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1、精选优质文档-倾情为你奉上复变函数论教学大纲一、课程基本信息中文名称：复变函数论英文名称：Theory of Functions of Complex Variable课程编号：06109B课程类别：专业基础课总学时数：48(理论42，实践6)学 分：3适用专业：数学与应用数学专业开课系部：应用数学系先修课程：数学分析二、课程性质与教学目的复变函数是数学、物理及电子类各专业必修的一门基础课，其理论随着它的应用领域不断扩大而发展成为一门庞大的数学分支。一方面讲述复变函数的基本理论与方法，另一方面渗透复分析领域内的相关内容。教学目的使学生掌握复变函数的基本内容和方法，为进一步学习复分析，从事工程和
2、电子应用、科研及其它工作打好坚实基础。三、 课程教学基本要求 第一部分 复数与复变函数 1、复数及其几何表示内容：复数域、复平面、复数的模与辐角。要求：明确幅角的概念，会用模与幅角的性质解决一些集合问题。2、复平面上的点集内容：基本概念、区域。要求：了解其基本概念，明确有关概念。3、复变函数内容：复变函数概念、极限与连续。要求：理解复变函数概念、极限、连续性及其性质。4、复球面与无穷远点内容：复球面、扩充复平面 。要求：掌握扩充复平面上的几个基本概念。第二部分 解析函数 1、解析函数概念及C_R条件。内容：复变函数的导数、复变函数、C_R条件。要求：深刻理解解析函数概念，掌握C_R条件，会用其
3、判断函数的解析性。2、初等解析函数内容：指数函数、三角函数与双曲函数。要求：熟悉指数函数、三角函数与双曲函数及其映照性质。3、初等多值函数内容：根式函数、对数函数、幂函数与反三角函数。要求：了解初等多值函数。能将初等多值函数分解为若干个单值函数。第三部分 复变函数的积分1、复变函数积分的概念及其性质内容：复变函数积分的定义、复变函数积分的计算、复变函数积分的性质。要求：理解并掌握复变函数积分的概念及其性质。2、柯西积分定理内容：柯西积分定理、不定积分、柯西积分定理的推广。要求：熟练掌握柯西积分定理，并能灵活应用。3、柯西积分公式及其推论内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维
4、尔定理、摩勒拉定理。要求：灵活运用柯西积分公式，深刻理解解析函数的无穷可微性，掌握摩勒拉定理。4、解析函数与调和函数的关系内容：解析函数与调和函数的关系。要求：明确解析函数与调和函数的关系。第四部分 解析函数的幂级数表示法 1、复级数的基本性质内容：复数项级数、一致收敛的复函数项级数、解析函数项级数。要求：掌握复函数项级数的基本概念与性质，能将解析函数表示为函数项级数。2、幂级数内容：幂级数的敛散性、收敛半径R的求法、幂级数和的解析性判断。要求：掌握幂级数的收敛半径求法及其性质，判断幂级数和的解析性。3、解析函数的泰勒（Taylor）展式内容：泰勒定理、幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况、一些
5、初等函数的泰勒展式要求:掌握解析函数的泰勒展式，会求初等函数的泰勒展式。4、解析函数零点的孤立性及唯一性定理内容：解析函数零点的孤立性、唯一性原理、最大模原理要求：明确解析函数零点的孤立性及唯一性定理第五部分 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 1、解析函数的洛朗展式内容：双边幂级数、解析函数的洛朗展式、洛朗级数与泰勒级数的关系、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式要求：会求解析函数的洛朗展式，理解洛朗展式和泰勒展式的关系。2、解析函数的孤立奇点内容：孤立奇点的三种类型、可去奇点、施瓦茨（Schwarz）引理、极点、本性奇点、皮卡（Picard）定理。要求：切实掌握孤立奇点的三种类型及其判断方法和性质
6、，了解皮卡（Picard）定理。3、解析函数在无穷远点的性质内容：解析函数在无穷远点的性质。要求：了解解析函数在无穷远点的性质，会判断无穷远点孤立奇点类型。4、整函数与亚纯函数的概念内容：整函数、亚纯函数要求：了解整函数与亚纯函数的概念及其性质第六部分 留数理论及其应用1、留数内容：留数的定义及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的留数要求：掌握留数定理及其留数求法，理解无穷远点留数和有限点留数的关系，理解留数和复变函数积分的关系。2、用留数定理计算实积分内容：计算型积分、计算型积分、计算 型积分、积分路径上有奇点的积分、应用多值函数的积分。要求：会用用留数定理计算实积分，了解积分路径上有奇点
7、的积分和应用多值函数的积分。3、辐角原理及其应用内容：对数留数、辐角原理、儒歇定理。要求：理解辐角原理，掌握儒歇定理。第七部分 共形映射1、解析变换的特性内容：解析变换的保域性、解析变换的保角性-导数的几何意义、单叶解析变换的共形性。要求：掌握解析变换的特性，深刻理解导数的几何意义，明确共形映射的概念。2、分式线性变换内容：分式线性变换及其分解、分式线性变换的共形性、分式线性变换的保交比性。要求：掌握分式线性变换及其性质。3、某些初等函数所构成的共形映射内容：幂函数与根式函数、指数函数与对数函数、由圆弧构成的两角形区域的共形映射、儒可夫斯基函数的单叶性区域要求：深刻理解某些初等函数所构成的共形
8、映射。4、关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理内容：黎曼存在定理、边界对应定理。要求：了解黎曼存在定理和边界对应定理。第八部分 解析延拓 1、解析延拓的概念与幂级数延拓内容：解析延拓的概念、解析延拓的幂级数方法要求：了解解析开拓的概念和一般原理。2、透弧解析延拓、对称原理内容：透弧直接解析延拓、黎曼-施瓦茨对称原理。要求：了解透弧解析延拓，了解对称原理。3、完全解析函数及黎曼面的概念内容：完全解析函数、单值性定理、黎曼面的概念。要求：了解完全解析函数及黎曼面的概念。第九部分 调和函数1、平均值定理与极值原理内容：平均值定理、极值原理。要求：了解平均值定理与极值原理。2、泊松积分公式与狄利克
9、雷问题内容：泊松积分公式、狄利克雷问题、单位圆内狄利克雷问题的解、上半平面内狄利克雷问题的解。要求：了解泊松积分公式与狄利克雷问题。四、有关教学环节的要求 1、以课堂教学与多媒体教学为主，自学为辅，教学形式以理论教学为主。2、解题练习时数学课教学的一个重要环节，每次课布置作业一次。3、组织学生2-3次课外实践活动。培养学生科研意识。考核方式：考试；采用闭卷考试形式进行，考试内容覆盖考试大纲80%以上内容，难易程度适中，客观题占40%左右，主观题占60%左右。题型要求灵活，具有一定的应用性，注重实践性题目逐年增加，比重要逐步增加，提高学生创新和实践的能力。五、学时分配 课程学时分配表部分节序号主
10、要内容讲授学时习题课小计第一部分复数与复变函数404第二部分解析函数606第三部分复变函数的积分808第四部分解析函数的幂级数表示法606第五部分解析函数的洛朗展式与孤立奇点808第六部分留数理论及其应用808第七部分共形映射404第八部分解析延拓202第九部分调和函数202总 计48048六、使用教材与主要教学参考书 1钟玉泉编复变函数论北京：高等教育出版社,2004.余家荣编复变函数北京：高等教育出版社,2008.七、 大纲编写依据和说明 根据2012年4月修订的数学与应用数学专业培养方案的要求，以及我院地方性、教学型、应用型的特色，并参考了其他国内同类高校相同专业的课程设置，制定了该课程的教学大纲.执笔教师:刘俊俏 教研室主任：常敏慧 教学系（部）主任：姚喜妍专心-专注-专业