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1、精选优质文档-倾情为你奉上1、二次函数和等腰三角形：(2008重庆)已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ。当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。28题图解：（1）由题意，得（1分）解得（2分）所求抛物线的解析式为：（3分）（2）设点的坐标为，过点作轴于点由，得，点的坐
2、标为（4分），即（5分）（6分）又，当时，有最大值3，此时（7分）（3）存在在中（）若，又在中，此时，点的坐标为由，得，此时，点的坐标为：或（8分）（）若，过点作轴于点，由等腰三角形的性质得：，在等腰直角中，由，得，此时，点的坐标为：或（9分）（）若，且，点到的距离为，而，此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形（10分）综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形所求点的坐标为：或或或2. 二次函数和矩形、等腰三角形：如图19-1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；（2）如图19
3、-2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标yxBCOADE图5-1yxBCOADE图5-2PMN解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，在中，点坐标为（2，4）2分在中， 又 解得：点坐标为3分（2）如图，又知， 又而显然四边形为矩形5分，又yxBCOADE图PMNF当时，有最大值6分（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如
4、图）在中，为的中点，又，为的中点过点作，垂足为，则是的中位线，当时，为等腰三角形此时点坐标为8分（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图）yxBCOADE图PMNF在中，过点作，垂足为，当时，（），此时点坐标为11分综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或3、二次函数和梯形：（2009临沂）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;第26题图若点M是抛物线上一点，
5、以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。抛物线与y轴交于点C（0，3），设抛物线解析式为1分根据题意，得，解得抛物线的解析式为2分存在。3分由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x1。4分若以CD为底边，则PDPC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得，即y4x。5分又P点(x,y)在抛物线上，即6分解得，应舍去。7分，即点P坐标为。8分若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x1对称，此时点P坐标为（2，3）。符合条件的点P坐标为或（2，3）。9分由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,得CB,CD,BD,1
6、0分,BCD90,11分设对称轴交x轴于点E，过C作CMDE，交抛物线于点M，垂足为F，在RtDCF中，CFDF1,CDF45,由抛物线对称性可知，CDM24590,点坐标M为（2，3），DMBC,四边形BCDM为直角梯形, 12分由BCD90及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。EF综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。13分4、动态、二次函数、相似（2009年济南）如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点
7、运动设运动的时间为秒（1）求的长（2）当时，求的值（3）试探究：为何值时，为等腰三角形DCBMN【关键词】动态问题、二次函数、相似三角形【答案】（1）如图，过、分别作于，于，则四边形是矩形在中，在中，由勾股定理得，（图）ADCBKH图ADCBGMN（2）如图，过作交于点，则四边形是平行四边形，由题意知，当、运动到秒时，又，即，解得，（3）分三种情况讨论：当时，如图，即，ADCBMN图）图）ADCBMNHE当时，如图，过作于解法一：由等腰三角形三线合一性质得，在中，又在中，解得，解法二：，即，当时，如图，过作于点.解法一：（方法同中解法一）图ADCBHNMF解得解法二：，即，综上所述，当、或时，
8、为等腰三角形5、二次函数和平行四边形：如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，）.BA将AOC绕AC的中点旋转180，点O落到点B的位置，抛物线经过点A，点D是该抛物线的顶点.（1）求证：四边形ABCO是平行四边形；（2）求a的值并说明点B在抛物线上；（3）若点P是线段OA上一点，且APD=OAB，求点P的坐标；(4) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标. （1）证明：AOC绕AC的中点旋转180，点O落到点B的位置，ACOCAB. 1AO=CB，CO=AB，1四边形ABCO是平行四边形.
9、1（2）解：抛物线经过点A， 点A的坐标为（2，0），1，解得：. 1. 四边形ABCO是平行四边形，OACB.点C的坐标为（1，），1点B的坐标为（3，3）. 1 把代入此函数解析式，得： .点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上. 1顶点D的坐标为（1，-）. 1（3）联接BO，过点B作BEx轴于点E，过点D作DFx轴于点F . tanBOE=，tanDAF=，tanBOE=tanDAF . BOE=DAF . 1APD=OAB，APDOAB. 1 设点P的坐标为（x，0）， ，解得：.1 点P的坐标为（，0）.（4），26、二次函数中的线段长最短问题：如图，抛物线与轴相交于、两点（
10、点在点的左侧），与 轴相交于点，顶点为.（1）直接写出、三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？设的面积为，求与的函数关系式.补充：四边形可能是等腰形吗？如果可能求m的值；如果不可能，请说明理由？解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）2分OACDyx（江西题）BOACDyxFEOyxA第25题DCBOyxA第25题DC28题图BEPFM（第24题）抛物线的对称轴是：x=13分（2）设直线BC的函数关系式为：y=kx+b把B（3，0），
11、C（0，3）分别代入得：解得：k= -1，b=3所以直线BC的函数关系式为：当x=1时，y= -1+3=2，E（1，2）当时，P（m，m+3）4分在中，当时，当时，5分线段DE=4-2=2，线段6分当时，四边形为平行四边形由解得：（不合题意，舍去）因此，当时，四边形为平行四边形7分设直线与轴交于点，由可得：8分即1.如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标;（2）过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明
12、理由解：（1）令，得 解得令，得 A B C 3分（2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB= 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE= P点P在抛物线上 解得，（不合题意，舍去） PE=5分四边形ACBP的面积=ABOC+ABPE=6分(3) 假设存在PAB=BAC = PAACGMCByPAMG轴于点G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 8分 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则() 当AMG PCA时，有=AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）9分() 当MAG PCA时有
13、=即 解得：（舍去） M 10分 点M在轴右侧时，则 () 当AMG PCA时有=GMCByPAAG=，MG= 解得（舍去） M 11分() 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去） M 12分存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，13分2.如图,在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边
14、形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）1分二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)2分解得：b=-2 c=-33分（2）如题图：直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)直线AB的解析式为：y=x+14分二次函数设点E(t， t+1),则F（t，）5分EF= 6分 =当时，EF的最大值=点E的坐标为（，）7分（3）如题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形 可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4） S=S+S =题备用图 = 10分如题备用图：)过
15、点E作aEF交抛物线于点P,设点P(m,)则有： 解得:, ,）过点F作bEF交抛物线于，设（n，）则有： 解得： ，（与点F重合，舍去）综上所述：所有点P的坐标：，（. 能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形 13分3.如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，2）.（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及PEF的面积；若不存
16、在，请说明理由.（1）的顶点为C（1，2）， 2分（2）设直线PE对应的函数关系式为由题意，四边形ACBD是菱形. 故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M 3分由P(0，1)，M（1，0），得从而， 5分 设E(，)，代入，得 解之得，根据题意，得点E(3，2) 7分（3）假设存在这样的点F，可设F(，)8分过点F作FG轴，垂足为点G.在RtPOM和RtFGP中，OMP+OPM=90，FPG+OPM=90，OMP=FPG，又POM=PGF，POMFGP. 9分又OM=1，OP=1，GP=GF，即解得，根据题意，得F(1，2)故点F(1，2)即为所求 4如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于
17、点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线的顶点为Q（2，1）设将C（0，3）代入上式，得， 即（3分）（2）分两种情况：当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令=0, 得解之得, 点A在点B的右边, B(1,0), A(3,0)P1(1,0) （5分）解
18、:当点A为APD2的直角顶点是(如图)OA=OC, AOC=, OAD2=当D2AP2=时, OAP2=, AO平分D2AP2又P2D2轴, P2D2AO, P2、D2关于轴对称设直线AC的函数关系式为将A(3,0), C(0,3)代入上式得, （7分）D2在上, P2在上,设D2(,), P2(,)()+()=0, , (舍)当=2时, =1 P2的坐标为P2(2,1)(即为抛物线顶点)P点坐标为P1(1,0), P2(2,1) （9分）(3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形（10分）当点P的坐标为P2(2,1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于
19、点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形P(2,1), 可令F(,1)解之得: , F点有两点,即F1(,1), F2(,1) （13分）二次函数和圆【例题1】 (芜湖市) 已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点 且始终与y轴相切于定点C(0，1)(1) 求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;(2) 若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点.（1）求M、D两点
20、的坐标；（2）当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标；（3）过P作PHBC，垂足为H，当以PM为直径的F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积.【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作A的切线BC，交x轴于点B（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？ （4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与AOC相似？直接写出两组这样的点【例题4】（绵阳市
21、）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为设M与y轴交于D，抛物线的顶点为E（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设DBC = a，CBE = b，求sin（ab）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB的最小值（3）CE是过点C的M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式AMBxyODE 【例题6】(山西省临汾市)26. 如图所示，在平面直角坐标系中，经过原点，且与轴、轴分别相交于两点（1）请求出直线的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点，顶点在上，开口向下，且经过点，求此抛物线的函数表达式；ABCDExyMO（3）设（2）中的抛物线交轴于两点，在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由例题1：例题2：例题3：例题4： 例题5： 例题6： 专心-专注-专业