 维列向量，Tu为u的转量，,x u为x与u的乘积）证明：设( )( )g xf x,x u，由已知( )g x满足定理的条件，从而对于( )g x来说，存在一点()i，使得( )0g而( )( )gfTu，即( )( )gfTu所以( )Tfu所以，在()i内至少存在一点，使得( )Tfu例 2
17、设f：mR，是nR中的有界闭区域，f在上连续，在()i内可导，且存在列向量muR，使得( )f xTu/C 证明：至少存在一点()i，使得Tu( )f=0 证明：设( )g x=( )f xTu，则g：R，且满足定理的条件，故可知至少存在一点()i，使得( )0g，即Tu( )f=0 例 3 设函数( )f x, ( )g x在闭区间,a b上连续，在开区间,a b内可导，( )fx, ( )g x在,a b内不同时为零，( )( )g ag b，证明：在,a b内至少存在一点，使得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22
18、 页个人资料整理仅限学习使用( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a证明：设F：,a b2RR( )( )( )f xF xg x则F在,a b上连续，在,a b内可导，取( )( )( )( )g ag buf bf a则( )( )( ) ( )( ) ( )TTu F au F bf b g af a g b，所以F在,a b上满足定理3的条件，故至少存在一点,a b，使得( )0Tu F，即( )( )( )( )( )( )0g ag bff bf a g由于( )( )g ag b，所以( )( )( )( )( )( )f bf afgg bg a又因为(
19、 )fx与( )gx在,a b内不同时为零，故( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a4、中值定理在 n 阶行列式形式的推广56在研究此推广之前先给出二个定理。定理 1 设( )fx, ( )g x和( )h x在12,a a连续在12,a a内可导，则至少存在一点12,a a使得：111222() () ()() () ()0( ) ( ) ( )f ag ah af ag ah afgh由此定理我们可以看出，当( )g xx，( )1h x时，上述结果即为拉格朗日中值定理，当( )1h x，则上述结果为柯西中值定理，因此，此定理可以看做是微分中值定理的一般形式。定理
20、 2：若( )if x(1,2. )in在11,na a上连续，在11,na a内 n-1 阶精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用可导，11,knaa a(2,3.2)kn且1221.nnaaaa则至少存在一点11,na a，使得1121(1)111222(1)22112() () . () ()() () . () () . () nnnnnfafafafafafafafafaf1(1)21(1)(1)(1)11210() . () ()( ) ( ) . ( ) ( )nnnnnnnnn
21、nnafafaffff根据上述二定理，我们可以构造出某些特殊类型的问题。例 1 设( )if x, ( )ig x(1,2,3)i满足如下条件1）( )if x, ( )ig x(1,2,3)i在13,a a连续2）( )if x, ( )ig x(1,2,3)i在13,a a内二阶可导3）112131122232132333() () g ()() () g ()0() () g ()gagaagagaagagaa其中123aaa证明，存在11122233,aaa使得11213111213112122232132333112131122232132333() () ()() () ()()(
22、) () ()() () ()() () ()() () ()() () ()ffffafafaffafafafafafag agagag agagag agaga2232132333112131122232132333() ()() () ()() () ()() () ()() () ()fffffggggggggg证明：设11213112223211213113233312112131122232132333() () ()() () ()() () ()() () ()() () () ()() () ()() () ()f afafaf afafag agagaf afafag ag
23、 ag ag ag agag ag agag a2232132333() ()0() () ()gagag agag a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用令1121311121311122232122232123123() () ()() () ()( )() () ()() () ()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f afafag agagaFxf afafak g agagafxfxfxgxgxgx则1( )F x在23,aa上满足罗尔定理的条件，故存在233aa使得13
24、()F=0 再令1121311121312123123132333132333() () ()() () ()( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )() () ()() () ()f afafag agagaFxfxfxfxk g xgxgxfffggg则2( )F x在12,a a上满足罗尔定理的条件，故存在122aa使得22()0F，最后以x换3 令1121311121313122232122232123123() () ()() () ()( )() () ()() () ()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )fafafag agagaFxfffk gggfxfxf
25、xgxgxgx则3( )Fx在23,a a上满足罗尔定理的条件，故存在233a使得33()0F即112131112131122232122232132333132333() () ()() () ()() () ()() () ()0() () ()() () ()f afafag agag afffk gggfffggg在上式中取11a则有112131112131122232122232132333132333() () ()() () ()() () ()() () ()0() () ()() () ()fffgggfffk gggfffggg所以112131112131121222321
26、32333112131122232132333() () ()() () ()()() () ()() () ()() () ()() () ()() () ()ffff afafaff afafaf afafagagagagagag agagaga2232132333112131122232132333() ()() () ()() () ()() () ()() () ()fffffggggggggg我们将此例题进一步推广，得到一个更加完美的结论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用例
27、2 若设( )ifx, ( )ig x(1,2,. )in满足下列条件1）( )if x, ( )ig x(1,2,. )in在1,na a上连续2）( )if x, ( )ig x(1,2,. )in在1,na a内 n-1阶可导3）1121n11222n212n() () . g ()() () . g ()0 . . . .() () . g ()nnngagaagagaagagaa其中12.naaa证明，存在11a,1231.nnnaa，使得112111222212n1121112222() () . ()() () . () . . . .() () . ()() () . ()()
28、 () . () .nnnnnnnf afafaf afafaf afafagagagagagaga11211122221112n() () . ()() () . () . . . .() . . .() () . ()nnnnnnnfffffffgagaga112112111222211112() . ()() () . ()() () . () . . . .() () . ()nnnnnnnnnnnnnnffggggggggg证明：仿照例1 的证法逐步进行展开，分别应用罗尔定理(1)(2).21nn次后，即可得出结论。5、高阶微分中值定理7以前所研究的中值定理都是低阶的，下面我们将其进
29、一步扩充到高阶。引理：设函数( )f x在,a b上连续，在,a b内有 n-1 阶导数，并且对任意互异的，12.,na aaa b，有12()(). ()nf af af a，则存在,a b使得(1)( )0nf证 ： 设12.naaaab在12231,.,nna aa aaa上 应 用 罗尔 定理，存在1,iiia a使得( )0if1,2.1in然后再在 1,2,2,3n-2,n-1上应用罗精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用尔定理，如此推下去，最终可得,a b，使得(1)( )0nf
30、定理 1 设( )f x在, a b上连续，在,a b内有 n-1 阶导数，那么对任意互不相同的123.,na a aaa b，存在,a b使(1)12(1)!( )nnDfD其中121222212121 1 . 11 . . . . . . () () . ()nnnnnnaaaDDaaaf af af a1211112 1 . 1 . . . . . . nnnnnaaaaaa证明：作辅助行列式122222121 1 1 . 1 . . ( ) . . . . .nnxaaaxaaaF x11111212. . ( ) () () . ()nnnnnnxaaaf xf af af a则(
31、)F x在,a b上连续。在,a b内有 n-1 阶导数，并12()().()0nF aF aF a由引理知道，存在,a b，使得(1)( )0nF，对( )F x求 n-1 阶导数，由拉格朗日定理及行列式的性质可得(1)1(1)12( )( 1) (1)!( 1)nmmmFxnDfD从而存在,a b，使得(1)12(1)!( )nnDfD定理 2 设( )f x, ( )g x在,a b上连续，在,a b内有 n-1 阶导数，且(1)( )0ngx，那么对任意互不相同的123.,na a aaa b存在,a b使(1)(1)( )()( )( )nnfD fgD g精选学习资料 - - -
32、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用其中12222122221211 1 . 1 . . ( ) . . . . . () nnnnnnaaaaaaD faaaf af1222212221221 1 . 1 . . ( ) . . . .() . ()nnnnnaaaaaaD gaaaf a212 . () () . ()nnnag ag ag a证：因为在,a b内(1)( )0ngx，则由定理1 得( )0D g作辅助行列式。1222221211 1 1 . 1 . . ( ) . . . . .nnnxaaax
33、aaaF xx1222122212121 1 1 . 1 . ( )( ) . ( ) () () . ()nnnnnnxaaaxaD fD gaaaf xf af af a22212221212 . . . . . . . ( ) () () . ()nnnnnnnaaxaaag xg ag ag a则( )F x在,a b上 连 续 ， 在, a b内 有n-1阶 导 数 ， 且12()(). ()0nF aF aF a，由引理知存在,a b，使(1)( )0nF，对( )F x求 n-1 阶导数，并知()D f, ( )D g为常数，有(1)1(1)1(1)22()( )( 1) (1)
34、!()( 1)( )( 1) (1)!( )( 1)( )( )nnmnnnnD fFxnD ffx DnD ggx DD g其中2D与定理 1 中的2D相同，因此得到(1)(1)( )( )( )( )nnfD fgD g下面我们来看几个例子例 1 设( )f x在,a b上二次连续可微，且( )( )0f af b求证：21max |( ) |() max |( )|8ax bax bfxbafx证：设( )f x在, a b上不恒为0，由( )f x在,a b上连续，推知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页个
35、人资料整理仅限学习使用|( )f x|连续，故存在,Ca b，使得max |( ) | |()|ax bf xf C令定理 1 中1aa2ab3ac则定理 1 变形为2( )2( )2( )( )()()()()()()f af bf dfca bacb abac bc 1）于是，可知存在一点, a b使得211|( ) |()() |( ) |() |( ) |28f cca bcfbaf因此得21max |( ) |() max |( )|8ax bax bfxbafx例 2 设,fC a b，f在,a b内存在，连结点A,( )a f a与B,( )a f a的直线与曲线 y=( )f
36、x交于 C,( )c f c(acb求证：存在, a b，使得( )0f证：由已知 A、B、C 三点在同一直线上，故可知定理1 中的行列式10D，从而存在,a b，使得( )0f例3 设( )f x在0,1上 存 在 二 阶 导 数 ， 且(0)(1)0ff，(0,1)min( )1xf x则存在0,1，使得( )8f证：因为(0)(1)0ff，由例1 的1）式可知，存在0,1使得( )f=2( )(1)f ccc又因为(0,1)min( )1xf x，而( )fx在0,1上连续，故存在00,1C使0()1f C，利用均值不等式，得2000022( )2()8(1)1fcccc例 4 设( )
37、f x, ( )g x在0,1上连续。在0,1内存在二阶导数，且对0,1t，有( )( )0f tg t，证明：存在0,1使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用(1)(0)(1)( )(1) (0)(1)( )t ftfft gtgg证：由于( )f x, ( )g x满足定理 2 的条件所以令1aa, 2ab, 3(1)actat b(01)t其中0a, 1b则由定理 2 即可证得(1)(0)(1)( )(1) (0)(1)( )t ftfft gtgg结束语微分中值定理这一结论，在数学的
38、学习中，只有将其不断的拓展和推广，从而得出一些更一般，更有特点的形式，对解决数学中的问题是有很大益处的。本文只介绍了几种不同的推广方向，但对微分中值定理的研究并不仅限于此，随着数学的不断发展，对这一理论的研究仍是永无止境的。参考文献：1 华东师范大学数学系：数学分析，北京，高等教育出版社，1991 年 3 月第二版. 2 杨万必，龙鸣：微分中值定理的推广，湖北民族学院学报. 3 同济大学数学教研室：高等数学，北京，高等教育出版社1984）. 4 熊金城：点集拓扑讲义，北京，高等教育出版社1981）. 5 刘玉琏，傅沛仁：数学分析讲义，北京，人民教育出版社. 6 焦曙光：点到直线的距离，高等数学研究，2003. 7 胡何高：微分中值定理的推广及应用，湖北，孝感学院学报2000）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页个人资料整理仅限学习使用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页