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1、精选优质文档-倾情为你奉上6.1.2向量的加法学习目标学习目标核心素养1.掌握向量加法的运算,并理解其几何意义.(重点)2.理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围,并能应用向量加法的运算律进行相关运算.(难点)1.通过向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习,培养直观想象.2.通过学习向量加法的运算律,培养逻辑推理.自主预习有两条拖轮牵引一艘驳船,它们的牵引力分别是F1=3 000牛,F2=2 000牛,牵绳之间的夹角=60.如果只用一条拖轮来牵引,产生的效果跟原来的相同,试求出这条拖轮的牵引力的大小和方向.一、预习教材P137141的内容,思考以下问题:1.某人从A
2、到B,再从B顺着原来的方向到C,此人总的位移是什么?2.湖上三个景点O,A,B,游艇将游客从景点O送至景点A,位移是什么?再将游客从景点A送至景点B,位移是什么?两次位移后游艇总的位移是什么?这三个位移之间的关系是什么?3.平面上任意两个向量的和怎么求?二、1.向量的加法法则(1)三角形法则一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,作出向量AC,则向量AC称为a与b的和(或和向量),记作,即a+b=AB+BC=.上述求两个向量和的作图方法,叫做向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和,有a+0=+=.向量a,b的模与a+b的模的关系:|a|-|b
3、|a+b|a|+|b|.(2)平行四边形法则平面上任意给定两个不共线的向量a,b,在该平面内任取一点A,作AB=a,AD=b,则A,B,D三点不共线,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC=.这个法则叫做向量加法的平行四边形法则.(3)多边形法则已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为,第n个向量的终点为的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量加法和的多边形法则.思考:任意两个非零向量相加,是否都可以用向量的平行四边形法则进行?2.向量加法的运算律交换律结合律a+b=(a+b)+c=a+课堂探究题型1.向量加法运算法则的应用例1.(1)如图,在A
4、BC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DEBC,ABCF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量):AB+DF=;AD+FC=;AD+BC+FC=.(2)如图甲所示,求作向量和a+b.如图乙所示,求作向量和a+b+c.1.变问法在例1(1)条件下,求CB+CF.2.变问法在例1(1)图形中求作向量DA+DF+CF.题型2.向量加法运算律的应用例2.化简下列各式:(1)AB+DF+CD+BC+FA;(2)(AB+DE)+CD+BC+EA.变式训练2.如图,在ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:(1)BC+CE+EA;(2)OE+AB+
5、EA;(3)AB+FE+DC.题型3.向量三角不等式的应用例3.已知|a|=3,|b|=5,则向量a+b模长的最大值是.变式训练3本例中a+b模长的最小值是.题型4.综合应用、一题多解例4.在正六边形ABCDEF中,AB=a,AF=b,用a,b表示AC,AD,AE.课堂练习1.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,则OA+OC+OE=()A.0B.0C.AED.EA2.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是()A.AB+CD=0B.AD+AB=ACC.AD+BD=ABD.AD+CB=03.向量(AB+MB)+(BO+BC)+OM化简后等于()A.AMB.0C.0D.AC4.设a,b都是
6、单位向量,则|a+b|的取值范围是.核心素养专练1.下列等式不正确的个数是()a+(b+c)=(a+c)+b;AB+BA=0;AC=DC+AB+BD.A.0B.1C.2D.32.已知向量ab,且|a|b|0,则向量a+b的方向()A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.与向量b方向相反3.如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=()A.OHB.OGC.FOD.EO4.a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则()A.ab,且a与b方向相同B.a,b是共线向量且方向相反C.a=bD.a,b无论什么关系均可5.(多选题)已知ABC是正三角形,
7、给出下列等式,正确的是()A.|AB+BC|=|BC+CA|B.|AC+CB|=|BA+BC|C.|AB+AC|=|CA+CB|D.|AB+BC+AC|=|CB+BA+CA|6.若在ABC中,AB=AC=1,|AB+AC|=2,则ABC的形状是()A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形7.向量(AB+PB)+(BO+BM)+OP化简后等于.8.设正六边形ABCDEF,若AB=m,AE=n,则AD=.参考答案自主预习略课堂探究例1.(1)ACABAC(2)解:首先作向量OA=a,然后作向量AB=b,则向量OB=a+b,如图所示.方法一(三角形法则):如图所示,首先在平面内任取一
8、点O,作向量OA=a,再作向量AB=b,则得向量OB=a+b,然后作向量BC=c,则向量OC=(a+b)+c=a+b+c即为所求.方法二(平行四边形法则):如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量OA=a,OB=b,OC=c,以OA,OB为邻边作OADB,连接OD,则OD=OA+OB=a+b.再以OD,OC为邻边作ODEC,连接OE,则OE=OD+OC=a+b+c即为所求.变问法1.解:因为BCDF,BDCF,所以四边形BCFD是平行四边形,所以CB+CF=CD.变问法2.解:过A作AGDF交CF的延长线于点G,则DA+DF=DG,作GH=CF,连接DH,则DH=DA+DF+CF,如图所示.例
9、2.解:(1)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+(DF+FA)=AD+DA=0.(2)(AB+DE)+CD+BC+EA=(AB+BC)+(CD+DE)+EA=AC+CE+EA=AE+EA=0.变式训练2.解:(1)BC+CE+EA=BE+EA=BA.(2)OE+AB+EA=(OE+EA)+AB=OA+AB=OB.(3)AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC.例3.8解析:|a+b|a|+|b|=3+5=8,|a+b|的最大值为8.变式训练3.2解析:|a+b|a|-|b|=5-3=2,|a+b|的最小值为2.例4.解:方法一:根据向量的平行四
10、边形法则有AO=AB+AF=a+b.在平行四边形ABCO中,AC=AO+AB=a+b+a=2a+b,AO=BC,BC=a+b.(或由向量加法的三角形法则,可得AC=AB+BC,AC=a+a+b=2a+b.)由正六边形的知识知,AD=2AO=2a+2b.AE=AD+DE且DE=-AB,AE=AD-AB=2a+2b-a=a+2b.方法二:AD=AB+BC+CD,AD=2AO,AO=BC,CD=AF,AD=2BC,2BC=AB+BC+CD,BC=AB+CD=AB+AF=a+b.AC=AB+BC=a+a+b=2a+b,AD=AC+CD=2a+2b,AE=AF+FE=AF+BC=b+a+b=a+2b.方
11、法三:AC=AF+FC,FC=2AB,AC=AF+2AB=2a+b;AD=AC+CD=AC+AF=2a+2b;AE=AF+FC+CD+DE=AF+2AB+AF-AB=2AF+AB=a+2b.课堂练习1.A解析:OA+OC=OB,OB=-OE,OA+OC+OE=OB+OE=0.故选A.2.C解析:如图所示.对于A选项,AB,CD大小相等方向相反,AB+CD=0,结论正确.对于B选项,根据向量加法的平行四边形法则可知,AD+AB=AC,结论正确.对于C选项,由于AD+DB=AB,故结论错误.对于D选项,AD,CB,大小相等方向相反,AD+CB=0,结论正确.故选C.3.D解析:(AB+MB)+(B
12、O+BC)+OM=AB+BO+OM+MB+BC=AO+OM+MB+BC=AM+MB+BC=AB+BC=AC,故选D.4.0,2解析:a,b同向时,|a+b|取最大值2,a,b异向时,|a+b|取最小值0,a,b不共线时,|a+b|在(0,2)之间,所以|a+b|的取值范围是0,2.核心素养专练1.A2.A解析:因为ab,且|a|b|0,由三角形法则知向量a+b与a同向.3.C解析:设a=OP+OQ,以OP,OQ为邻边作平行四边形(图略),则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=OP+OQ,则a与FO长度相等,方向相同,所以a=FO.4.A解析:根据三角形法则可知,ab,且a与b方向相
13、同.5.ACD解析:对于A,|AB+BC|=|AC|,|BC+CA|=|BA|,因为ABC是等边三角形可得A正确;对于B,设AC的中点为O,由平行四边形法则可知|BA+BC|=2|BO|AB|=|AC+CB|,故B不正确;对于C,与B中|BA+BC|变形类似可知|AB+AC|=|CA+CB|,故C正确;对于D,|AB+BC+AC|=|AC+AC|=2|AC|,|CB+BA+CA|=|CA+CA|=2|AC|,故D正确.6.D解析:设线段BC的中点为O,由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知,|AB+AC|=2|AO|,又|AB+AC|=2,故|AO|=22,所以BO=CO=22,所以A
14、BO和ACO都是等腰直角三角形,所以ABC是等腰直角三角形.7.AM解析:(AB+PB)+(BO+BM)+OP=(AB+BO+OP)+(PB+BM)=AP+PM=AM.8.n+m解析:如图,ED=AB=m,所以AD=AE+ED=n+m.学习目标1.掌握向量的加法运算并理解加法运算的几何意义.2.用三角形、平行四边形法则作和向量,培养学生利用数形结合思想解决问题的能力.3.通过向量运算与数的运算进行类比,掌握向量加法的交换律和结合律.自主预习阅读课本P137141,完成以下任务:(1)向量的加法有几种方法?用不同的方法作出向量a,b的和向量.(2)借助问题(1)思考向量a与b的和向量的方向怎么确
15、定,和向量的长度与两个向量的长度有什么关系?课堂探究探究一向量加法的三角形法则情境与问题如图所示,假设某人上午从点A到达了点B,下午从点B到达了点C.(1)分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移及一天的位移.(2)这一天的位移与上午、下午的位移有什么联系?试从大小和方向两个方面加以阐述.(3)此时两个向量及和向量构成三角形,若不能构成三角形,两向量应该有什么关系?试从大小和方向两个方面加以阐述.例1已知|a|=3,|b|=4,求向量a+b模长的最大值和最小值,并说明取到最大值和最小值时向量a与向量b的关系.探究二向量加法的平行四边形法则情境与问题问题1从物理学中我们已经知道,力既有大小又有
16、方向,因此力是向量.当在光滑的水平面上沿着两个不同的方向拉动一个静止的物体时,物体会沿着力AB或AC的方向运动吗?若不会,物体的运动方向是怎样的呢?问题2数的加法运算满足交换律,思考向量的加法运算是否满足交换律?探究三多个向量相加问题1由向量加法的两个法则我们知道两个向量的和还是向量,因此我们可以用得到的和向量与另外一个向量相加.而且我们也知道数的加法满足结合律,那么向量的加法是否也满足结合律?也就是说三个向量相加,最后的结果是否与求和顺序有关?问题2多个向量相加,最后的结果与求和顺序有关吗?怎样确定和向量呢?跟踪训练1在正六边形ABCDEF中,AC+BD+CE+DF+EA+FB=.例2化简:
17、(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.跟踪训练2如图,在平行四边形ABCD中,O为AC与BD的交点.(1)AB+AD=;(2)AC+CD+DO=;(3)AB+AD+CD=;(4)AC+BA+DA=.例3在水流速度为43 km/h的河中,如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶,求船航行速度的大小与方向.课堂练习1.如图,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中错误的是()A.FD+DA+DE=0B.AD+BE+CF=0C.FD+DE+AD=ABD.AD+EC+FD=BD2.设E是平行四边形ABCD外一点,如图所示,化简下列各
18、式:(1)DE+EA=;(2)BE+AB+EA=;(3)DE+CB+EC=;(4)BA+DB+EC+AE=.3.如图所示,在四边形ABCD中,AC=AB+AD,试判断四边形的形状.核心素养专练1.已知向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向南航行1 km”,则a+b表示()A.向东南航行2 kmB.向东南航行2 kmC.向东北航行2 kmD.向东北航行2 km2.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是()A.AB=CD,BC=ADB.AD+OD=DAC.AO+OD=AC+CDD.AB+BC+CD=DA3.a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则()A.
19、ab,且a与b方向相同B.a,b是共线向量且方向相反C.a=bD.a,b无论什么关系均可4.(多选题)如图所示,在平行四边形ABCD中,BC+DC+BA等于()A.BDB.ADC.BCD.CB5.如图所示,在正六边形ABCDEF中,若|AB|=1,则|AB+FE+CD|等于()A.1B.2C.3D.236.在平行四边形ABCD中,BC+DC+BA+DA=.7.已知|a|=3,|b|=5,则向量a+b模长的最大值是,最小值是.8.已知点G是ABC的重心,则GA+GB+GC=.9.探索与研究:在求作两个向量的和时,可以选择不同的始点,想一想选择不同的始点作出的和向量相等吗?并说明理由.参考答案自主
20、预习略课堂探究探究一(1)上午的位移AB,下午的位移BC,一天的位移AC.(2)这一天的位移等于上午、下午的位移和.大小:|AB|-|BC|AC|AB|+|BC|方向:一天的位移方向就是和向量的方向.(3)共线也就是方向相同或者相反.方向相同时,和向量方向不变,大小等于两个向量大小的和;方向相反时,和向量方向与模大的方向相同,大小等于两个向量大小的差的绝对值.例1解:和向量模最大值为7,此时两个向量方向相同;和向量模最小值为1,此时两个向量方向相反.探究二问题1.不会,物体沿着两个力的合力方向运动.问题2.满足交换律.探究三问题1向量的加法满足结合律,也就是说三个向量相加,最后的结果与求和顺序
21、无关.问题2多个向量相加,最后的结果与求和顺序无关.多个向量首尾相接,起点指向终点的向量即为和向量.跟踪训练1:0例2(1)AC(2)0(3)0跟踪训练2:(1)AC(2)AO(3)AD(4)0例3解:如图,AB表示水流速度,AC表示船的实际航行速度.连接BC,作ADBC,则AD即为要求的航行速度.因为|AB|=43,|AC|=12,BAC=90,所以|AD|=|BC|=122+(43)2=83.因为tanDAC=33,所以DAC=30,所以BAD=120.因此,船的航行速度为83 km/h,方向与水流方向成120角。课堂练习1.D2.(1)DA(2)0(3)DB(4)DC3.平行四边形核心素养专练1.A2.C3.A4.BC5.B6.07.828.09.解:如图所示,将AB平移到AB,则AB=AB,四边形AABB是平行四边形.同理,BC=BC,四边形BBCC是平行四边形.所以AABB,BBCC,因此AACC.所以四边形AACC是平行四边形,ACAC.即AC=AC.由此得出:在求作两个向量的和时,选择不同的始点作出的和向量相等. 专心-专注-专业